Уравнение SG часто рассматривают в координатах светового конуса
\[
\xi=\frac{t+x}{2}, \quad \eta=\frac{t-x}{2},
\]
в которых оно принимает вид
\[
\frac{\partial^{3} \chi}{\partial \xi \partial \eta}+\frac{m^{2}}{\beta} \sin \beta \%=0 .
\]
Локально уравнения (7.2) и (6.105) эквивалентны и их решения переходят друг в друга при замене переменных
\[
\chi(\xi, \eta)=\varphi(\xi-\eta, \xi+\eta), \quad \varphi(x, t)=\chi\left(\frac{t+x}{2}, \frac{t-x}{2}\right) .
\]
Однако менее тривиальной является задача об описании связи классов решений, соответствующих различным граничным условиям. Мы дадим здесь параметризацию класса решений $\chi(\xi, \eta)$, отвечающих быстроубывающим граничным условиям для решения $\varphi(x, t)$.
Решение задачи (7.2) естественно параметризовать начальными данными на одной из характеристик, например, при $\eta=0$ :
\[
\chi(\xi)=\left.\chi(\xi, \eta)\right|_{\eta=0} .
\]
Быстроубыващие граничные условия $\left(\bmod \frac{2 \pi}{\beta}\right)$ для функции $\chi(\xi)$
\[
\lim _{\xi \rightarrow-\infty} \chi(\xi)=0, \lim _{\xi \rightarrow+\infty} \%(\xi)=\frac{2 \pi Q}{\beta},
\]
где граничные значения принимаются в смысле Шварца, а $Q$ целое, позволяют ввести топологический заряд
\[
Q=\frac{\beta}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d \chi(\xi)}{d \xi} d \xi .
\]
Однако, как мы убедимся в этом ниже, начальные данные $\chi(\xi)$, порожденные решением $\varphi(x, t)$ с быстроубывающими граничными условиями, удовлетворяют, помимо (7.5), еще бесконечной серии условий. Они, в частности, означают, что при $|\xi| \rightarrow \infty$ убывают также и все производные решения $\chi(\xi, \eta)$ по $\eta$ при $\eta=0$ :
\[
\left.\lim _{|\xi| \rightarrow \infty} \frac{\partial^{n} \chi(\xi, \eta)}{\partial \eta^{n}}\right|_{\eta=0}=0 .
\]
Последние можно записать в виде
\[
Q_{n}=\int_{-\infty}^{\infty} F_{n}(\chi, \xi) d \xi=0, \quad n=1,2, \ldots,
\]
где $F_{n}$ неявно определяется следующим образом:
\[
F_{n}(\chi, \varsigma)=\left.\frac{\partial^{n-1}}{\partial \eta^{n-1}} \sin \beta \%\right|_{\eta=0} .
\]
Правая часть (7.9) может быть выражена через начальные данные $\chi(\xi)$ при помощи соотношений
\[
\frac{\partial}{\partial \xi} \frac{\partial^{k} \chi}{\partial \eta^{k}}=-\frac{m^{2}}{\beta} \frac{\partial^{k-1}}{\partial \eta^{k-1}} \sin \beta \chi, \quad k=1, \ldots, n-1,
\]
последовательным интегрированием по §. В частности,
\[
F_{1}=\sin \beta \chi(\xi), \quad F_{2}=-m^{2} \cos \beta \chi(\xi) \int_{-\infty}^{\xi} \sin \beta \chi\left(\xi^{\prime}\right) d \xi^{\prime} .
\]
Сходные условия возникают при рассмотрении высших уравнений SG в координатах светового конуса. Мы не будем здесь описывать их явно в терминах начальных данных $\chi(\xi)$. Ниже мы охарактеризуем их в терминах данных вспомогательной линейной задачи.
Отметим, что в линейном пределе
\[
\frac{\partial^{2} \chi}{\partial \xi \partial \eta}+m^{2} \chi=0
\]
соответствующие условия принимают вид
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \xi^{n} \chi(\xi) d \xi=0, \quad n=0,1, \ldots,
\]
так что преобразование Фурье функции $\chi(\xi)$ исчезает в нуле вместе со всеми производными.
