В § 3 мы получили выражение для производящей функции $V(x, \lambda, \mu)$ представления нулевой кривизны высших уравнений НШ. Здесь мы приведем компактную запись этих уравнений и локальных интегралов движения $I_{n}$. Гамильтонова интерпретация полученных формул естественно приводит к семейству (иерархии) пуассоновых структур. Модель НШ и высшие уравнения НШ оказываются гамильтоновыми по отношению к каждой из них. В качестве соответствующих гамильтонианов при этом выступают все локальные интегралы движения $I_{n}$. Ли-алгебраическую интерпретацию этих результатов мы отложим до части II.

Қак уже стало привычным, начнем с квазипериодического случая. Напомним (см. § 3), что производящая функция $V(x, \lambda, \mu)$ для матриц $V_{n}(x, \lambda)$
\[
V(x, \lambda, \mu)=x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{V_{n}(x, \lambda)}{\mu^{n}}
\]

имеет представление
\[
V(x, \lambda, \mu)=\frac{\varkappa}{2 i(\lambda-\mu)} M(x, \mu),
\]

где
\[
M(x, \mu)=(I+W(x, \mu)) \sigma_{3}(I+W(x, \mu))^{-1}=\sigma_{3}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{M_{n}(x)}{!^{\prime \prime}} .
\]

Матрицы $M_{n}(x)$ зависят только от функций $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ и их производных в точке $x$ и имеют нулевой след.

Эти и последующие равенства понимаются в асимптотическом смысле с точностью $O\left(|\mu|^{-\infty}\right)$, и впредь мы не будем это указывать явно.
Сравнивая формулы (5.1) — (5.3), получаем
\[
V_{n}(x, \lambda)=\frac{i}{2}\left(\lambda^{n-1} \sigma_{3}+\sum_{k=0}^{n-2} \lambda^{k} M_{n-k-1}(x)\right),
\]

так что $n$-е уравнение НШ определяется коэффициентами $M_{k}(x)$, $k \leqslant n-1$. Формула (5.3) дает нам способ вычисления этих коэффициентов по асимптотическому разложению матрицы $W(x, \mu)$, полученному в § I. 4 при помощи уравнения Риккати. Здесь мы приведел более непосредственный способ определения матриц $M_{n}(x)$.
Д.ия этого заметим, что матрица $M(x, \lambda)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению
\[
\frac{d M}{d x}=\{U(x, \lambda), M\}
\]

где
\[
U(x, \lambda)=\frac{\lambda \sigma_{3}}{2 i}+U_{0}(x),
\]

и условию квазипернодичности
(см. (3.24)).
\[
M(x+2 L, \lambda)=Q^{-1}(\theta) M(x, \lambda) Q(\theta)
\]

Действительно, матрица $M(x, \lambda)$ имеет представление
\[
M(x, \lambda)=i \operatorname{ctg} p_{L}(\lambda) I+\frac{1}{i \sin p_{L}(\lambda)} T(x,-L, \lambda) Q(\theta) T(L, x, \lambda)
\]
(см. (3.16) и (3.29)), откуда, используя дифференциальные уравнения (1.31) и (1.39) для матрицы перехода по первому и второму аргументам, получаем (5.5).
Представим теперь $M(x, \lambda)$ в виде
\[
M(x, \lambda)=M^{(\mathrm{d})}(x, \lambda)+M^{(\mathrm{nd})}(x, \lambda),
\]

где $M^{(\mathrm{d})}$ и $M^{(\mathrm{nd})}$ означают, соответственно, диагональную и антидиагональную части матрицы $M$, и подставим это разложение в (5.5). Отделяя в получившемся равенстве диагональную и антидиагональную части с учетом (5.6), приходим к системе

уравнений
\[
\begin{array}{c}
\frac{d M^{(\mathrm{d})}}{d x}=\left[U_{0}(x), M^{(\mathrm{nd})}\right], \\
\frac{d M^{(\mathrm{dd})}}{d x}=\frac{\lambda}{2 i}\left[\sigma_{3}, M^{(\mathrm{nd})}\right]+\left[U_{0}(x), M^{(\mathrm{d})}\right] .
\end{array}
\]

