В этой главе мы обобщим накопленный при рассмотрении конкретных примеров опыт описания интегрируемых моделей. Основными объектами метода обратной задачи и его гамитьтоновой интерпретации являлись оператор вспомогательной линейной задачи $L=\frac{d}{dx}-U(x,\lambda )$ и фундаментальные скобки Пуассона для матрицы $U(x,\lambda )$, в которых участвует $r$-матрица. Аналогичные объекты были введены и для моделей на решетке. Мы покажем, что эти понятия допускают простую геометрическую интерпретацию.

Мы приведем естественное разбиение интегрируемых моделей на три семейства: рациональные, тригонометрические и эллиптические, в соответствии с видом зависимості матриц $U(x,\lambda )$ и $r(\lambda )$ от спектрального параметра $\lambda$. Мы дадим интерпретацию фундаментальных скобок Пуассона для рацнонального семейства в терминах бесконечномерной алгебры Ли, ассоциированной с алгеброй токов. Тригонометрические и эллиптические семейства получаются при помощи процедуры усреднения по одномерной и двумерной решеткам на комплексной п.тоскости спектрального параметра $\lambda$. Аналогичные семейства нмеются и для решеточных моделей, и мы обсудим соответствующие им фундаментальные скобки Пуассона. Ограничиваясь рациональным случаем, мы также обсудим с общей точки зрения и динамику интегрируемых моделей. При этом мы получим естественную геометрическую интерпретацию задачи Римана. Мы приведем также ли-алгебраическую интерпретацию иерархии пуассоновых структур и соответствующего $\mathrm{\Lambda }$-оператора.