Опишем теперь гамильтонову картину, связанную с уравнением SG в координатах светового конуса и параметризации $\chi(\xi)$. Пуассонова структура формально задается скобками Пуассона
\[
\left\{\chi(\xi), \chi\left(\xi^{\prime}\right)\right\}=\frac{1}{4} \operatorname{sign}\left(\xi-\xi^{\prime}\right),
\]
а фазовое пространство образовано функциями $\chi(\xi)$, удовлетворяющими условию (7.5) и отмеченным выше связям. Гамиль-
тониан модели имеет вид
\[
H=\frac{2 m^{2}}{\beta^{2}} \int_{-\infty}^{\infty}(1-\cos \beta \chi(\xi)) d \xi,
\]
и уравнения движения
\[
\frac{\partial \chi}{\partial \eta}=\{H, \chi\}
\]
совпадают с (7.2). Роль импульса играет функционал
\[
P=-\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{d \gamma_{0}(\xi)}{d_{s}^{\varepsilon}}\right)^{2} d \xi
\]
Наличие связей не влияет на вид уравнений движения (7.16). Можно проверить, что связи находятся в инволюции как с гамильтонианом $H$, так и с пмпульсом $P$ на «поверхности связей». Ниже мы убедимся, что эта охарактеризованная весьма неявно пуассонова структура индуцируется стандартной пуассоновой структурой в переменны $\pi(x), \varphi(x)$.
Перейдем теперь к формулировке основных утверждений этого параграфа.
I. Пусть $\chi(\xi, \eta)$-решение уравнения (7.2), удовлетворяющее условию (7.5) и сформулированным выше связял. Тогда формула (7.3) дает решение ч $(x, t)$ уравнения (6.105) в классе быстроубывающих начальных данных
\[
\begin{array}{c}
\varphi(x)=\chi(x / 2,-x / 2), \\
\pi(x)=\left.\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial \xi}+\frac{\partial}{\partial \eta}\right) \chi(\xi, \eta)\right|_{\xi=-\eta=x} .
\end{array}
\]
Топологические заряды решений $\chi$ и совпадают.
II. Пусть ч $(x, t)$ – решение уравнения (6.105) с быстроубывающими граничными условиями. Тогда формула (7.3) дает решение $\chi(\xi, \eta$ ) уравнения (7.2) с начальныли данныли
\[
\chi(\xi)=\varphi(\xi, \xi),
\]
удовлетворяющили условию (7.5) и связям. Топологические заряды этих решений совпадают.
Сформулированные утверждения означают совпадение классов решений уравнения $S G$, параметризованных начальными данными $\pi(x), \varphi(x)$ в лабораторных координатах и $\chi(\xi)$ в координатах светового конуса.
III. Для указанных классов решений имеет место связв гамильтонианов и импульсов:
\[
\begin{array}{l}
H(\chi)=P(\pi, \varphi)+H(\pi, \varphi), \\
P(\chi)=P(\pi, \varphi)-H(\pi, \varphi) .
\end{array}
\]
IV. Пуассоновы структуры (6.1) $u$ (7.14) эквивалентны. На решениях уравнения $S G$ имеет место соотношение
\[
\int_{-\infty}^{\infty} d \chi^{\prime}(\xi) \wedge d \chi(\xi) d \xi=\int_{-\infty}^{\infty} d \pi(x) \wedge d \varphi(x) d x,
\]
где штрих обозначает производную по $\xi$.
Доказательство утверждений I-IV будет дано при помощи формализма обратной задачи. Приведем его формулировку для уравнения (7.2).
1) Представление нулевой кривизны получается из (I.1.30) (I.1.31) заменой переменных (7.1). Соответствующие матрицы $U_{x}$ и $V_{x}$ имеют вид
\[
U_{\chi}(\xi, \eta, \lambda)=V_{\pi, \varphi}(x, t, \lambda)+U_{\pi, \varphi}(x, t, \lambda)=
\]
\[
=\frac{\beta}{4 i} \frac{\partial \chi}{\partial \xi} \sigma_{\xi}+\frac{m \lambda}{2 i} e^{\frac{t \beta \chi(\xi)}{2} \sigma_{3}} \sigma_{2},
\]
\[
V_{\chi}(\xi, \eta, \lambda)=V_{\pi, \varphi}(x, t, \lambda)-U_{\pi_{\bullet} \varphi}(x, t, \lambda)=
\]
\[
=-\frac{\beta}{4 i} \frac{\partial \chi}{\partial \eta} \sigma_{3}+\frac{m}{2 i \lambda} e^{-\frac{i \beta \chi(\xi)}{2} \sigma_{3}} \sigma_{2} .