Выразим матрицу $M^{(\mathrm{d})}(x, \lambda)$ через $M^{\text {(id) }}(x, \lambda)$ по уравнению (5.10), записав формально
\[
M^{(\mathrm{d})}(x, \lambda)=d^{-1}\left(\left[U_{0}(\cdot), M^{(\mathrm{nd})}(\cdot, \lambda)\right]\right)(x)+\sigma_{3},
\]

и подставим это выражение в (5.11). В результате для матрицы $M^{\text {(nd) }}(x, \lambda)$ получаем интегро-дифференциальное уравнение
\[
\frac{d M^{(\mathrm{nd})}}{d x}+i \lambda \sigma_{3} M^{(\mathrm{nd})}-\left[U_{0}(x), d^{-1}\left(\left[U_{0}, M^{(\mathrm{nd})} 1\right)(x)\right]=2 U_{0}(x) \sigma_{3} .\right.
\]

При выводе мы учли, что диагональная матрица $\sigma_{3}$ антикоммутирует с антидиагональными матрицами $M^{(\mathrm{nd})}(x, \lambda)$ и $U_{0}(x)$.

Введем оператор $\Lambda$, действующий в пространстве антидиагональных матриц $F(x)$ по формуле
\[
\Lambda F(x)=i \sigma_{3}\left(\frac{d F}{d x}(x)-\left[U_{0}(x), d^{-1}\left(\left[U_{0}(\cdot), F(\cdot)\right]\right)(x)\right]\right) .
\]

С его помощью мы можем переписать уравнение (5.13) в стедующем компактном виде:
\[
(\Lambda-\lambda) M^{(\mathrm{nd})}(x, \lambda)=-2 i U_{0}(x) .
\]

Решая его формально, имеем
\[
M^{(\mathrm{nd})}(x, \lambda)=-2 i(\Lambda-\lambda)^{-1} U_{0}(x) .
\]

Раскладывая $(\Lambda-\lambda)^{-1}$ в геометрическую прогрессию, для коэффициентов $M_{n}^{\text {(nd }}(x)$ получаем явное выражение
\[
M_{n}^{(\mathrm{nd})}(x)=2 i \Lambda^{n-\mathbf{1}} U_{0}(x),
\]

так что
\[
M_{n}^{(\mathrm{nd})}(x)=\Lambda M_{n-1}^{(\mathrm{nd})}(x), \quad n>1,
\]

и
\[
M_{1 .}^{(\mathrm{nd})}(x)=2 i U_{0}(x) .
\]

Матрицы $M_{n}^{(\mathrm{d})}(x)$ находятся по $M_{n}^{(\mathrm{nd})}(x)$ по формуле (5.12):
\[
M_{n}^{(\mathrm{d})}(x)=d^{-\mathbf{1}}\left(\left[U_{0}(\cdot), M_{n}^{(\mathrm{nd})}(\cdot)\right]\right)(x) .
\]

В силу свойства (5.18) оператор $\Lambda$ в литературе иногда называют рекурсионным оператором. Мы будем использовать более выразительное, хотя и жаргонное, название $\Lambda$-оператор.

В проведенных выкладках не был однозначно определен оператор взятия первообразной $d^{-1}$. Однако мы заранее знаем, в силу соотношения (5.10), что этот оператор применяется к матрицам, являющимися полными производными по $x$. Матрицы $M_{n}^{(\mathrm{d})}(x)$, от которых берется эта производная, имеют вид
\[
M_{n}^{\text {d) }}(x)=f_{n}(x) \sigma_{3},
\]

где $f_{n}(x)$ — периодическая функция, являющаяся полиномом по $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ и их производным в точке $x$ без свободного чтена. Оператор $d^{-1}$ по определению и дает последнюю матрицу.

В частности, оператор $d^{-1}$ согласован со следующими граничными условиями для матриц $M^{(\mathrm{d})}(x, \lambda)$ и $M^{(\mathrm{nd)}}(x, \lambda)$, рассматриваемых как функционалы от $\psi(x), \vec{\psi}(x)$ :
\[
\left.M^{(\mathrm{rId})}(x, \lambda)\right|_{\psi=\bar{\psi}=0}=0,\left.\quad M^{\mathrm{d})}(x, \lambda)\right|_{\psi=\bar{\psi}=0}=\sigma_{3} .
\]

Свободный член $\sigma_{3}$ в формуле (5.12) определяется этими условиями.

