Приведенная матрица монодромии при вещественных $\lambda
eq$ $
eq 0$ определяется как отношение решений Иоста
\[
T(\lambda)=T_{+}^{-1}(x, \lambda) T_{-}(x, \lambda)
\]
и может быть представлена в виде предела
\[
T(\lambda)=\lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\ y \rightarrow-\infty}} E_{+}^{-1}(x, \lambda) T(x, y, \lambda) E_{-}(y, \lambda) .
\]
Матрица $T(\lambda)$ унимодулярна и удовлетворяет соотношениям инволюции
\[
\bar{T}(\lambda)=\sigma_{2} T(\lambda) \sigma_{2}
\]
и
\[
\bar{T}(-\lambda)=T(\lambda)
\]
Она представляется в привычном виде
\[
T(\lambda)=\left(\begin{array}{cc}
a(\lambda) & -\bar{b}(\lambda) \\
b(\lambda) & \bar{a}(\lambda)
\end{array}\right),
\]
где коэффициенты перехода непрерывного спектра $a(\lambda)$ и $b(\lambda)$ удовлетворяют соотношению нормировки
\[
|a(\lambda)|^{2}+|b(\lambda)|^{2}=1
\]
и условиям
\[
a(-\lambda)=\bar{a}(\lambda), \quad b(-\lambda)=\bar{b}(\lambda) .
\]
Обратим внимание на дополнительное свойство (4.54) коэффициентов перехода, которое появилось благодаря инволюции (4.8).
Для функции $a(\lambda)$ имеем представление
\[
a(\lambda)=\operatorname{det}\left(T_{-}^{(1)}(x, \lambda), T_{+}^{(2)}(x, \lambda)\right),
\]
из которого следует, что она аналитически продолжается в верхнюю полуплоскость и имеет асимптотики
\[
a(\lambda)=1+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right)
\]
при $|\lambda| \rightarrow \infty$ и
\[
a(\lambda)=(-1)^{2}+O(|\lambda|)
\]
при $\lambda \rightarrow 0$. Соотношение инволюции (4.54) для комплексных $\lambda$ принимает вид
\[
a(-\bar{\lambda})=\bar{a}(\lambda)
\]
Аналогичное представление для $b(\lambda)$
\[
b(\lambda)=\operatorname{det}\left(T_{-}^{(1)}(x, \lambda), T_{+}^{(1)}(x, \lambda)\right)
\]
показывает, что функция $b(\lambda)$ является функцией типа Шварца и при $\lambda=0$ исчезает вместе со всеми своими производными. В общем случае $b(\lambda)$ не допускает аналитического продолжения с вещественной оси. Такое продолжение возможно, если функции $\varphi(x)$ и $\pi(x)$ совпадают со своими асимптотиками при $|x|>q$ для некоторого $q>0$. При этом коэффициенты перехода $a(\lambda)$ и $b(\lambda)$ регулярны в области $\mathbb{C} \backslash\{0\}$ и имеют существенные особенности в точках $\lambda=0$ и $\lambda=\infty$.
Қак и в случае моделей МГ и НШ, при $x<0$ мы наложим условие (A), означающее, что
\[
|b(\lambda)|<1
\]
и нули $\lambda_{j}, j=1, \ldots, n$, функции $a(\lambda)$ (их конечное число) – простые. В силу (4.58) они расположены симметрично относительно мнимой оси и поэтому состоят из чисто мнимых нулей $\lambda_{j}=$ $=i \varkappa_{j}, \varkappa_{j}>0, j=1, \ldots, n_{1}$, и симметричных пар $\lambda_{k}, \lambda_{k+n_{2}}=-\bar{\lambda}_{k}$, $\operatorname{Im} \lambda_{k}, \operatorname{Re} \lambda_{k}>0, k=n_{1}+1, \ldots, n_{1}+n_{2}$, где $n=n_{1}+2 n_{2}$.
Числа $\lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}$ образуют дискретный спектр вспомогательной линейной задачи (4.1). Соответствующие им коэффициенты перехода вводятся соотношениями
\[
T_{-}^{(1)}\left(x, \lambda_{j}\right)=\gamma_{j} T_{i}^{(2)}\left(x, \lambda_{j}\right), \quad j=1, \ldots, n .
\]
При этом
\[
\bar{\gamma}_{j}=\gamma_{j}, j=1, \ldots, n_{1} ; \quad \bar{\gamma}_{k}=\gamma_{k+n_{2}}, \quad k=n_{1}+1, \ldots, n_{1}+n_{2} .
\]
В случае, когда $b(\lambda)$ допускает аналитическое продолжение на $\mathbb{C} \backslash\{0\}$, имеем
\[
\gamma_{j}=b\left(\lambda_{j}\right), \quad j=1, \ldots, n .
\]
Функция $a(\lambda)$ однозначно определяется по коэффициенту $b(\lambda)$ и нулям $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$. Соответствующее дисперсионное соотношение имеет привычный вид
\[
\begin{array}{l}
a(\lambda)=\prod_{j=1}^{n_{1}} \frac{\lambda-i \varkappa_{j}}{\lambda+i \varkappa_{j}} \prod_{k=n_{1}+1}^{n_{1}+n_{2}} \frac{\lambda-\lambda_{k}}{\lambda-\bar{\lambda}_{k}} \frac{\lambda+\bar{\lambda}_{k}}{\lambda+\lambda_{k}} \times \\
\times \exp \left\{\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln \left(1-|b(\mu)|^{2}\right)}{\mu-\lambda-i 0} d \mu\right\} .
\end{array}
\]
Отсюда, в частности, следует, что
\[
a(0)=(-1)^{n_{1}},
\]
или
\[
Q \equiv n_{1}(\bmod 2) \text {. }
\]
Итак, мы описали отображение
$\mathscr{F}:(\pi(x), \varphi(x)) \mapsto\left(b(\lambda), \bar{b}(\lambda) ; x_{j}, \lambda_{k}, \bar{\lambda}_{k}\right.$,
\[
\left.\gamma_{j}, \gamma_{k}, \bar{\gamma}_{k}, j=1, \ldots, n_{1} ; k=n_{1}+1, \ldots, n_{1}+n_{2}\right)
\]
от функций $\pi(x)$ и $\varphi(x)$ к коэффициентам перехода и дискретному спектру вспомогательной линейной задачи (4.1). В следующем параграфе мы убедимся, что отображение $\mathscr{F}$ является обратимым, а в § 6 с его помощью построим каноническое преобразование к переменным типа действие – угол модели SG.