\]
Вспомогательная линейная задача
\[
\frac{d F}{d \xi}=U_{\chi}(\xi, \lambda) F
\]
калибровочным преобразованием
\[
F(\xi, \lambda)=e^{\frac{i \beta x(\xi)}{4} \sigma_{3}} \widetilde{F}(\xi, \lambda)
\]
приводится к виду
\[
\frac{d \widetilde{F}}{d \xi}=\left(\frac{m \lambda}{2 i} \sigma_{2}+\frac{\beta}{2 i} \frac{d \chi}{d \xi} \sigma_{3}\right) \widetilde{F} .
\]
Переходя к новому базису в $\mathbb{C}^{2}$, приводящему к замене матриц Паули
\[
\sigma_{2} \mapsto \sigma_{3}, \quad \sigma_{3} \mapsto-\sigma_{2}, \quad \sigma_{1} \mapsto \sigma_{1},
\]
получим матрицу $U(\xi, \lambda)$ в виде
\[
U(\xi, \lambda)=\frac{m \lambda}{2 i} \sigma_{3}-\frac{\beta}{2 i} \frac{d \chi(\xi)}{d \xi} \sigma_{2} .
\]
Эта матрица буквально совпадает с соответствующей матрицей из вспомогательной линейной задачи для модели НШ
где $x=-\beta^{2} / 4<0$ и
\[
U(\xi, \lambda)=U^{\text {н元 }}(\xi, m \lambda),
\]
\[
\psi(\xi)=-\bar{\psi}(\xi)=i \frac{d \chi}{d \xi}(\xi)
\]
(см. § I.2 части I). Последнее условие означает, что имеется дополнительная инволюция
\[
U(\xi,-\lambda)=\sigma_{2} U(\xi, \lambda) \sigma_{2} .
\]
2) Матрица перехода $T\left(\xi, \xi^{\prime}, \lambda\right)$, решения Иоста $T_{ \pm}(\xi, \lambda)$ и приведенная матрица монодромии $T(\lambda)$, помимо общих свойств нз гл. I части I, удовлетворяют дополнительной инволюции, вытекающей из (7.33). Для матрицы $T(\lambda)$ она имеет вид
\[
T(-\lambda)=\bar{T}(\lambda) .
\]
Таким образом, коэффициенты перехода непрерывного спектра $a(\lambda)$ и $b(\lambda)$ удовлетворяют дополнительному условию
\[
a(\lambda)=\bar{a}(-\lambda), \quad b(\lambda)=\bar{b}(-\lambda),
\]
характерному для модели SG в лабораторных координатах (см. (4.54)).
Аналогичным образом убеждаемся, что дискретный спектр $\lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}$ и соответствующие коэффициенты перехода $\gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j}, j=1, \ldots$ $\ldots, n$, обладают всеми свойствами, перечисленными в $\$ 4$.
3) Граничные условия (7.5) приводят к соотношениям
\[
a(0)=(-1)^{Q}, \quad b(0)=0 .
\]
Связи $Q_{n}=0$, а также их аналоги, порожденные высшими уравнениями SG, означают, что вместе с $b(\lambda)$ при $\lambda \rightarrow 0$ исчезают и все производные
\[
\left.\frac{d^{n} b(\lambda)}{d \lambda^{n}}\right|_{\lambda=0}=0, \quad n=0,1, \ldots
\]
Последнее утверждение мы не можем здесь полностью доказать, так как выше мы не описали все связи явно. Вместо этого мы примем набор условий (7.37) за определение полного набора связей.