На первый взгляд наше определение является тавтологией. Однако содержательный результат состоит в том, что при вычислении $M_{n}^{\text {(nd }}(x)$ по формулам $(5.18)-(5.19)$ выражение $\left[U_{0}(x), M_{n}^{\text {nd }}(x)\right]$ каждый раз оказывается полной производной. Альтернативно можно сказать, что выражение $\Lambda^{n} U_{0}(x)$ корректно определено при всех $n \geqslant 0$.

Используем теперь найденное представление для $M^{(\mathrm{nd})}(x, \lambda)$ для окончательного вычисления матрицы $M(x, \lambda)$. Переписывая (5.12) в виде
\[
M^{(\mathrm{d})}(x, \lambda)=\sigma_{3}-2 i d^{-1}\left(\left[U_{0},(\Lambda-\lambda)^{-1} U_{0}\right]\right)(x),
\]

получаем явное выражение матрицы $M(x, \lambda)$ в терминах 1-оператора:
\[
M(x, \lambda)=\sigma_{3}-2 i(\Lambda—\lambda)^{-1} U_{0}(x)-2 i d^{-1}\left(\left[U_{0},(\Lambda-\lambda)^{-1} U_{0}\right]\right)(x) .
\]

В качестве первого следствия полученных результатов приведем обещанную компактную запись высших уравнений $H Ш$. Из представления нулевой кривизны
\[
\frac{\partial U(x, \lambda)}{\partial t}-\frac{\partial V_{n}}{\partial x}(x, \lambda)+\left[U(x, \lambda), V_{n}(x, \lambda)\right]=0
\]

и формул (5.4), (5.6) получаем, что $n$-е уравнение НШ, представляющее собой постоянный по $\lambda$ член в (5.25), записывается в виде
\[
\frac{\partial U_{0}}{\partial t}-\frac{i}{2} \frac{\partial M_{n-1}^{(\mathrm{nd})}}{\partial x}+\frac{i}{2}\left[U_{0}, M_{n-1}^{(\mathrm{d})}\right]=0 .
\]

Используя формулы (5.17) и (5.20), перепишем полученное равенство в виде
\[
\frac{\partial U_{0}}{\partial t}+\frac{\partial \Lambda^{n-2} U_{0}}{\partial x}-\left[U_{0}, d^{-1}\left(\left[U_{0}, \Lambda^{n-2} U_{0}\right]\right)\right]=0 .
\]

Отсюда с учетом определения (5.14) получаем искомое выраженше для $n$-го уравнения $H$ НII:
\[
\frac{\partial U_{0}(x)}{\partial t}=i \sigma_{3} \Lambda^{n-1} U_{0}(x) .
\]

Сравним запись уравнения движения (5.28) с его гамильтоновой записью
\[
\frac{\partial U_{0}(x)}{\partial t}=\left\{I_{n}, U_{0}(x)\right\} .
\]

Явный вид матрицы в правой части дается формулой
\[
\left\{I_{n}, U_{0}(x)\right\}=i \sqrt{x}\left(\frac{\delta I_{n}}{\delta
otin(x)} \sigma_{+}-\frac{\delta I_{n}}{\delta \bar{\psi}(x)} \sigma_{-}\right) .
\]

Определим теперь матрицу $\operatorname{grad} I_{n}(x)$ следующим образом:
\[
\operatorname{grad} I_{n}(x)=\frac{1}{\sqrt{\%}}\left(\frac{\delta I_{n}}{\delta \psi(x)} \sigma_{+}+\frac{\delta I_{n}}{\delta \bar{\psi}(x)} \sigma_{-}\right) .
\]

Ниже мы объясним, почему такое обозначение естественно с гамитьтоновой точки зрения. Уравнение движения в форме (5.29) переписывается в виде
\[
\frac{\partial U_{0}}{\partial t}=i \kappa \sigma_{3} \mathrm{grad} I_{n}
\]

Сравнивая (5.28) и (5.32), получаем компактное выражекие для градиентов локальных интегралов движения
\[
\operatorname{grad} I_{n}(x)=\frac{1}{x} \Lambda^{n \sim 1} U_{0}(x),
\]

