Этот параграф носит технический характер. Здесь мы приведем альтернативный и более традиционный подход к решению обратной задачи, основанный на интегральных уравнениях Гельфанда – Левитана – Марченко, и установим его связь с методом задачи Римана.

В отличие от последнего метода, основанного на стандартной задаче (2.1) об аналитической факторизации матриц-функций, метод Гельфанда – Левитана – Марченко использует специальную задачу сопряжения аналитических вектор-функций, следующую из формулы связи (1.3) для решений Йоста
\[
T_{-}(x, \lambda)=T_{+}(x, \lambda) T(\lambda) ;
\]

напомним, что $T(\lambda)$ задается в виде
\[
T(\lambda)=\left(\begin{array}{ll}
a(\lambda) & \varepsilon \bar{b}(\lambda) \\
b(\lambda) & \bar{a}(\lambda)
\end{array}\right)
\]

и $\varepsilon=\operatorname{sign} x$.
Для формулировки этой задачи воспользуемся соотношением (4.1) для первого столбца $T_{-}^{(1)}(x, \lambda)$ матрицы $T_{-}(x, \lambda)$, которое сразу запишем в виде
\[
\frac{1}{a(\lambda)} T_{-}^{\prime \prime}(x, \lambda)=T_{+}^{(1)}(x, \lambda)+r(\lambda) T_{+}^{(2)}(x, \lambda),
\]

где
\[
r(\lambda)=b(\lambda) / a(\lambda) .
\]

Левая часть равенства (4.3) аналитически продолжается в верхнюю полуплоскость $\lambda$, за исключением точек $\lambda=\lambda$; $j=1, \ldots$ $\ldots, n$, где она имеет простые полюсы. В силу соотношения (I.6.20)
\[
T_{-}^{(1)}\left(x, \lambda_{j}\right)=\gamma_{j} T_{+}^{(2)}\left(x, \lambda_{j}\right)
\]

получаем, что
\[
\text { res }\left.\frac{1}{a(\lambda)} T_{-}^{(1)}(x, \lambda)\right|_{\lambda=\lambda_{j}}=c_{i} T_{+}^{(2)}\left(x, \lambda_{j}\right),
\]

где
\[
c_{i}=\frac{\gamma_{j}}{\dot{a}\left(\lambda_{j}\right)}, \quad j=1, \ldots, n,
\]

а точка означает производную по $\lambda$. При $|\lambda| \rightarrow \infty$ имеем асимптотику
\[
\frac{1}{a(\lambda)} T_{-}^{(1)}(x, \lambda) e^{i \lambda x / 2}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)+o(1) .
\]

Первое слагаемое $T_{-}^{(1)}(x, \lambda)$ в правой части (4.3) аналитически продолжается в нижнюю полуплоскость и при $|\lambda| \rightarrow \infty$ имеет там асимптотику
\[
T_{+}^{(1)}(x, \lambda) e^{i 7 x / 2}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)+o(1) .
\]

Столбец $T_{+}^{(2)}(x, \lambda)$, участвующий во втором слагаемом, аналитически продолжается в верхнюю полуплоскость и имеет при $|\lambda| \rightarrow \infty$ асимптотику
\[
T_{+}^{(2)}(x, \lambda) e^{-i x_{12}}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right)+o(1) .
\]

Столбцы $T_{+}^{(\mathbf{1})}(x, \lambda)$ и $T_{+}^{(2)}(x, \lambda)$ связаны соотношением инволюции (I.5.30)
\[
\bar{T}_{+}^{(1)}(x, \bar{\lambda})=\tilde{\sigma} T_{+}^{(2)}(x, \lambda),
\]

где $\tilde{\sigma}=\sigma_{1}$ при $x>0$ и $\tilde{\sigma}=i \sigma_{2}$ при $x<0$.
Соотношение (4.3) вместе с условиями (4.6) и (4.8)-(4.11) представляет собой упомянутую специальную задачу сопряжения. Она позволяет найти столбцы $T_{+}^{(1)}(x, \lambda), \quad T_{+}^{(2)}(x, \lambda) \quad$ и $\frac{1}{a(\lambda)} T_{-}^{(1)}(x, \lambda)$ с указанными свойствами аналитичности по заданной на вещественной оси функции $r(\lambda)$ и параметрам $\lambda_{j}, c_{j}$, $j=1, \ldots, n$.

