Уравнения движения имеют вид
\[
\frac{d^{2} q_{n}}{d t^{2}}=e^{q_{n+1}-q_{n}}-e^{q_{n}-q_{n-1}},
\]

где $q_{n}$ – набор вещественных переменных, имеющих смысл координат классических частиц с одной степенью свободы. Типичные граничные условия выглядят следующим образом.
a) Условия свободных концов: $1 \leqslant n \leqslant N$,
\[
q_{0}=-q_{N+1}=+\infty .
\]
б) Қвазипериодические граничные условия
\[
q_{n+N}=q_{n}+c,
\]

где $c$-произвольная вещественная константа, не зависящая от $t$.
в) Быстроубывающие граничные условия
\[
\lim _{n \rightarrow-\infty} q_{n}=0, \lim _{n \rightarrow+\infty} q_{n}=c,
\]

где предельные значения принимаются достаточно быстро.
На самом деле условня в) являются скорее аналогамн условий конечной плотности для модели НШ (см. § I. 1 части I). Однако мы их называем быстроубывающими, так как разности $q_{n}-q_{n-1}$, входящие в уравнения движения, быстро убывают при $|n| \rightarrow \infty$.

Напбольший интерес для нас будут представлять граничные условия б) и в).

Уравнения движения модели Тода являются уравнениями Ньютона
\[
\frac{d^{2} q_{n}}{d t^{2}}=-\frac{\partial V}{\partial q_{n}}
\]

для системы $N$ одномерных частиц с потенциалом
\[
V(q)=\sum_{n}\left(e^{q_{n} q_{n-1}}-1\right),
\]

где суммирование ведется в соответствии с граничными условиями (т. е. возможен и случай $N=\infty$ ). Тем самым они являются

гамильтоновыми уравнениями с гамильтонианом
\[
H=\sum_{n} \frac{1}{2} p_{n}^{2}+V(q)
\]

на обычном фазовом пространстве с координатами $p_{n}, q_{n}$ и пуассоновой структурой
\[
\left\{p_{n}, p_{m}\right\}=\left\{q_{n}, q_{m}\right\}=0, \quad\left\{p_{n}, q_{m}\right\}=\delta_{n m} .
\]

Уравнения движения модели Тода допускают представление нулевой кривизны (2.1) – (2.2) с матрицами $L_{n}(t, \lambda)$ и $V_{n}(t, \lambda)$ следующего вида:
\[
L_{n}(\hat{\lambda})=\left(\begin{array}{cc}
p_{n}+\lambda & e^{q_{n}} \\
-e^{-q_{n}} & 0
\end{array}\right), \quad V_{n}(\lambda)=\left(\begin{array}{cc}
0 & -e^{q_{n}} \\
e^{-q_{n-1}} & \lambda
\end{array}\right) .
\]

Подробному обсуждению этого важного примера мы посвятим главу III.