или рекуррентное соотношение
\[
\operatorname{grad} I_{n}(x)=\Lambda \operatorname{grad} I_{n-1}(x), \quad n>1,
\]
$2 d e$
\[
\operatorname{grad} I_{1}(x)=\frac{1}{2} U_{0}(x) .
\]

Покажем, что при помощи $\Lambda$-оператора можно дать выражение и для самих локальных интегралов движения $I_{n}$. Для этого вместо их производящей функции $p_{L}(\lambda)=\arccos \left(\frac{1}{2} \operatorname{tr} T_{L}(\lambda) Q(\theta)\right)$ удобно использовать ее производную по $\lambda$. Покажем, что имеет

место формула
\[
\frac{d p_{L}(\lambda)}{d \lambda}=-\frac{1}{4} \int_{-L}^{L} \operatorname{tr} M(x, \lambda) \sigma_{3} d x .
\]

Будем исходить из основного представления для матрицы монодромии
\[
T_{L}(\lambda)=\exp _{-L}^{L} U(x, \lambda) d x
\]
(см. § I.2-I.3). Дифференцируя его по $\lambda$, пмеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{d T_{L}(\lambda)}{d \lambda}=\int_{-L}^{L} T(L, x, \lambda) \frac{\partial U}{\partial \lambda}(x, \lambda) T(x,-L, \lambda) d x= \\
=\frac{1}{2 i} \int_{-L}^{L} T(L, \lambda, \lambda) \sigma_{3} T(x,-L, \lambda) d x,
\end{array}
\]

так что
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d \lambda} \operatorname{tr} T_{L}(\lambda) Q(\theta)=\frac{1}{2 i} \int_{-L}^{L} \operatorname{tr}\left(T(x,-L, \lambda) Q(\theta) T(L, x, \lambda) \sigma_{3}\right) d x= \\
=\frac{\sin p_{L}(\lambda)}{2} \int_{-L}^{L} \operatorname{tr} H(x, \lambda) \sigma_{3} d x .
\end{array}
\]

В последнем равенстве мы использовали формулу (5.8). Соотношение (5.36) следует из (5.39) по формуле дифференцирования сложной функции.

Правая часть в (5.36) явно выражается через $\Lambda$-оператор при помощи формулы (5.23):
\[
\int_{-L}^{L} \operatorname{tr} M(x, \lambda) \sigma_{3} d x=4 L+4 i \int_{-L}^{L} d^{-1} \operatorname{tr}\left(U_{0} \sigma_{3}(\Lambda-\lambda)^{-1} U_{0}\right)(x) d x \text {, }
\]

а левая часть, так же как и $p_{L}(\lambda)$, может быть нспользована в качестве производящей функции локальных интегралов движения:
\[
\frac{d}{d \lambda} p_{L}(\lambda)=-L-x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n I_{n}}{\lambda^{n+1}} .
\]

Сравнивая (5.41) с разложением по обратным степеням $\lambda$ в (5.40), получаем окончательную формулу
\[
I_{n}=\frac{1}{i \varkappa n} \int_{-L}^{L} d^{-1}\left(\operatorname{tr} U_{0} \sigma_{3} \Lambda^{n} U_{0}\right)(x) d x, \quad n \geqslant 1 .
\]

При этом в разложении правой части (5.40) коэффициент при $\lambda^{-1}$ исчезает ввиду бесследовости матрицы $U_{0}(x) \sigma_{3} U_{0}(x)$.

Интересно отметить, что формула (5.42) допускает продолжение и на отрицательные целые значения номера $n$, определяя серию нелокальных интегралов движения $I_{n}, n<0$.