Как и задача Римана, она сводится к системе интегральных уравнений. Для вывода этой системы воспользуемся представлениями
\[
\begin{array}{c}
T_{+}^{(1)}(x, \lambda)=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right) e^{-i \lambda x / 2}+\int_{x}^{\infty} \Gamma_{+}(x, y)\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right) e^{-i \lambda \cdot y / 2} d y, \\
T_{+}^{(2)}(x, \lambda)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right) e^{i \lambda x / 2}+\int_{x}^{\infty} \Gamma_{+}(x, y)\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right) e^{i \lambda y / 2} d y
\end{array}
\]

и подставим их в (4.3). Вычитая из обеих частей получившегося равенства столбец $\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) e^{-i, x / 2}$ и переходя к преобразованию

Фурье по переменной $\lambda$, получаем при $y \geqslant x$ следующее соотношение:
\[
\Gamma_{+}(x, y)\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)+\omega(x+y)\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right)+\int_{x}^{\infty} \Gamma_{+}(x, s)\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right) \omega(s+y) d s=0,
\]

где
\[
\omega(x)=\frac{1}{4 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} r(\lambda) e^{i \lambda x / 2} d \lambda+\frac{1}{2 i} \sum_{j=1}^{n} c_{j} e^{i \lambda_{j} x / 2} .
\]

Используя инволюцию (I.5.18)
\[
\bar{\Gamma}_{+}(x, y)=\sigma \Gamma_{+}(x, y) \sigma,
\]

уравнение (4.14) можно переписать в матричном виде
\[
\Gamma_{+}(x, y)+\Omega(x, y)+\int_{x}^{\infty} \Gamma_{+}(x, s) \Omega(s+y) d s=0,
\]

где $y \geqslant x$ и
\[
\Omega(x)=\omega(x) \sigma_{-}+\bar{\varepsilon} \bar{\omega}(x) \sigma_{+} .
\]

Соотношение (4.17) представляет собой интегральное уравнение для искомой матрицы $\Gamma_{+}(x, y)$ и называется $у$ равнением Гельфанда-Левитана-Марченко для правого конца.

Аналогичным образом соотношение (4.1) для столбца $T_{+}^{(2)}(x, \lambda)$, записанное в виде
\[
\frac{1}{a(\lambda)} T_{+}^{(2)}(x, \lambda)=\tilde{r}(\lambda) T_{-}^{(1)}(x, \lambda)+T_{-}^{(2)}(x, \lambda),
\]

где
\[
\tilde{r}(\lambda)=-\varepsilon \frac{\bar{b}(\lambda)}{a(\lambda)},
\]

приводит к уравнению Гельфанда-Левитана-Марченко для левого конца
\[
\Gamma_{-}(x, y)+\widetilde{\Omega}(x+y)+\int_{-\infty}^{x} \Gamma_{-}(x, s) \widetilde{\Omega}(s+y) d s=0
\]

при $x \geqslant y$. Здесь
\[
\begin{array}{c}
\widetilde{\Omega}(x)=\dot{\overrightarrow{\varepsilon \omega}}(x) \sigma_{-}+\widetilde{\omega}(x) \sigma_{+}, \\
\widetilde{\omega}(x)=\frac{1}{4 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{r}(\lambda) e^{-i \lambda x / 2} d \lambda+\frac{1}{2 i} \sum_{j=1}^{n} \widetilde{c_{j}} e^{-i \lambda_{j} x / 2},
\end{array}
\]

a
\[
\widetilde{c_{j}}=\frac{1}{\gamma_{j} \dot{a}\left(\lambda_{j}\right)}, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Ядро $\Gamma_{-}(x, y)$ участвует в интегральном представлении (I.5.10)
\[
T_{-}(x, \lambda)=E(x, \lambda)+\int_{-\infty}^{x} \Gamma_{-}(x, y) E(y, \lambda) d y .
\]

Интегральные уравнения (4.17) и (4.21) исследуются при помощи тех же аналитических средств, что и уравнение Винера-Хопфа. Характерным отличием является то, что здесь мы имеем дело с компактными интегральными операторами.

