Рассмотрим эволюцию коэффициентов перехода, когда $p_{n}(t)$ и $q_{n}(t)$ удовлетворяют уравнениям движения модели Тода. Используя представление нулевой кривизны (см. § I.2), получаем
\[
\frac{d T}{d t}(n, m, z)=V_{n}(z) T(n, m, z)-T(n, m, z) V_{m}(z),
\]

где
\[
V_{n}(z)=\left(\begin{array}{cc}
0 & -e^{q_{n}} \\
e^{q_{n-1}} & z+\frac{1}{z}
\end{array}\right) .
\]

Переходя в (2.80) к пределам при $n \rightarrow \infty, m \rightarrow-\infty$ в соответствни с определениями (2.19), (2.45) и используя формулу
\[
\lim _{n \rightarrow \pm \infty}\left(E_{l t}^{( \pm)}(z)\right)^{-1} V_{n}(z) E_{n}^{( \pm)}(z)=\lim _{n \rightarrow \pm \infty}\left(E_{n}^{( \pm)}(z)\right)^{-1} L_{ \pm}(z) E_{n}^{( \pm)}(z)=V(z),
\]

где
\[
V(z)=\left(\begin{array}{cc}
z & 0 \\
0 & \frac{1}{z}
\end{array}\right),
\]

получаем эволюционные уравнения для решений Иоста
\[
\frac{d T_{ \pm}(n, z)}{d t}=V_{n}(z) T_{ \pm}(n, z)-T_{ \pm}(n, z) V(z)
\]

и приведенной матрицы монодромии
\[
\frac{d T}{d t}(z)=\frac{1}{2}\left(z-\frac{1}{z}\right)\left[\sigma_{3}, T(z)\right] .
\]

Они приводят к следующей явной зависимости коэффициентов перехода от времени $t$ :
\[
\begin{array}{c}
a(z, t)=a(z, 0), b(z, t)=e^{-\left(z-\frac{1}{z}\right) t} b(z, 0), \\
z_{j}(t)=z_{j}(0), \quad \gamma_{j}(t)=e^{-\left(z_{j}-\frac{1}{z_{j}}\right) t} \gamma_{j}(0), j=1, \ldots, N .
\end{array}
\]

Как и в рассмотренных ранее примерах, коэффициент $a(z)$ является производящей функцией интегралов движения. Закончим этот параграф описанием семейства локальных интегралов движения. Под последними мы понимаем функционалы вида
\[
F=\sum_{n=-\infty}^{\infty} f_{n},
\]

где $f_{n}$ является полиномом от $p_{n}, c_{n}$ и их высших разностей.