Исходным пунктом является разложение целой функции $p_{\llcorner}(\lambda)$ в ряд Тейлора
\[
p_{L}(\lambda)=x \sum_{n=0}^{\infty} I_{-n} \lambda^{n} .
\]

Формулы (5.12) и (5.15) для матрицы $M(x, \lambda)$, задаваемой соотношением (5.8), а также формула (5.36), связывающая $\frac{d p_{L}}{d \lambda}(\lambda)$ и $M(x, \lambda)$, справедливы независимо от использованного выше асимптотического разложения по степеням $\lambda^{-1}$. По определению оператор $d^{-1}$ ставит матрице $\left[U_{0}(x), M^{(\text {nd })}(x, \lambda)\right]$ матрицу $M^{(\text {(i) }}(x, \lambda)-\sigma_{3}$ в согласии с граничными условиями (5.22). В результате для коэффициентов разложения матрицы $M^{\text {(nd) }}(x, \lambda)$ в ряд Тейлора
\[
M^{\text {nd }}(x, \lambda)=-\sum_{n=0}^{\infty} M_{-n}^{\text {trd) }}(x) \lambda^{n}
\]

получаем из (5.15) соотношения
\[
\Lambda M_{-n}^{(\mathrm{nd})}(x)=M_{-n \downharpoonright 1}^{(\mathrm{nd})}(x)
\]

и
\[
\Lambda M_{0}^{(\mathrm{nd})}(x)=2 i U_{0}(x) .
\]

Эти равенства продолжают соотношения (5.18)-(5.19), так что формула
\[
M_{n}^{\text {(nd) }}(x)=2 i \Lambda^{n-1} U_{0}(x)
\]

справедлива теперь для всех целых $n$.
Повторяя выкладки, сделанные выше для положительных $n$, приходим к формуле (5.42) для отрицательных $n$.

Интеграл $I_{0}=\frac{1}{x} p_{L}(0)$ формально не попадает в набор соотношений (5.42). Однако можно проверить, что к формуле (5.42) при $n=0$ применимо правило Лопиталя, так что
\[
I_{0}=\frac{1}{i \varkappa} \int_{-L}^{L} d^{-1}\left(\operatorname{tr} U_{0} \sigma_{3} \ln \Lambda U_{0}\right)(x) d x .
\]

Мы не будем приводить малоинтересные громоздкие детали вычислений.

Формулы типа (5.33) для градиентов интегралов движения также справедливы для всех целых значений $n$. Для доказательства следует в общем представлении нулевой кривизны (3.34) разложить матрицу $V(x, \lambda, \mu)$ в ряд Тейлора по переменной $\mu$
\[
V(x, \lambda, \mu)=x \sum_{n=0}^{\infty} V_{-n}(x, \lambda) \mu^{n}
\]

и определить коэффициенты из формул (5.2) и (5.44).
Конечно, приведенные формулы мало пригодны для вычислений, так как оператор $\Lambda$ не может быть обращен явно. Однако мы убедимся сейчас, что они достаточно интересны с идейной точки зрения, связанной с гамильтоновой интерпретацией. Именно, эти формулы позволяют нам ввести обещанную выше иерархию пуассоновых структур.

Начнем с того, что объясним естественность обозначения grad для матрицы вида (5.31), которое мы введем теперь для произвольной наблюдаемой $F$ :
\[
\operatorname{giad} F(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\left(\frac{\delta F}{\delta \psi(x)} \sigma_{+}+\frac{\delta F}{\delta \bar{\psi}(x)} \sigma_{-}\right) .
\]

В этих терминах скобка Пуассона наблюдаемых $F$ и $G$ на фазовом пространстве $\mathscr{M}_{L, \theta}$ записывается следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\{F, G\}=\frac{\kappa}{i} \int_{-L}^{L} \operatorname{tr}(\operatorname{grad} F\left.(x) \sigma_{3} \operatorname{grad} G(x)\right) d x= \\
=\frac{i \kappa}{2} \int_{-L}^{L} \operatorname{tr}\left(\sigma_{3}[\operatorname{grad} F(x), \operatorname{grad} G(x)]\right) d x
\end{array}
\]

и определяет антисимметричную форму градиентов в соответствии с общими формулами гамильтоновой механики. Уравнения движения для координат $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ на фазовом пространстве $\mathscr{M}_{L, \theta}$, параметризованном матрицами $U_{0}(x)$, имеют вид
\[
\frac{\partial U_{0}(x)}{\partial t}=\left\{F, U_{0}(x)\right\}=i \sigma_{3} \operatorname{grad} F(x),
\]

