1) Скобка Ли – Пуассона вида (1.3) на фазовом пространстве $g^{*}$ была введена и изучалась С. Ли [4.52]. Эта пуассонова структура и порожденная ею симплектическая структура на орбитах коприсоединенного действия алгебры Ли 8 в дальнейшем переоткрывалась различными авторами: [4.3], [4.16], [4.49], [4.62]. Современное изложение свойств скобки Ли – Пуассона и теории пуассоновых многообразий содержится в работе [4.64].
2) Термин алгебра токов для бесконечномерной алгебры Ли $C(g)=$ $=\mathbb{C} \otimes C[[\lambda, \lambda-]]$ взят из квантовой теории поля. В математической литературе алгебры Ли $C(g)$ называются алгебрами петель.
3) Схема построения интегрируемых систем, использующая разложение алгебры Ли в линейную сумму двух подалгебр, была предложена Б. Костантом на конечномерном примере модели Тода со свободными концами [4.50]. В работах [4.23], [4.36], [4.56], [4.57-4.58], [4.63] эта схема была усовершенствована и применена к широкому классу алгебр Ли, включающему и бесконечномерные алгебры; вторая структура алгебры Ли с коммутатором [, ]o была введена в [4.56], [4.58].
4) Связь $r$-матричной формулировки с алгеброй Ли $\mathrm{C}_{0}(g)$ была обнаружена в работе [4.30].
5) Формула (1.25) подсказывает абстрактное определение $R$-матрицы, введенное в работе [4.31]: $R$-матрицей называется оператор $R$ в алгебре Ли $g$, для которого коммутатор вида (1.25) удовлетворяет тождеству Якоби. Важный класс $R$-матриц образуют операторы $R$, удовлетворяющие при всех $\xi$ и $\eta$ из алгебры Ли g уравнению
\[
[R \xi, R \eta]-R([R \xi, \eta]+[\xi, R \eta])=-[\xi, \eta]
\]
– так называемому модифицированному уравнению Янга – Бакстера (см. [4.31]). Именно это уравнение справедливо для интегрального оператора $R$ в $C(g)$ с ядром $r(\lambda-\mu)$ вида (1.31), где интеграл понимается в смысле главного значения; при $\lambda
eq \mu$ оно совпадает с обычным уравнением Янга – Бакстера (2.3).
6) Для придания строгого смысла обозначениям $A \otimes I$ и $I \otimes A$ из $\$ 1$ следует считать, что алгебра Ли g вложена в ассоциативную алгебру с единицей (например, в универсальную обертывающую алгебру $U(g)$ ); ясно, что эти обозначения «функториальны».
7) Описание алгебры функций Қазимира алгебры Ли $C_{N, M}(g)$ приведено в работах [4.18], [4.34].