Рассмотрим общий случай абсолютно суммируемых на всей оси функций $\psi(x), \bar{\psi}(x)$. В силу условия $a(\lambda)
eq 0$ при вещественных $\lambda$ из теоремы Винера следует, что функция
\[
F(x)=\int_{-\infty}^{\infty} r(\lambda) e^{i \lambda x / 2} d \lambda
\]

абсолютно суммируема на всей оси. Вклад от дискретного спектра в функцию $\omega(x)$ быстро убывает при $x \rightarrow+\infty$ (см. (4.15)). Таким образом, по известной теореме функционального анализа получаем, что интегральный оператор $\boldsymbol{\Omega}_{x}$ в пространстве $L_{1}^{(2 \times 2)}(x, \infty)$
\[
\boldsymbol{\Omega}_{x} f(s)=\int_{x}^{\infty} f\left(s^{\prime}\right) \Omega\left(s+s^{\prime}\right) d s^{\prime}
\]

является компактным и исчезает по норме при $x \rightarrow+\infty$. Аналогичным образом оператор $\widetilde{\boldsymbol{\Omega}}_{x}$
\[
\widetilde{\boldsymbol{\Omega}}_{x} f(s)=\int_{-\infty}^{x} f\left(s^{\prime}\right) \widetilde{\Omega}\left(s+s^{\prime}\right) d s^{\prime}
\]

компактен в $L_{1}^{(2 \times 2)}(-\infty, x)$ и исчезает по норме при $x \rightarrow-\infty$.
Метод решения обратной задачи при помощи интегральных уравнений Гельфанда – Левитана – Марченко (4.17) и (4.21) основан на следующем утверждении.

Предположим, что заданы функции $r(\lambda), \tilde{r}(\lambda)$ из кольца $\Re_{0}$ и при $\varepsilon=-1$ набор несовпадающих чисел $\lambda_{j}$, Im $\lambda_{j}>0$, и величи-. ны $c_{j}, \tilde{c}_{j}, j=1, \ldots, n$, со следующими свойствами:
1) при всех вещественных $\lambda$
$\partial л я=1 u$
\[
|r(\lambda)|=|\tilde{r}(\lambda)|<1
\]
$\partial л я=-1 ;$

2) имеют место формулы согласования
\[
\frac{\bar{r}(\lambda)}{\widetilde{r}(\lambda)}=-\varepsilon \frac{a(\lambda)}{\bar{a}(\lambda)}, \quad c_{j} \tilde{c}_{j}=\frac{1}{a^{2}\left(\lambda_{j}\right)}, \quad j=1, \ldots, n,
\]

где функция а $(\lambda)$ определяется из соотношения (сравни с (I.6.22) и (I.6.23))
\[
a(\lambda)=\sum_{j=1}^{n} \frac{\lambda-\lambda_{j}}{\lambda-\bar{\lambda}_{j}} \exp \left\{\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln \left(1-\varepsilon|r(\mu)|^{2}\right)}{\lambda-\mu+i 0} d \mu\right\} .
\]

Построим по этим данным ядра $\Omega(x)$ и $\widetilde{\Omega}(x)$ по формулам (4.15), (4.18) и (4.22), (4.23), (4.24) соответственно.
Тогда утверждается, что:
1) интегральные уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко (4.17) и (4.21) однозначно разрешимы при каждом $x$ в пространствах $L_{1}^{(2 \times 2)}(x, \infty)$ и $L_{1}^{(2 \times 2)}(-\infty, x)$ соответственно;
2) построенные по их решениям $\Gamma_{ \pm}(x, y)$ по формулам (4.12), (4.13) и (4.25) матрицы $T_{ \pm}(x, \lambda)$ удовлетворяют инволюции
\[
\bar{T}_{ \pm}(x, \lambda)=\sigma T_{ \pm}(x, \lambda) \sigma
\]
(сравни с (I.5.19)) и дифференциальным уравнениям
\[
\frac{d}{d x} T_{ \pm}(x, \lambda)=\left(\frac{\lambda \sigma_{3}}{2 i}+U_{0}^{( \pm)}(x)\right) T_{ \pm}(x, \lambda) .
\]