При этих условиях справедливо асимптотическое разложение при $\lambda \rightarrow 0$
\[
\ln a(\lambda)=i \sum_{n=0}^{\infty} I_{-n} \lambda^{n}, \quad I_{-2 n}=0, \quad n>0,
\]
где
\[
\begin{array}{c}
I_{0} \equiv \pi Q(\bmod 2 \pi), \\
I_{-\mathbf{1}}=\frac{\beta^{2}}{4 m} H,
\end{array}
\]
а $I_{-n}$ при $n>1$ порождают высшие уравнения SG. Эти интегралы движения нелокальны.
При $|\lambda| \rightarrow \infty$ имеем асимптотическое разложение
\[
\ln a(\lambda)=i \sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_{n}}{\lambda^{n}}, \quad I_{2 n}=0,
\]
определяющее серию локальных интегралов движения $I_{n}$. Их плотности являются полиномами от $\chi(\xi)$ и ее производных в точке $\xi$. В частности,
\[
I_{1}=\frac{\beta^{2}}{4 m} P \text {. }
\]
4) Временная динамика коэффициентов перехода дается следующими формулами:
\[
\begin{array}{c}
a(\lambda, \eta)=a(\lambda, 0), \quad b(\lambda, \eta)=e^{\frac{m i}{\hbar} \eta} b(\lambda, 0), \\
\lambda_{j}(\eta)=\lambda_{i}(0), \quad \gamma_{i}(\eta)=e^{\frac{m i}{\lambda_{i}} \eta} \gamma_{i}(0), \quad j=1, \ldots, n .
\end{array}
\]
Динамика, порожденная функционалами $\frac{4 m}{\beta^{2}} I_{-l}, l \equiv 1(\bmod 2)$, описывается аналогичными формулами с заменой $\exp \left\{\frac{m i}{\lambda} \eta\right\}$ (соответственно $\exp \left\{\frac{m i}{\lambda_{i}} \eta\right\}$ ) на $\exp \left\{\frac{m i}{\lambda^{l}} \eta\right\}$ (соответственно $\exp \left\{\frac{m i}{\lambda_{i}^{!}} \eta\right)$ ). Подчеркнем, что условия (7.37) инвариантны по отношению к динамике.
5) Обратная задача для нашей модели является частным случаем обратной задачи для модели НШ, рассмотренной в гл. II части I. Дополнительная инволюция (7.35) приводит к тому, что функция $\frac{d \chi}{d \xi}$ ( $)$ вещественнозначна.
Перечисленные результаты позволяют дать доказательство утверждений I-IV. Начнем с утверждения I. Рассмотрим вспомогательную линейную задачу (7.28) с коэффициентом $\frac{\partial \chi}{\partial \xi}(\xi, \eta)$ при фиксированном $\eta$. Пусть $\widetilde{T}_{ \pm}(\xi, \eta, \lambda)$ – соответствующие решения Йоста. В силу условия нулевой кривизны матрицы
\[
F_{ \pm}(\xi, \eta, \lambda)=e^{\frac{\left.i \beta x^{\prime} \xi\right)}{4} \sigma_{2}} \widetilde{T}_{ \pm}(\xi, \eta, \lambda) e^{-\frac{m i}{2 \lambda} \eta \sigma_{s}}
\]
удовлетворяют системе
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial F_{ \pm}}{\partial \xi}=U_{\chi}(\xi, \eta, \lambda) F_{ \pm}, \\
\frac{\partial F_{ \pm}}{\partial \eta}=V_{\chi}(\xi, \eta, \lambda) F_{ \pm} .
\end{array}
\]
$П$ Пи $\xi \rightarrow \pm \infty, \eta=$ const они имеют асимптотики
\[
\begin{array}{c}
\lim _{\xi \rightarrow-\infty} F_{-}(\xi, \eta, \lambda) \exp \left\{\frac{m i}{2}\left(\lambda \xi+\frac{\eta}{\lambda}\right) \sigma_{3}\right\}=\mathscr{E}, \\
\lim _{\xi \rightarrow+\infty} F_{+}(\xi, \eta, \lambda) \exp \left\{\frac{m i}{2}\left(\lambda \xi+\frac{\eta}{\lambda}\right) \sigma_{3}\right\}= \\
=\left\{\begin{array}{ll}
(-1)^{2 / 2} \mathscr{E}, & Q-\text { четно, } \\
(-1)^{(Q-1) / 2} i \sigma_{3} \mathscr{E}, & Q \text { – нечетно, }
\end{array}\right.