8) Многополюсные пуассоновы подмногообразия из $\S 1$ допускают простую интерпретацию в терминах алгебры Ли $g_{\mathcal{A}}$ над кольцом аделей $\mathcal{A}^{\text {поля }}$ $\mathbb{C}(\lambda)$ рациональных функций на $\mathbb{C}$ (см. [4.35]). Аналогом разложения (1.16) является представление алгебры Ли 9 в виде суммы подалгебры главных аделей $g(\lambda)$ – рациональных функций от $\lambda$ со значениями в $g$ – и подалгебры целых аделей $\mathrm{g}_{\mathfrak{A}}^{0}$ (переформулировка разложения рациональной функции на простые дроби). Элементы $U(\lambda)$ вида (1.55) образуют пуассоново подмногообразие в $g(\lambda)$ относительно действия подалгебры $g_{\text {д }}^{0}$.
9) Классификация решений уравнений (2.2)-(2.3), принимающих значения в простой алгебре Ли $\mathrm{g}$, дана в работе [4.2]. В ней дано описание всех тригонометрических и эллиптических $r$-матриц вида $r(u)=X^{a b}(u) t_{a} \otimes t_{b}$ с не вырождающейся тождественно матрицей $X^{a b}(u)$, удовлетворяющей условию $X^{a b}(u)=\delta^{a b} / u+O(1)$ при $u \rightarrow 0$, где $t_{\alpha}$-базис в $\mathrm{g}$, ортонормированный относительно формы Киллинга, и построено обширное семейство рациональных $r$-матриц. При этом обнаружилась тесная связь задачи о классификации тригонометрических $r$-матриц со структурной теорией аффинных алгебр Ли.
10) Способ построения тригонометрических и эллиптических $r$-матриц и связанных с ними фундаментальных скобок Пуассона при помощи процедуры усреднения был предложен в работе [4.30]. Не все тригонометрические $r$-матрицы получаются таким образом; однако можно показать, что для построения всех таких $r$-матриц нужно скомбинировать процедуру усреднения с расширением линейных операторов по фон Нейману [4.2], [4.31].
11) Отметим, что если автоморфизмы конечного порядка $\theta$ и $\theta^{\prime}$ алгебры Ли g имеют абелевы подалгебры неподвижных точек и отличаются на внутренний автоморфизм, то построенные по ним тригонометрические $r$-матрицы эквивалентны [4.2].
12) Эллиптическая $r$-матрица при $n=2$ была введена Е. К. Скляниным в [4.61] и обобщена на произвольные размерности в работе [4.1]. В [4.33] она была проинтерпретироеана как матричный аналог дзета-функции Вейернтрасса.
13) Можно определить аналог алгебры Ли $C_{0}$ (g) для тригонометрического и эллиптического случаев. Алгебра $C(g)$ и ее подалгебра $C_{+}(g)$ имеют тот же вид, что и в рациональном случае, в то время как аналог подалгебры $C^{-}(\mathrm{g})$ строится по решетке $\Lambda_{1}$ или $\Lambda_{2}$. Так, например, в эллиптическом случае $(g=\mathrm{sl}(n))$ ее можно определить следующим образом. Пусть $\mathscr{E}(g)$ – алгебра мероморфных функций $\xi(\lambda)$ на $\mathbb{C}$ со значениями в $\mathfrak{g}$, удовлетворяющих условиям квазипериодичности
\[
\xi\left(\lambda+\omega_{i}\right)=\theta_{i} \xi(\lambda), \quad i=1,2,
\]