Матрицы $U_{0}^{( \pm)}(x)$ даются выражениями
\[
U_{0}^{( \pm)}(x)= \pm\left(\sigma_{3} \Gamma_{ \pm}(x, x) \sigma_{3}-\Gamma_{ \pm}(x, x)\right)
\]
(сравни с формулами (I.5.32) и (I.5.33)) и абсолютно суммируемы в окрестности $\pm \infty$ соответственно;
3) имеет место формула согласования
\[
U_{0}^{(+)}(x)=U_{0}^{(-)}(x)=U_{0}(x),
\]

так что матрица $U_{0}(x)$ принадлежит пространству, $L_{1}^{(2 \times 2)}(-\infty, \infty)$ и имеет специальный вид (2.5);
4) коэффициенты перехода непрерывного спектра вспомога. тельной линейной задачи (3.2) с матрицей $U_{0}(x)$ совпадают $c$ функциями а $(\lambda)$ и $b(\lambda)=a(\lambda) r(\lambda)$, а дискретный спектр состоит из точек $\lambda_{j}, \vec{\lambda}_{j}$ с коэффициентами перехода $\gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j}$, где $\gamma_{j}=\dot{a}\left(\lambda_{j}\right) c_{j}$, $j=1, \ldots, n$.

Отметим, что при решении обратной задачи по схеме Гельфанда – Левитана – Марченко следует использовать оба интегральных уравнения (4.17) и (4.21) для правого и левого концов. Первое из них позволяет исследовать свойства матрицы $U_{0}^{(+)}(x)$ в окрестности $+\infty$, а второе – свойства матрицы $U_{0}^{(-)}(x)$

в окрестности $-\infty$. При этом утверждение о совпадении матриц $U_{0}^{(+)}(x)$ и $U_{0}^{(-)}(x)$ требует особого доказательства.

Мы не будем приводить здесь доказательство утверждений пунктов 1) -4). Вместо этого мы покажем, как уравнения Гельфанда – Левитана – Марченко получаются из уравнения Винера – Хопфа, исследованного в § 2. Отсюда, в частности, будет следовать справедливость сформулированных выше утверждений. При этом для простоты мы ограничимся рассмотрением регулярного случая задачи Римана, когда дискретный спектр отсутствует.

Напомним (см. § 2), что упомянутое уравнение Винера Хопфа имеет вид
\[
\Omega_{+}(x, s)+\Phi(x, s)+\int_{0}^{\infty} \Omega_{+}\left(x, s^{\prime}\right) \Phi\left(x, s^{\prime}-s^{\prime}\right) d s^{\prime}=0,
\]

где $s \geqslant 0$, а
\[
\Phi(x, s)=\left(\begin{array}{cc}
0 & \varepsilon \vec{\beta}(-s-x) \\
-\beta(s-x) & 0
\end{array}\right)
\]

и
\[
\beta(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} b(\lambda) e^{-i \lambda x} d \lambda .
\]

Построенная по решению $\Omega_{+}(x, s)$ матрица
\[
G_{+}^{-1}(x, \lambda)=I+\int_{0}^{\infty} \Omega_{+}(x, s) e^{i l \cdot s} d s
\]

оказывается составленной из столбцов решений Иоста:
\[
G_{+}^{-1}(x, \lambda)=\frac{1}{a(\lambda)}\left(T_{-}^{(1)}(x, \lambda), T_{+}^{(2)}(x, \lambda)\right) E^{-1}(x, \lambda)
\]

вспомогательной линейной задачи (3.2) с матрицей
\[
U_{0}(x)=\frac{1}{2}\left[\sigma_{3}, \Omega_{+}(x, 0)\right] .
\]

При этом матрица $G_{-}(x, \lambda)$, составленная из оставшихся столбцов решений Иоста:
\[
G_{\sim}(x, \lambda)=\left(T_{+}^{(1)}(x, \lambda), \quad T_{-}^{(2)}(x, \lambda)\right) E^{-1}(x, \lambda),
\]

допускает представление
\[
G_{-}(x, \lambda)=I+\int_{0}^{\infty} \Phi_{-}(x, s) e^{-i \lambda s} d s,
\]

где
\[
\Phi_{\ldots}(x, s)=\Phi(x,-s)+\int_{0}^{\infty} \Omega_{+}\left(x, s^{\prime}\right) \Phi\left(x,-s-s^{\prime}\right) d s^{\prime} .
\]