где в качестве гамиятониана выбрана наблюдаемая $F$. Такім образом, матрица $і$ х $\sigma_{3}$ играет роль матрицы Якоби для этой параметризации.
Рассмотрим теперь $n$-е уравнение НШ
\[
\frac{\partial U_{0}(x)}{\partial t}=\left\{I_{n}, U_{0}(x)\right\}=i x \sigma_{3} \operatorname{grad} I_{n}(x) .
\]

В силу соотношений (5.34) оно может быть записано в виде
\[
\frac{\partial U_{0}(x)}{\partial t}=i \varkappa \sigma_{3} \Lambda^{m} \operatorname{grad} I_{n-m}(x),
\]

где $m$-произвольное целое число. Это наводит на предполоЯкоби. Соответствующая гипотетическая пуассонова структура инеет вид
\[
\{F, G\}_{m}=\frac{\%}{i} \int_{-L}^{i} \operatorname{tr}\left(\operatorname{grad} F(x) \sigma_{3} \Lambda^{m} \operatorname{grad} G(x)\right) d x,
\]

так что уравнение (5.54) определяется по этой скобке Пуассона са.иильтонианом $I_{n-m}$ :
\[
\frac{\partial U_{0}(x)}{\partial t}=\left\{I_{n-m}, U_{0}(x)\right\}_{m} .
\]

Наша основная пуассогова структура отвечает случаю $m=0$.
Чтобы придать строгий смысл этим расуждениям, следует проверить, что форма (5.55) корректно определена, антисимметрична и удовлетворяет тождеству Якоби. Здесь мы проверим первые два свойства. Тождество Якоби будет получено в части II как следствие общих ли-алгебраических соображений.

Начнем со скобки Пуассона $\{F, G\}_{1}$. Для наблюдаемой $G$ допустимого функционала на фазовом пространстве $\mathscr{M}_{L_{i} \theta}$ — градиент удовлетворяет условию квазипериодичности
\[
\operatorname{grad} G(x+2 L)=Q^{-1}(\theta) \operatorname{grad} G(x) Q(\theta),
\]

совпадающему с условием квазипериөдичности для матрицы $U_{9}(x)$. В определении действия $\Lambda$-оператора на $\operatorname{grad} G(x)$ участвует диагональная матрица $\left[U_{0}(x), \operatorname{grad} G(x)\right.$ ], периодическая с периодом $2 L$ вследствие (5.57). Если эта матрица имеет нулевое среднее
\[
\int_{-L}^{L}\left[U_{0}(x), \operatorname{grad} G(x)\right] d x=0,
\]

то периодической останется и матрица $d^{-1}\left(\left[U_{0}, \operatorname{grad} G\right]\right)(x)$, а антидиагональная матрица $\Lambda \operatorname{grad} G(x)$ будет квазипериодической. Поэтому подынтегральное выражение в (5.55) периодично и интеграл не зависит от выбора фундаментальной области.

Однако в өпределении действия оператора $d^{-1}$ на диагональные бесследовые матрицы с нулевым средним имеется произвол — аддитивная добавка вида $c \sigma_{3}$. Покажем, что если наблюдаемая $F$ также удовлетворяет условию (5.58), то выражение $\{F, G\}_{1}$ не зависит от $c$ и тем самым корректно определено.

указанный произвол в выражении для $\Lambda \operatorname{grad} G(x)$ сводится к слагаемому $c \sigma_{3}\left[U_{0}(x), \sigma_{3}\right]=-2 c U_{0}(x)$; его вклад в $(5.55)$

имеет вид
\[
\begin{aligned}
\frac{c x}{i} \int_{-L}^{L} \operatorname{tr}\left(\operatorname{grad} F(x)\left[U_{0}(x), \sigma_{3}\right]\right) d x= \\
=i c x \int_{-L}^{L} \operatorname{tr}\left(\left[U_{0}(x), \operatorname{grad} F(x)\right] \sigma_{3}\right) d x=0,
\end{aligned}
\]

если $F$ удовлетворяет условию (5.58). Действительно, матрица $\left[U_{0}(x), \operatorname{grad} G(x)\right]$, как диагональная бесследовая матрица, пропорциональна $\sigma_{3}$, и соотношения (5.58) и (5.59), после замены $G$ на $F$, эквивалентны.