\end{array}
\]
где матрица $\mathscr{E}$ введена в (5.21) и реализует автоморфизм (7.29).
Эти асимптотики имеют место и вдоль пространственно-подобных прямых $\eta=c \xi, c<0$ при $\xi \rightarrow \pm \infty$, что следует из
\[
\lim _{\xi \rightarrow \pm \infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{m i}{2}\left(\lambda+\frac{c}{\lambda}\right)} f(\lambda) d \lambda=0,
\]
где функция $f(\lambda)$ принадлежит пространству Шварца и исчезает при $\lambda=0$ вместе со всеми производными. Действительно, именно такие выражения мы имеем в ядрах уравнений Винера – Хопфа или Гельфанда-Левитана-Марченко (см. § II.2II. 4 части I), которые, тем самым, исчезают вдоль указанных направлений. Вместе с ними убывают и соответствующие решения – ядра в интегральных представлениях для решений Иоста, обеспечивая справедливость асимптотик типа (7.47), (7.48).
Полагая $\eta=-\xi+O(1)$, получаем, что матрицы
\[
\widetilde{F}_{ \pm}(x, t, \lambda)=F_{ \pm}\left(\frac{t+x}{2}, \frac{t-x}{2}, \lambda\right)
\]
при $x \rightarrow \pm \infty, t=$ const имеют асимптотики
\[
\begin{array}{l}
\lim _{x \rightarrow-\infty} \widetilde{F}_{-}(x, t, \lambda) \exp \left\{\frac{m i}{4}\left(\left(\lambda-\frac{1}{\lambda}\right) x+\left(\lambda+\frac{1}{\lambda}\right) t\right) \sigma_{3}\right\}=\mathscr{E}, \\
\lim _{x \rightarrow+\infty} \widetilde{F}_{+}(x, t, \lambda) \exp \left\{\frac{m i}{4}\left(\left(\lambda-\frac{1}{\lambda}\right) x+\left(\lambda+\frac{1}{\lambda}\right) t\right) \sigma_{3}\right\}= \\
=\left\{\begin{array}{ll}
(-1)^{Q / 2} \mathscr{E}, & Q-\text { четно, } \\
(-1)^{(Q-1) / 2} \ell_{3} \mathscr{E}, & Q \text { – нечетно. }
\end{array}\right. \\
\end{array}
\]
Соответствующие им матрицы $U$ и $V$
\[
U(x, t, \lambda)=\frac{\partial \widetilde{F}_{ \pm}}{\partial x} \widetilde{F}_{ \pm}^{-1}, \quad V(x, t, \lambda)=\frac{\partial \widetilde{F}_{ \pm}}{\partial t} \widetilde{F}_{ \pm}^{-1}
\]
представляются в виде (I.1.30)-(I.1.31), где функция $\varphi(x, t)$ дается формулой (7.3), а $\pi(x, t)=\frac{\partial \varphi}{\partial t}(x, t)$. Из асимптотик (7.51)-(7.52) следует
\[
\begin{array}{l}
\lim _{x \rightarrow-\infty} U(x, t, \lambda)=\frac{m}{4 i}\left(\lambda-\frac{1}{\lambda}\right) \sigma_{2}, \\
\lim _{x \rightarrow-\infty} V(x, t, \lambda)=\frac{m}{4 i}\left(\lambda+\frac{1}{\lambda}\right) \sigma_{2}, \\
\lim _{x \rightarrow+\infty} U(x, t, \lambda)=\frac{(-1)^{Q_{m}}}{4 i}\left(\lambda-\frac{1}{\lambda}\right) \sigma_{2}, \\
\lim _{x \rightarrow+\infty} V(x, t, \lambda)=\frac{(-1)^{Q} m}{4 i}\left(\lambda+\frac{1}{\lambda}\right) \sigma_{2},
\end{array}
\]
откуда получаем, что начальные данные (7.18) – (7.19) удовлетворяют быстроубывающим граничным условиям. При этом матрицы
\[
T_{ \pm}(x, t, \lambda)=\widetilde{F}_{ \pm}(x, t, \lambda) e^{-\frac{m i}{4}\left(i+\frac{1}{\lambda}\right) t \sigma_{3}}
\]
являются решениями Иоста вспомогательной линейной задачи (4.1) с теми же коэффициентами перехода и дискретным спектром, что и у задачи (7.28).