Напомним, что в силу общей теории Гохберга – Крейна система уравнений Винера – Хопфа (4.37) является фредгольмовой, т. е. оператор I+Ф в пространстве $L_{1}^{(2 \times 2)}(0, \infty)$, участвующий в (4.37), представляется в виде
\[
\mathbf{I}+\boldsymbol{\Phi}=\mathbf{A}+\mathbf{K},
\]

где оператор А ограниченно обратим, а Қ-компактен. Уравнение

переписывается в виде
\[
f+\Phi f=g
\]
\[
f+\mathbf{A}^{-1} \mathbf{K} f=\mathbf{A}^{-1} g,
\]

где участвует компактный оператор $\mathbf{A}^{-1} \mathbf{K}$. Переход от уравнения (4.47) к (4.48) иногда называют регуляризацией.

Здесь мы покажем, что уравнения Гельфанда-ЛевитанаМарченко получаются из уравнения Винера– Хопфа при специальной регуляризации.
Введем матричные элементы матрицы-решения $\Omega_{+}(x, s)$
\[
\Omega_{+}(x, s)=\left(\begin{array}{ll}
A_{x}(s) & B_{x}(s) \\
C_{x}(s) & D_{x}(s)
\end{array}\right) .
\]

Благодаря специальному антидиагональному виду матрицыядра $\Phi(x, s)$ уравнение (4.37) сводится к двум независимым интегральным уравнениям для функций $B_{x}(s)$ и $C_{x}(s)$ (см. §2)
\[
B_{x}(s)+\varepsilon \beta(-s-x)+\varepsilon \int_{0}^{\infty} k_{x}\left(s, s^{\prime}\right) B_{x}\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime}=0
\]

и
\[
C_{x}(s)-\beta(s-x)+\varepsilon \int_{0}^{\infty} l_{x}\left(s, s^{\prime}\right) C_{x}\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime}=0,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
k_{x}\left(s, s^{\prime}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} \bar{\beta}(u-s) \beta\left(u-s^{\prime}\right) d u, \\
l_{x}\left(s, s^{\prime}\right)=\int_{x}^{\infty} \beta(s-u) \bar{\beta}\left(s^{\prime}-u\right) d u .
\end{array}
\]

Рассмотрим для определенности уравнение (4.50). Вводя обозначение $\beta_{x}(s)=\beta(-x-s)$ и рассматривая решение $B_{x}(s)$ и

свободный член $\varepsilon \bar{\beta}_{x}(s)$ как элементы $L_{1}(0, \infty)$, перепишем его в виде
\[
\left(\mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{K}_{x}\right) B_{x}+\varepsilon \overline{\beta_{x}}=0,
\]

где $\mathbf{K}_{x}$ – интегральный оператор с ядром $k_{\mathrm{x}}\left(s, s^{\prime}\right)$. Мы имеем разложение (см. §2)
\[
\mathbf{l}+\varepsilon \mathbf{K}_{x}=\mathbf{1}+\varepsilon \mathbf{K}+\mathbf{R}_{\boldsymbol{x}},
\]

где $\mathbf{K}$ – интегральный оператор с ядром $k\left(s-s^{\prime}\right)$,
\[
k(s)=\int_{-\infty}^{\infty} \beta(u+s) \bar{\beta}(u) d u,
\]

а ядро $r_{x}\left(s, s^{\prime}\right)$ оператора $\mathbf{R}_{x}$ имеет вид
\[
r_{x}\left(s, s^{\prime}\right)=-\varepsilon \int_{-\infty}^{-x} \beta\left(u-s^{\prime}\right) \bar{\beta}(u-s) d u .
\]

Оператор $\mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{K}$ однозначно обратим, так как задача о его обращении сводится к скалярной задаче Римана для функции
\[
1+\varepsilon \int_{-\infty}^{\infty} k(s) e^{i \lambda s} d s=1+\varepsilon|b(\lambda)|^{2}=a_{+}(\lambda) a_{-}(\lambda) .
\]