и имеющих полюса в точках решетки $\Lambda_{2}$. Отождествим алгебру $\mathscr{E}(g)$ с подалгеброй в $C(g)$, сопоставив каждой функции из $\mathscr{E}(g)$ ее ряд Лорана в точке $\lambda=0$. Функции из $\mathscr{E}(\mathrm{g})$ однозначно определяются своими главными частями при $\lambda=0$, поэтому справедливо разложение
\[
C(\mathrm{~g})=C_{+}(\mathrm{g})+\mathscr{E}(\mathrm{g}),
\]

задающее структуру алгебры Ли $C_{0}(g)$. Оператор $R=\frac{1}{2}\left(P_{+}-P_{\varepsilon}\right)$ (см. формулу (1.24)) приводит к эллиптической $r$-матрице $r^{\Lambda_{2}}(\lambda)$. Линейное пространство $\mathscr{E}(g)$ является двойственным к алгебре Ли $C_{+}(g)$ относительно спаривания (1.13), и описанные в $\$ 1$ орбиты коприсоединенного действия алгебры $C_{+}(g)$ получают новую функциональную реализацию в пространстве $\mathscr{E}(g)$. В частности, простейшая орбита, отвечающая модели $М \Gamma$, превращается в орбиту, описывающую модель Л-Л. Эти результаты принадлежат А. Г. Рейману и $M$. А. Семенову-Тян-Шанскому [4.29].
14) Простейшие матрицы $L(\lambda)$, удовлетворяющие фундаментальным скобкам Пуассона с рациональной $r$-матрицей, для классических алгебр Ли приведены в работе [4.30].
15) Аналитическое обоснование мультипликативного усреднения (3.12) для случая $g=\operatorname{sl}(2)$ и матрицы $L(\lambda)$ модели РМГ было проведено в работе [4.30]. Бесконечное произведение (3.12) вычисляется явно и приводит к матрице $L(\lambda)$ модели LSG из § III. 5.
16) Фундаментальные скобки Пуассона (3.2) в одном узле задают пуассонову структуру на группе Ли $C(G)$ : элементы $L(\lambda)$ при всех $\lambda$ можно считать образующими кольца функций на группе $C(G)$ и продолжить скобку Пуассона на него по «правилу Лейбница». Описанная скобка Пуассона является прнмером класса скобок Пуассона на группах Ли, введенного в работе [4.13]. Основное свойство таких пуассоновых структур состоит в том, что операшия группового умножения является пуассоновым отображением. Это свойство формализует тот факт, что матрица монодромии $T_{N}(\lambda)$ для решеточных моделей удовлетворяет тем же скобкам Пуассона, что и матрицы $L_{n}(\lambda)$ (см. § III.1). Группа Ли с такой пуассоновой структурой называется пуассоновой группой Ли (или группой Гамильтона – Ли в работе [4.13]). Қвадратичная скобка Пуассона, введенная в работе [4.8], доставляет один из примеров пуассоновой групны Ли [4.31].
17) Геометрическая теория интегрируемых решеточных моделей построена в работах [4.31], [4.60]; соответствующие пуассоновы подмногообразия и орбиты описаны В. Г. Дринфельдом (см. [4.601).
18) Инволютивность алгебры функций Казимира $I(g)$ по отношению к скобке Пуассона $\{,\}_{0}$ – «теорема инволютивности»-по существу содержится в работе [4.50]. Ее $r$-матричная формулировка приведена в [4.31].
19) Способ решения гамильтоновых уравнений движения (4.10), порожденных функциями Казимира и скобкой Пуассопа $\{,\}_{0}$, при помощи задачи о факторизации (4.16) в группе Ли $G$ («теорема о факторизации») был предложен в работах [4.57-4.58]. Идея этого метода восходит к работе В. Е. Захарова и А. Б. Шабата [4.15].
20) Конечномерные простые алгебры Ли приводят к интегрируемым системам, обобщающим модель Тода со свободными концами на случай произвольной системы корней; эти модели были введены в работе [4.39], где для них было получено представление Лакса. Решение соответствующих уравнений движения и исследование асимптотической динамикн было дано в работе $[4.51]$.
21) Центральное расширение $\widetilde{\mathscr{C}}(g)$ алгебры токов $C(g)$ (в случае если $G$ – простая алгебра Ли) является примером алгебры Каца – Муди – аффинной алгебры Ли высоты 1 [4.48]. Ее введение мотивировано тем, что соответствующее коприсоединенное действие группы Ли $\mathscr{C}(G)$ задается калибровочными преобразованиями и приводит к уравнениям движения в форме нулевой кривизны. Впервые это обстоятельство отмечено в работе [4.25], где эти алгебры также использовались для построения интегрируемых уравнений.
22) Введение спектрального параметра $\lambda$ приводит к бесконечному числу независимых функций Казимира и, тем самым, позволяет строить содержательные примеры нелинейных уравнений, являющихся вполне интегрируемыми гамильтоновыми системами. Если $g$-конечномерная простая алгебра Ли, то с алгеброй токов $C(g)$ (зависимость от $x$ отсутствует) связан ряд интересных конечномерных интегрируемых систем: обобщенные периодические модели Тода, многомерные волчки в потенциальных полях и системы взаимодействующих волчков [4.5], [4.26], [4.29], [4.37], [4.57-4.58]. В этом случае теорема о факторизации немедленно приводит к теореме о линеаризации уравнений движения на якобиане спектральной кривой, т. е. алгебраической кривой, задаваемой уравнением $\operatorname{det}(U(\lambda)-\mu)=0$ [4.58]. Это связывает ли-алгебраический подход к интегрируемым уравнениям с теорией конечнозонного интегрирования и уравнениями Новикова [4.14], [4.22].
23) «Включение» зависимости от $x$ можно рассматривать как «двумеризацию» конечномерных ннтегрируемых систем. Так, например, имеется естественная двумеризация периодических моделей тода [4.20]; двумеризация волчков приводит к системам типа матричной модели Sine-Gordon (cм. § I.8).
24) Если в уравнении нулевой кривизны
\[
\frac{\partial U}{\partial t}-\frac{\partial V}{\partial x}+[U, V]=0
\]