Утверждение I доказано. Утверждение II доказывается аналогично.
Для доказательства утверждения III рассмотрим 1-форму на $\mathbb{R}^{2}$
\[
\omega=(h+p) d x-\left(h+p-\frac{2 m^{2}}{\beta^{2}}(1-\cos \beta \varphi)\right) d t,
\]
где
\[
\begin{array}{c}
h=\frac{\pi^{2}}{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^{2}+\frac{m^{2}}{\beta^{2}}(1-\cos \beta \varphi), \\
p=-\pi \frac{\partial \varphi}{\partial x} .
\end{array}
\]
Форма $\omega$ замкнута на решениях уравнения SG в силу закона сохранения энергии – импульса
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial h}{\partial t}=-\frac{\partial p}{\partial x}, \\
\frac{\partial p}{\partial t}=-\frac{\partial}{\partial x}\left(h-\frac{2 m^{2}}{i \beta^{2}}(1-\cos \beta \varphi)\right) .
\end{array}
\]
Проинтегрируем ее по замкнутому контуру $l$ в $(x, t)$-плоскости, ограничивающему два прямоугольных треугольника, изображенных на рис. 3.
Имеем
\[
\begin{array}{r}
0=\int_{i} \omega=\left.\int_{-2 X}^{2 X}(h+p)\right|_{t=0} d x-\left.\frac{2 m^{2}}{\beta^{2}} \int_{-X}^{X}(1-\cos \beta \chi(\xi))\right|_{\eta=0} d \xi+ \\
+\left.\int_{-X}^{0}\left(\frac{\partial \chi}{\partial \eta}\right)^{2}\right|_{\xi=X} d \eta+\left.\int_{0}^{X}\left(\frac{\partial \chi}{\partial \eta}\right)^{2}\right|_{\xi=-X} d \eta, \quad !(7.620
\end{array}
\]
где мы использовали, что $\frac{\partial \chi}{\partial \eta}=\frac{\partial \varphi}{\partial t}-\frac{\partial \varphi}{\partial x}$. Из быстрого убывания функции $\frac{\partial \chi}{\partial \eta}$ при $\xi \rightarrow \pm \infty$ следует, что последние два слагаемых в (7.62) исчезают при $X \rightarrow \infty$, и в пределе мы получаем равенство (7.21). Равенство (7.22) доказывается аналогично.
Рис. 3
Для доказательства утверждения IV рассмотрим эволюцию вариации $d \varphi$ решения $\varphi$. Она дается линеаризованным уравнением
\[
\frac{\partial^{2} d \varphi}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2} d \varphi}{\partial x^{2}}+m^{2} \cos \beta \varphi d \varphi=0,
\]
из которого следует замкнутость 1 -формы $\theta$,
\[
\theta=\left(d \frac{\partial \varphi}{\partial t} \wedge d \varphi\right) d x+\left(d \frac{\partial \varphi}{\partial x} \wedge d \varphi\right) d t,
\]
на $\mathbb{R}^{2}$. Интегрируя ее по контуру $l$, получаем
\[
\left.\int_{-\infty}^{\infty}\left(d \frac{\partial \varphi}{\partial t} \wedge d \varphi\right)\right|_{t=0} d x=\left.\int_{-\infty}^{\infty}\left(d \frac{\partial \chi}{\partial \xi} \wedge d \chi\right)\right|_{\eta=0} d \xi,
\]
что и доказывает равенство (7.23).
Итак, мы установили эквивалентность моделей, порождаемых уравнением SG в лабораторных координатах и координатах светового конуса, как на уровне уравнений движения и гра-
ничных условий, так и в рамках их естественной гамильтоновой интерпретации. В частности, обе эти модели являются вполне интегрируемыми и описываются одним и тем же набором канонических переменных типа действие – угол.