При этом $a_{+}(\lambda)=a(\lambda)$ и $a_{-}(\lambda)=\bar{a}(\bar{\lambda})$, где $a(\lambda)$ дается формулой (2.6) без произведения множителей Бляшке (см. § 2). Оператор $\mathbf{R}_{x}$ уже является компактным в $L_{1}(0, \infty)$. Для доказательства этого достаточно проверить равностепенную непрерывность функций вида $h(s)=\mathbf{R}_{x} f(s)$ в среднем и равномерную малость интеграла $\int_{A}^{\infty}|h(s)| d s$ при больших $A$ для всех $f(s)$ из ограниченного множества в $L_{1}(0, \infty)$. Мы имеем элементарные оценки
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{\infty}|h(s+\delta)-h(s)| d s= \\
=\int_{0}^{\infty}\left|\int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{-x}(\bar{\beta}(u-s-\delta)-\bar{\beta}(u-s)) \beta\left(u-s^{\prime}\right) f\left(s^{\prime}\right) d u d s^{\prime}\right| d s \leqslant \\
\leqslant \int_{-\infty}^{\infty}|\beta(u)| d u \int_{0}^{\infty}\left|f\left(s^{\prime}\right)\right| d s^{\prime} \int_{-\infty}^{\infty}|\beta(s+\delta)-\beta(s)| d s \quad(4.59
\end{array}
\]

И
\[
\begin{aligned}
\int_{A}^{\infty}|h(s)| d s= & \int_{A}^{\infty}\left|\int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{-x} \bar{\beta}(u-s) \beta\left(u-s^{\prime}\right) f\left(s^{\prime}\right) d u d s^{\prime}\right| d s \leqslant \\
& \leqslant \int_{-\infty}^{\infty}|\beta(u)| d u \int_{0}^{\infty}\left|f\left(s^{\prime}\right)\right| d s^{\prime} \int_{-\infty}^{x-A}|\beta(s)| d s,
\end{aligned}
\]

из которых следует требуемая компактность.
Регуляризацией уравнения (4.54) является уравнение
\[
B_{x}+(\mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{K})^{-1}\left(\mathbf{R}_{x} B_{x}+\varepsilon \overline{\beta_{x}}\right)=0 .
\]

Мы покажем, что оно фактически совпадает с уравнением Гельфанда – Левитана – Марченко.
Д.тя явного представления оператора $(\mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{K})^{-1}$ используем стандартный метод решения скалярного уравнения Винера – Хопфа
\[
(\mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{K}) f(s)=g(s), \quad s \geqslant 0 .
\]

Для этого продолжим свободный член $g(s)$ нулем при $s \leqslant 0$ и перейдем к преобразованию Фурье
\[
\hat{f}(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty} f(s) e^{i \lambda s} d s, \quad \hat{g}(\lambda)=\int_{0}^{\infty} g(s) e^{i \lambda s} d s
\]

Уравнение (4.62) примет вид
\[
\hat{f}(\lambda)+\varepsilon|b(\lambda)|^{2} \hat{f}_{+}(\lambda)=\hat{g}(\lambda)
\]

или
\[
\left(1+\varepsilon|b(\lambda)|^{2}\right) \hat{f}_{+}(\lambda)=\hat{g}(\lambda)-\hat{f}_{-}(\lambda)
\]

где
\[
\hat{f}_{ \pm}(\lambda)=\int_{0}^{\infty} f( \pm s) e^{ \pm i \lambda_{s}} d s, \quad \hat{f}(\lambda)=\hat{f}_{+}(\lambda)+\hat{f}_{-}(\lambda) .
\]

Отсюда благодаря (4.58) получаем, что
\[
\hat{f}_{+}(\lambda)=\frac{1}{a(\lambda)} \Pi_{+}\left(\frac{\hat{g}(\lambda)}{\bar{a}(\lambda)}\right),
\]

где проектор II $_{+}$введен в $\S 2$ и однозначно определяется свойствами
\[
\Pi_{+} \hat{f}_{+}=\hat{f}_{+}, \quad \Pi_{+} \hat{f}_{–}=0 .
\]

Заметим, что в силу этого свойства проектора $\Pi_{+}$функцию $g(s)$ можно продолжить на полуось $s \leqslant 0$ произвольно (с сохранением абсолютной суммируемости), а не обязательно нулем.

