Из соотношения (3.12) по аналогии с рассуждениями из § III. 6 части I получаем выражения для скобок Пуассона решений Иоста $T_{ \pm}(x, \lambda)$ и приведенной матрицы монодромии $T(\lambda)$ :
\[
\begin{array}{c}
\left\{T_{ \pm}(x, \lambda) \otimes T_{ \pm}(x, \mu)\right\}=\mp r(\lambda, \mu) T_{ \pm}(x, \lambda) \otimes T_{ \pm}(x, \mu) \pm \\
\pm T_{ \pm}(x, \lambda) \otimes T_{ \pm}(x, \mu) r_{ \pm}(\lambda, \mu), \\
\left\{T_{+}(x, \lambda) \otimes T_{-}(x, \mu)\right\}=0 \\
\{T(\lambda) \otimes T(\mu)\}=r_{+}(\lambda, \mu) T(\lambda) \otimes T(\mu)-T(\lambda) \otimes T(\mu) r_{-}(\lambda, \mu) .
\end{array}
\]
Злесь
так что имеют место формулы связи
\[
r_{ \pm}^{\mathrm{Mr}}(\lambda, \mu)=\frac{\lambda \mu}{2} r_{ \pm}^{\mathrm{HW}}(\lambda-\mu) .
\]
Отсюда получаем следующие выражения для скобок Пуассона коэффициентов перехода и дискретного спектра:
\[
\begin{array}{l}
\{a(\lambda), a(\mu)\}=\{a(\lambda), \bar{a}(\mu)\}=0, \\
\{b(\lambda), b(\mu)\}=0, \\
\{b(\lambda), \bar{b}(\mu)\}=\pi i^{2}|a(\lambda)|^{2} \delta(\lambda-\mu), \\
\{a(\lambda), b(\mu)\}=-\frac{\lambda \mu}{2(\lambda-\mu+i 0)} a(\lambda) b(\mu), \\
\{a(\lambda), \bar{b}(\mu)\}=\frac{\lambda \mu}{2(\lambda-\mu+i 0)} a(\lambda) \bar{b}(\mu)
\end{array}
\]
II
\[
\begin{array}{l}
\left\{b(\lambda), \gamma_{j}\right\}=\left\{b(\lambda), \bar{\gamma}_{i}\right\}=0, \\
\left\{b(\lambda), \lambda_{j}\right\}=\left\{b(\lambda), \bar{\lambda}_{j}\right\}=0, \\
\left\{a(\lambda), \gamma_{j}\right\}=-\frac{\lambda \lambda_{j}}{2\left(\lambda-\lambda_{j}\right)} a(\lambda) \gamma_{j}, \\
\left\{a(\lambda), \bar{\gamma}_{j}\right\}=\frac{\lambda \bar{\lambda}_{j}}{2\left(\lambda-\bar{\lambda}_{j}\right)} a(\lambda) \bar{\gamma}_{j},
\end{array}
\]
а также
\[
\begin{array}{c}
\left\{\lambda_{j}, \lambda_{k}\right\}=\left\{\lambda_{j}, \bar{\lambda}_{k}\right\}=0, \\
\left\{\gamma_{j}, \gamma_{k}\right\}=\left\{\gamma_{j}, \bar{\gamma}_{k}\right\}=0, \\
\left\{\lambda_{j}, \gamma_{k}\right\}=\frac{\lambda_{j}^{2} \gamma_{k}}{2} \delta_{j k}, \\
\left\{\lambda_{j}^{n}, \bar{\gamma}_{k}\right\}=0, \quad j, k=1, \ldots, n .
\end{array}
\]
Таким образом, данные непрерывного и дискретного спектра находятся в инволюции, а неисчезающие скобки Пуассона данных обратной задачи ( $\left.b(\lambda), \bar{b}(\lambda) ; \lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}, \gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j}, j=1, \ldots, n\right)$ даются формулами (3.20) и (3.29).
Скобки Пуассона (3.18) показывают, что $\ln a(\lambda)$ является производящей функцией инволютивных интегралов движения. В частности,
\[
\left\{I_{k}, I_{l}\right\}=0,
\]
где $I_{i}, l=0,1, \ldots$, – локальные интегралы движения модели $M \Gamma$, построенные в $§ 1$. Кроме того, из (1.103) следует, что
\[
\left\{M_{3}, I_{l}\right\}=0,
\]
где $M_{3}$ – третья компонента полного спина.