зависимость от $t$ отсутствует (стационарный случай), то оно приобретает лаксов вид по отношению к матрице $V(x, \lambda)$ :
\[
\frac{d V}{d x}=[U, V] .
\]

Ли-алгебраическая схема дает простую интерпретацию введенной в [4.4], [4.7] пуассоновой структуры для таких стационарных уравнений: она совпадает со скобкой Ли – Пуассона для конечномерной орбиты, проходящей через элемент $V(x, \lambda)$ [4.27], [4.44]. Кроме того, можно рассмотреть совместную систему высших уравнений (6.4)
\[
\frac{\partial U}{\partial t_{n}}-\frac{\partial V_{n}}{\partial x}+\left[U, V_{n}\right]=0
\]

где для каждого уравнения введена своя временная переменная $t_{n}$ (так что $t=t_{N}, V=V_{N}$; для модели НШ $N=3$ ). Ввиду совместности системы (6.6) матрицы $V_{n}\left(x, t_{1}, \ldots, \lambda\right)$ удовлетворяют также уравнениям
\[
\frac{\partial V_{n}}{\partial t_{k}}-\frac{\partial V_{k}}{\partial t_{n}}+\left[V_{n}, V_{k}\right]=0
\]

Отсюда на многообразии стационарных решений $\left(\frac{\partial}{\partial t}=0\right.$ ) возникает совместная система уравнений
\[
\frac{\partial V}{\partial t_{n}}=\left[V_{n}, V\right]
\]
– уравнений Новикова, которые также являются гамильтоновыми по отношению к той же скобке Ли – Пуассона на орбите [4.27], [4.44].
25) Утверждение о том, что разные коциклы $\omega_{p}$ приводят к различным пуассоновым структурам $\{,\}_{p}$, обслуживающим одну и ту же серию интегрируемых уравнений, содержится в работе [4.18].
26) Уравнения (6.6) являются гамильтоновыми и плотности $h_{n}\left(x, t_{1}, \ldots\right)$ их гамильтонианов на решениях уравнений движения удовлетворяют соотношениям
\[
\frac{\partial h_{n}}{\partial t_{k}}=\frac{\partial p_{n}^{k}}{\partial x},
\]

где $p_{n}^{k}\left(x, t_{1}, \ldots\right)$ – плотности гамильтонианов для уравнений (6.7). Плотности $h_{n}$ можно выбрать таким образом (добавляя к ним, если необходимо, полные производные), что они и $p_{n}^{k}$ порождаются производящей функцией $\tau\left(x, t_{1}, \ldots\right)$ в следующем смысле:
\[
\begin{array}{l}
h_{n}=\frac{\partial^{2}}{\partial t_{n} \partial x} \ln \tau, \\
p_{n}^{k}=\frac{\partial^{2}}{\partial t_{k} \partial t_{n}} \ln \tau
\end{array}
\]