Окончательно решение уравнения (4.62) имеет вид
\[
f(s)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}_{+}(\lambda) e^{-i \lambda_{s}} d \lambda, \quad s \geqslant 0,
\]

где $\hat{f}_{+}(\lambda)$ дается выражением (4.67). Тем самым задача описания оператора $(\mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{K})^{-1}$ решена.

На основании полученных формул преобразуем уравнение (4.61). Вводя преобразование Фурье решения $B_{x}(s)$
\[
B_{x}(s)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} B_{+}(\lambda) e^{-i \lambda s} d \lambda,
\]

перепишем его в виде
\[
\begin{array}{l}
a(\lambda) B_{+}(\lambda)+\Pi_{+}\left(\varepsilon \frac{\bar{b}(\lambda)}{\bar{a}(\lambda)} e^{-i \lambda \cdot x}+\right. \\
\left.\quad+\frac{1}{\bar{a}(\lambda)} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\infty} r_{x}\left(s, s^{\prime}\right) B_{x}\left(s^{\prime}\right) e^{i \lambda_{s}} d s^{\prime} d s\right)=0,
\end{array}
\]

где мы воспользовались сделанным выше замечанием и продолжили свободный член $\overline{\beta_{x}}(s)$ и ядро $r_{x}\left(s, s^{\prime}\right)$ на отрицательные $s$ естественным образом. Последнее слагаемое в (4.71) с помощью (4.57) легко преобразуется к виду
\[
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\infty} r_{x}\left(s, s^{\prime}\right) B_{x}\left(s^{\prime}\right) e^{i \lambda s} d s^{\prime} d s & = \\
=-\varepsilon \bar{b}(\lambda) e^{-i \lambda x} \int_{0}^{\infty} & \int_{-\infty}^{0} \beta(u-x-s) B_{x}(s) e^{i \lambda u} d u d s= \\
& =-\varepsilon \bar{b}(\lambda) e^{-i \lambda x} \Pi_{-}\left(b(\lambda) B_{+}(\lambda) e^{i \lambda x}\right),
\end{aligned}
\]

где ПІ_ – дополнительный к $\Pi_{+}$проектор:
\[
\Pi_{-}=\mathrm{I}-\Pi_{+} .
\]

В результате уравнение (4.71) принимает вид
\[
a(\lambda) B_{+}(\lambda)+\varepsilon \Pi_{+}\left(\bar{r}(\lambda) e^{-i \lambda x}-\bar{r}(\lambda) e^{-i \lambda x} \Pi_{-}\left(a(\lambda) B_{+}(\lambda) r(\lambda) e^{i \lambda x}\right)\right)=0,
\]

где мы использовали обозначение (4.4) для $r(\lambda)$. Полагая
\[
\varphi_{x}(s)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} a(\lambda) B_{+}(\lambda) e^{-i \lambda_{s}} d \lambda
\]

и переходя к обратному преобразованию Фурье, из (4.74) получаем уравнение
\[
\begin{array}{r}
\varphi_{x}(s)+\bar{\varepsilon} \bar{w}(-x-s)-\varepsilon \int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{-x} \tilde{w}(\vec{u}-s) w\left(u-s^{\prime}\right) \varphi_{x}\left(s^{\prime}\right) d u d s^{\prime}=0, \\
s \geqslant 0,
\end{array}
\]

где
\[
w(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} r(\lambda) e^{-i \lambda x} d \lambda .
\]

Полагая теперь
\[
\varphi_{x}(s)=2 \varphi(x, x+2 s)
\]

и учитывая, что $w(x)=2 \omega(-2 x)$, из (4.76) окончательно получаем уравнение
\[
\begin{array}{r}
\varphi(x, y)+\varepsilon \bar{\omega}(x+y)-\varepsilon \int_{x}^{\infty} \int_{x}^{\infty} \varphi(x, z) \omega\left(z+z^{\prime}\right) \bar{\omega}\left(z^{\prime}+y\right) d z^{\prime} d z=0, \\
y \geq x .
\end{array}
\]

Оно совпадает с уравнением, получающимся из системы уравнений Гельфанда – Левитана – Марченко (4.17) для первой строки матрицы $\Gamma_{+}(x, y)$ после исключения из нее функции $\left(\Gamma_{+}(x, y)\right)_{11}$.