Таким образом, скобка Пуассона $\{F, G\}$, действительно корректно определена для наблюдаелых $F$ и $G$, удовлетворяющих условию (5.58). Ее антисимметричность следует из форма.тьной антисимметричности оператора $i \sigma_{3} \Lambda$.

Условие допустимости (5.58) имеет налляную гамильтонову интерпретацию. Действительно, сөотношение
\[
\int_{-L}^{L} \operatorname{tr}\left(\left[U_{0}(x), \operatorname{grad} G(x)\right] \sigma_{3}\right)=0,
\]

эквивалентное (5.58), можно записать в виде
\[
\left\{G, I_{1}\right\}_{0}=0,
\]

если использовать определение (5.51) скобки Пуассона $\{$, \}. и формулу (5.35). Последнюю формулу в силу (5.55) и (5.34) можно переписать в терминах скобки Пуассона \{\}$_{1}$ :
\[
\left\{G, I_{0}\right\}_{1}=0 .
\]

Из обещанного выше тождества Якоби получаем, что ести наблюдаемые $F$ и $G$ удовлетворяют условию (5.62), то ему удовлетворяет и $\{F, G\}_{1}$. Таким образом, условие (5.61) корректно отбирает алеебру наблюдаельх, на которой определена новая йассонова структура.

Рассмотрим теперь скобку Пуассона $\{F, G\}_{n}$ для произвольного натуғального $n$. Повторяя приведенные выше рассуждения, убеждаемся, что эта пуассонова структура определена на наб.тюдаемых, удовлетворяющих условиям
\[
\left\{G, I_{1}\right\}_{0}=\ldots=\left\{G, I_{n}\right\}_{0}=0 .
\]

Эти условия можно переписать в виде
\[
\left\{G, I_{-n+1}\right\}_{n}=\ldots=\left\{G, I_{0}\right\}_{n}=0,
\]

что позволяет выделить\»алгебру наблюдаемых, ассоциированную со скобкой Пуассона $\{,\}_{n}$ (с точностью до непроверенного пока тождества Якоби).

Сходные рассуждения позволяют корректно определить скобки Пуассона $\{,\}_{n}$ и для отрицательных $n$. Мы разберем подробно лишь случай $n=-1$.
Формальное выражение
\[
\{F, G\}_{-1}=\frac{x}{i} \int_{-L}^{L} \operatorname{tr}\left(\operatorname{grad} F(x) \sigma_{3} \Lambda^{-1} \operatorname{grad} G(x)\right) d x
\]

имеет смысл, если grad $G(x)$ принадлежит области значений $\operatorname{Im} \Lambda$ оператора $\Lambda$ :
\[
\operatorname{grad} G(x)=\Lambda H(x),
\]

где антидиагональная матрица $H(x)$ удовлетворяет условию
\[
\int_{-L}^{L}\left[U_{0}(x), H(x)\right] d x=0,
\]
т. е. принадлежит области определения оператора $\Lambda$. Условие (5.67) переписывается в виде
\[
\begin{aligned}
0=\int_{-L}^{L} \operatorname{tr}\left(H(x) \sigma_{3} \operatorname{grad} I_{1}(x)\right) d x & =\int_{-L}^{L} \operatorname{tr}\left(H(x) \sigma_{3} \Lambda \operatorname{grad} I_{
u}(x)\right) d x= \\
& =\int_{-L}^{L} \operatorname{tr}\left(\operatorname{grad} G(x) \sigma_{3} \operatorname{grad} I_{0}(x)\right) d x .
\end{aligned}
\]

Таким образом, получаем необходимое условие корректности формулы (5.65)
\[
\left\{G, I_{0}\right\}_{0}=0 .
\]

Если этому условию удовлетворяет также и $F$, то формула (5.65) не зависит от произвола в (5.66), который выражается в виде аддитивной добавки вида $c U_{0}(x)$. Действительно,
\[
\begin{aligned}
c \int_{-L}^{L} \operatorname{tr}\left(\operatorname{grad} F(x) \sigma_{3} \Lambda^{-1} U_{0}(x)\right) d x= \\
=c x \int_{-L}^{L} \operatorname{tr}\left(\operatorname{grad} F(x) \sigma_{3} \Lambda^{-1} \operatorname{grad} I_{1}(x)\right) d x= \\
=c x \int_{-L}^{L} \operatorname{tr}\left(\operatorname{grad} F(x) \sigma_{3} \operatorname{grad} I_{0}(x)\right) d x=0 .
\end{aligned}
\]

