1) Полная интегрируемость модели Тода в периодическом случае была доказана в работах С. В. Манакова [3.7] и Г. Флашки [3.17-3.18], в которых использовалось представление Лакса с матрицей $\mathscr{L}$ вида (2.35):
\[
\mathscr{L}_{n m}=c_{n} \delta_{n, m+1}-p_{n} \delta_{n m}+c_{m} \delta_{n, m-1},
\]
где $\delta_{n+N, m}=\delta_{n, N+m}=\delta_{n m}$. Функции $\operatorname{tr} \mathscr{L}^{h}, k=1, \ldots, N$, образуют инволютивное семейство на фазовом пространстве модели и при этом $H=\frac{1}{2} \operatorname{tr} \mathscr{L}^{2}$. Матрица $L_{n}(\lambda)$ вида (1.8) была введена в [3.11].
2) Общее решение периодической модели Тода в терминах тэта-функций Римана было получено в работе [3.6]. Соответствующие канонические переменные типа действие – угол были веедены в [3.19].
3) Вспомогательная линейная задача (2.33) (при $N=\infty$ )
\[
\mathscr{L}\}=\lambda f
\]
I обратная задача для нее исследовались в работах [3.7], [3.17-3.18] (без обсуждения тонкостей, связанных с краем непрерывного спектра и условием (c)); см. также монографии [3.3] и [3.12]. В последней приведены и различные физические приложения модели Тода.
4) При $p_{n}=0$ уравнение (6.2) превращается во вспомогательную линейную задачу для введенной в § 1.2 модели Вольтерра
\[
c_{n+1} f_{n+1}+c_{n} f_{n-1}=\lambda f_{n} \text {, }
\]
где $c_{n}=7 \overline{u_{n}}$ (см. [3.7]). В этом случае коэффициенты перехода $a(z)$ и $b(z)$ удовлетворяют дополнительной инволюции
\[
a(z)=a(-z), \quad b(z)=-b(-z) .
\]
Уравнение (6.3) представляет собой решеточный аналог одномерного уравнения Шредингера и в этом качестве исследовалось в работе [3.15].
5) В непрерывном пределе уравиения движения модели Тода переходят в уравнение нелинейной струны
\[
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{4} u}{\partial x^{4}},
\]
которое также интегрируется методом обратной задачи (см. [3.2]), а уравнения движения модели Вольтерра-в уравнение КдФ (см. [3.7], [3.3]). При этом представления нулевой кривизны для решеточных моделей переходят в соответствующие непрерывные аналоги.
6) Переменные типа действие – угол из $\$ 4$ (без учета дополнительных слагаемых в скобках Пуассона (4.32)-(4.33)) были введены в [3.8] (см. также [3.16]), где с самого начала использовался гамильтониан $\mathscr{F}$.
7) Интересную задачу представляет собой описание топологии фазового пространства $\mathscr{K}_{c}$ в терминах переменных $\rho(\theta), \varphi(\theta), \tilde{p}_{j}, \tilde{q}_{j}$ и соответствующей алгебры наблюдаемых.
8) Для моделей, у которых непрерывный спектр вспомогательной линейной задачи имеет край, вопрос о корректном выборе канонических асимптотических переменных для динамики солитонов (а также и мод непрерывного спектра) является нетривиальным (сравни с моделью НШ в случае конечной плотности). Для уравнения КдФ эта задача была решена в [3.14]. Методы этой работы могут быть, в принципе, применены к моделям Тода и НШ в случае конечной плотности.
9) Как и в случае моделей НШ и КдФ, для модели Тода можно ввести иерархию пуассоновых структур, начинающуюся со скобок Пуассона (1.3). Вторая пуассонова структура для модели Тода была введена в [3.13] и в
термннах пег еменных $p_{n}, u_{n}=e^{q_{n}-q_{n-1}}$ имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\left\{p_{n}, u_{m}\right\}=-p_{n} u_{m}\left(\delta_{n m}-\delta_{n-1, m}\right), \\
\left\{p_{n}, p_{m}\right\}=u_{m}^{2} \delta_{n, m+1}-u_{n}^{2} \delta_{n, m-1}, \\
\left\{u_{n}, u_{m}\right\}=-u_{n} u_{m}\left(\delta_{n+1, m}-\delta_{n-1, m}\right) .
\end{array}
\]
В отличие от пуассоновой структуры (1.3), скобки Пуассона (6.6) допускают нетривиальную редукцию на подмногообразие $p_{n}=0$. Получающаяся пуассонова структура
\[
\left\{u_{n}, u_{m}\right\}=-u_{n} u_{m}\left(\delta_{n+1, m}-\delta_{n-1, m}\right)
\]
приводит к уравнениям движения модели Вольтерра
\[
\frac{d u_{n}}{d t}=u_{n}\left(u_{n+1}-u_{n-1}\right),
\]
если в качестве гамильтониана взять выражение
\[
H=\sum_{n} u_{n} .
\]
В непрерывном пределе $u_{n} \rightarrow 1-\Delta u(x)$ скобки Пуассона (6.7) переходят в скобки Пуассона (1.3.15) для модели КдФ.
Скобки Пуассона (1.2.18) для модели Вольтерра получаются из третьей пуассоновой структуры для модели Тода ограничением на подмногообразие $p_{n}=0$. В непрерывном пределе $u_{n} \rightarrow 1-\Delta^{2} u(x)$ они переходят во вторую пуассонову структуру для модели КдФ (см. § III. 10 части I).
10) Модель РЛ-Л и квадратичная алгебра скобок Пуассона были введены Е. К. Скляниным в работе [3.9]. Исследование этой модели в быстроубывающем случае было проделано в [3.1], где были описаны и переменные типа действие – угол.
11) Модель LSG была сформулирована в работах [3.4], [3.20]. В [3.10] было показано, что эта модель в быстроубывающем случае является вполне интегрируемой, и приведены переменные типа действие — угол.
12) В работах [3.1] и [3.10] было показано, что переменные типа дей. ствие – угол для моделей РЛ-Л и LSG совпадают со своими аналогами для моделей Л-Л и SG, и подчеркнуто, что этот факт обусловлен совпадением соответствующих $r$-матриц.
13) Использованная нами схема построения локальных гамильтонианов для моделей на решетке была развита в работах [3.5], [3.21]. Отметим, что рассмотренный в [3.10] гамильтониан из [3.5], [3.21] отличается от приведенного в $\S 5$.
14) При построении решеточного аналога модели Л-Л мы положили в основу построение матрицы $L_{n}(\lambda)$ из вспомогательной линейной задачи, удовлетворяющей фундаментальным скобкам Пуассона. Мы считаем, что этот принцип является наиболее удачным для построения интегрируемых решеточных аналогов непрерывных моделей.