Отметим также, что отождествление функции $\varphi(x, y)$ и матричного элемента $\varepsilon \bar{\beta}_{+}(x, y)=\left(\Gamma_{+}(x, y)\right)_{12}$ видно и непосредственно из сравнения формул (4.13), (4.40), (4.41), (4.49), (4.70) и (4.75).

Для вывода уравнения, связывающего матричный элемент $\left(\Gamma_{+}(x, y)\right)_{11}=\alpha_{+}(x, y) \quad$ с $\bar{\beta}_{+}(x, y)$ (см. формулу (I.5.20)), рассмотрим формулу (4.45), выражающую матрицу $\Phi_{-}(x, s)$ через $\Omega_{+}(x, s)$. Обозначая $\alpha_{x}(s)=\left(\Phi_{-}(x, s)\right)_{11}$, из (4.45) имеем
\[
\alpha_{x}(s)=-\int_{0}^{\infty} \beta\left(-s-s^{\prime}-x\right) B_{x}\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime}, \quad s \geqslant 0,
\]

откуда сразу получаем, что
\[
\alpha_{x}(s)=–\int_{\theta}^{\infty} \varphi_{x}\left(s^{\prime}\right) w\left(-s-s^{\prime}-x\right) d s^{\prime} .
\]

Полагая
\[
\alpha_{x}(s)=2 \alpha_{+}(x, x+2 s),
\]

из (4.81) получаем уравнение
\[
\alpha_{+}(x, y)+\varepsilon \int_{x}^{\infty} \bar{\beta}_{+}(x, z) \omega(z+y) d z=0, \quad y \geqslant x .
\]

Оно совпадает с уравнением, связывающим матричные элементы первой строки матрицы $\Gamma_{+}(x, y)$. Отметим, что совпадение функции $\frac{1}{2} \alpha_{x}\left(\frac{y-x}{2}\right)$ с матричным элементом $\left(\Gamma_{+}(x, y)\right)_{11}$ также следует и непосредственно из формул (4.12), (4.43) и (4.44).

Итак, мы показали, что уравнения (4.79) и (4.83) вместе с инволюцией (4.16) эквивалентны уравнению (4.17) – уравнению Гельфанда – Левитана – Марченко для правого конца.

Аналогичным образом рассмотренне уравнения (4.51) приводит к уравнению (4.21) – уравнению Гельфанда – Левитана – Марченко для левого конца.

Итак, мы показали, как в результате специальной регуляризации уравнение Винера – Хопфа преврацается в уравнения Гельфанда – Левитана – Марченко для правого и левого концов. В заключение сделаем ряд замечаний о сравнении двух подходов к обратной задаче.
1) В методе задачи Римана мы исходим из одной независимой функции $b(\lambda)$, преобразование Фурье которой при всех $x$ ведет себя как функция $\psi(x)$. В то же время в подходе Гельфанда – Левитана – Марченко приходится рассматривать две зависимые функции $\omega(x)$ и $\widetilde{\omega}(x)$, которые ведут себя как $\psi(x)$ в окрестности $+\infty$ и – соответственно.
2) Исходные данные $b(\lambda), \lambda_{j}, \gamma_{j}, j=1, \ldots, n$, задачи Римана взанмно независимы, в то время как в подходе Гельфанда Левитана-Марченко нельзя менять собственные значения дискретного спектра $\lambda_{j}$, не меняя хотя бы одной из функций $r(\lambda)$ или $\tilde{r}(\lambda)$.
3) Уравнения Гельфанда – Левитана – Марченко, в отличие от уравнения Винера – Хопфа, являются интегральными уравнениями с компактными операторами.
4) В схеме задачи Римана вывод дифференциального уравнения вспомогательной линейной задачи происходит особенно просто п является локальным по $x$. В подходе Гельфанда – Левитана – Марченко эта локальность теряется, и возникает дополнительная задача о совпадении матриц $U_{0}^{(+)}(x)$ и $U_{0}^{(-)}(x)$.

На этом заканчивается сравнение двух подходов к решению обратной задачи. В следующем параграфе мы предъявим явное решение обратной задачи в важном частном случае, когда функция $b(\lambda)$ исчезает. Этот случай отвечает солитонам модели НШ.