[4.27], [4.44-4.45]. (В случае модели НШ плотности $h_{n}$ следует выбирать согласно формуле (III.5.42) в части I.) Функция $\tau$ совпадает с известной $\tau$-функцией из работы японских авторов [4.40], которые вводили ее, исходя из теории представлений аффинных алгебр Ли. Первоначально $\tau$-функция в частном случае была определена в работе P. Хироты [4.47] как решение некоторой системы билинейных уравнений (уравнений Хироты). Эти уравнения получили естественную интерпретацию в терминах теории представлений аффинных алгебр Ли [4.40], [4.48]. Другой подход к $\tau$-функции, основаниый на аналитических свойствах решений уравнения вспомогательной линейной задачн, был предложен в работе [4.59].
27) Общая ли-алгебраическая схема из $\S 4$ может быть применена не только к алгебре токсв, но и к алгебре символов псевдодифференциальных операторов [4.19], [4.36]. В результате пуассоновы структуры, введенные в [4.7], получают естественную интерпретацию. Процедура двумернзации, использующая 2-коцикл Маурера – Қартана, в этом случае приводит к уравнениям типа Қадомцева – Петвиашвили [4.28].
28) Естественное объяснение поведения скобок Пуассона при одевающих преобразованиях основано на теории пуассоновых групп Ли. Именно, одевающие преобразования являются пуассоновыми относительно некоторой пуассоновой структуры на группе Ли $C_{0}(G)$ [4.60]. Инфинитезимальные одевающие преобразования можно также определить и прямыми методами. Реализующие их векторные поля часто сопоставляют со «скрытыми симметриями»; они описаны в обзоре [4.42]. (Заметим, что эти векторные поля, вообще говоря, не гамильтоновы [4.60].)
29) Важным классом одевающих преобразований, которые могут быть заданы в явном виде, являются так называемые преобразования Бэклунда, введенные Бэклундом для уравнения Sine-Gordon [4.38] и часто встречающиеся в современной литературе по методу обратной задачи и теории солитонов [4.55].
30) Формуле (5.16) можно придать строгий смысл, если рассматривать для быстроубывающих граничных условий группу токов $\mathscr{C}((G))$ с треугольными асимптотиками при $x \rightarrow \pm \infty$ (сравни с соответствующими формулами для асимптотик матриц $G_{ \pm}(x, t, \lambda)$ из $\S$ II, 1 части I). Инварианты коприсоединенного действия в этом случае совпадают с минорами приведенной матрицы монодромии $T(\lambda)$ (т. е. с коэффициентом $a(\lambda)$ для модели НШ).
31) Утверждение о том, что скобка Пуассона $\{$,$\} (1) получается редук-$ цией по Дираку [4.41] из скобки Ли – Пуассона $\{,\}_{-1}$, содержится в работе [4.24].
32) Понятие согласованных скобок Пуассона было введено в работе [4.53] и подробно изучено в [4.9-4.10] (отметим, что тождество Якоби для скобки Пуассона $\{,\}^{(\alpha)}$ при всех $\alpha$ вытекает из тождества Якоби при одном значении $\alpha
eq 0)$. Вывод тождества Якоби для скобок Пуассона $\{,\}_{(k)}$, приведенный в $\S 5$, взят из работы [4.9].
33) Построение семейства функционалов $I_{n}$ и иерархии согласованных скобок Пуассона $\{,\}_{\{k\}}$, данное в $\S 5$, восходит к работе [4.53] (см. также [4.17]).
34) Для модели МГ также имеются $\Lambda$-оператор и иерархия пуассоновых структур. Соответствующая вторая скобка Пуассона $\{,\}_{(1)}$ получается из скобки Ли – Пуассона
\[
\left\{S_{a}(x), S_{b}(y)\right\}_{(\mathbf{1})}=\frac{1}{2} \delta_{a^{b}} \delta^{\prime}(x-y)
\]

редукцией на орбиту $\vec{S}^{2}(x)=1$; возникающий $\Lambda$-оператор совпадает с приведенным в работе [4.46].
35) Общая ли-алгебраическая схема из § 4 также приводит к интересным результатам, если в качестве алгебры Ли g взять алгебру векторных полей на окружности и рассмотреть центральное расширение алгебры Ли $C(\mathrm{~g})$ при помощи 2 -коцикла Гельфанда – Фукса [4.6], приводящее к алгебре Ви-
расоро. В частности, вторая пуассонова структура с $\Lambda$-оператором для уравнения КдФ совпадает с соответствущей скобкой Ли- Пуассона [4.32].
36) Связь между основной и второй пуассоновыми структурами для уравнения КдФ устанавливается известным преобразованием Миуры [4.54]. Обобщение этого факта на уравнения в алгебре символов, связанные с дифференциальными операторами старших порядков, дано в работе [4.11]. Именно, по каждой аффинной алгебре Ли строится серия уравнений типа модифицированного уравнения КдФ и несколько серий уравнений типа КдФ, причем их решения связаны обобщенным преобразованием Миуры. Структура преобразования Миуры определяется диаграммой Дынкина аффинной алгебры Ли [4.12].
37) Другой подход к классификации интегрируемых уравнений в а priori заданной функциональной форме предложен в работе [4.21], в которой используются классические методы теории преобразований Ли-Бэклунда.