Наконец, условие (5.69) является не только необходимым, но и достаточным для того, чтобы $\operatorname{grad} G(x)$ принадлежал $\operatorname{Im} \Lambda$. Действительно, его можно интерпретировать как условие ортогональности к пространству Kеr $\Lambda$ — ядру антисимметричного операто-

ра $\Lambda$. При этом ядро $\operatorname{Ker} \Lambda$ понимается по модулю неоднозначности вида $c U_{0}(x)$ в определении оператора $\Lambda$.

Условие допустимости (5.69) в терминах скобки Пуассона $\{,\}_{-1}$ может быть записано в виде
\[
\left\{G, I_{1}\right\}_{-1}=0
\]

и корректно выделяет алгебру наблюдаемых.
Аналогичным образом со скобками Пуассона $\{,\}_{-n}, n>1$, связываются условия допустимости
\[
\left\{G, I_{0}\right\}_{0}=\ldots=\left\{G, I_{-n+1}\right\}_{0}=0,
\]

или
\[
\left\{G, I_{n}\right\}_{-n}=\ldots=\left\{G, I_{1}\right\}_{-n}=0 .
\]

Они выделяют алгебру наблюдаемых, ассоциированную с соответствующей пуассоновой структурой.

Отметим, что интегралы движения $I_{n}$ являются допустимыми для всей иерархии пуассоновых структур $\{,\}_{m}$ и находятся в инволюции по отношению к каждой из них:
\[
\left\{I_{k}, I_{n}\right\}_{m}=0,
\]

где $k, n$ и $m$ — произвольные целые числа.
На этом мы заканчиваем обсуждение иерархии пуассоновых структур для квазипериодического случая. Подводя итог, подчеркнем, что их характеристическим свойством является возможность записать высшие уравнения НШ в виде (5.56).
$B$ заключение обсудим предельный переход $L \rightarrow \infty$. Чтобы не вдаваться в излишние технические детали, мы ограничимся рассмотрением только быстроубывающего случая.

Здесь оператор $d^{-1}$, участвующий в операторе $\Lambda$, может быть определен на произвольных быстроубывающих функциях $f(x)$ с сохранением свойства формальной антисимметричности:
\[
d^{-1} f(x)=\frac{1}{2}\left(\int_{-\infty}^{x} f(y) d y-\int_{x}^{\infty} f(y) d y\right) .
\]

Образ такого оператора содержит, помимо шварцевских функций, еще и функции с неисчезающими предельными значениями при $|x| \rightarrow \infty$. Однако $\Lambda$-оператор переводит матрицы типа Шварца (т. е. матрицы со шварцевскими матричными элементами) в матрицы того же типа, поскольку в его определении $d^{-1}$ сопровождается умножением на быстроубывающую матрицу $U_{0}(x)$.

При таком определении оператора $\Lambda$ приведенные выше формулы для интегралов движения $I_{n}$, их градиентов и иерархии пуассоновых структур остаются в силе после замены в формулах (5.42), (5.48), (5.51) и (5.55) области интегрирования ( $-L, L$ ) на всю вещественную ось. При этом, в отличие от квазипериодического случая, в определении скобок Пуассона $\{,\}_{n}$ для $n>0$ не требуется сужать алгебру наблюдаемых. Однако эта пуассо-

нова структура оказывается вырожденной: у нее существует аннулятор — центр скобки Пуассона $\{,\}_{n}$. Этот аннулятор порождается наблюдаемыми $F$, для которых $\operatorname{grad} F(x)$ принадлежит $\operatorname{Ker} \Lambda^{n}$.

Для пуассоновых структур $\{,\}_{n}$ с $n<0$ условие допустнмости остается, однако в гораздо более слабом виде, чем в квазипериодическэм случае: функции $\operatorname{grad} F(x)$, отвечающие допустимым наблюдаемым $F$, должны принадлежать $\operatorname{Im} \Lambda^{-n}$.

Эти условия особенно просто выглядят в термннах переменных типа действие — угол, которые мы построим в $\S 7$.