Здесь мы проиллюстрируем понятие калибровочной эквивалентности на примере моделей НШ при $\%=-1$ и МГ. Матрицы $U(x, t, \lambda)$ и $V(x, t, \lambda)$ из представлений нулевой кривизны для этих моделей имеют вид
\[
\begin{array}{c}
U_{\mathrm{HU}}(\lambda)=\frac{\lambda \sigma_{3}}{2 i}+U_{0}, \quad U_{0}=i\left(\bar{\psi} \sigma_{+}+\psi \sigma_{-}\right), \\
U_{\mathrm{M \Gamma}}(\lambda)=\frac{\lambda}{2 i} S, \\
S=\sum_{a=1}^{3} S_{a} \sigma_{a}, \quad S^{*}=S, \quad S^{2}=I
\end{array}
\]

где
\[
S=\sum_{a=1}^{3} S_{a} \sigma_{a}, \quad S^{*}=S, \quad S^{2}=I
\]

и
\[
\begin{array}{c}
V_{\mathrm{HW}}(\lambda)=\frac{i \lambda^{2}}{2} \sigma_{3}-\lambda U_{0}+V_{0}, \\
V_{0}=i|\psi|^{2} \sigma_{3}+\frac{\partial \bar{\psi}}{\partial x} \sigma_{+}-\frac{\partial \psi}{\partial x} \sigma_{-}, \\
V_{\mathrm{M \Gamma}}=\frac{i \lambda^{2}}{2} S+\frac{\lambda}{2} \frac{\partial S}{\partial x} S
\end{array}
\]
(см. § I. 2 части I и $§ 1$ ). Мы ввели в обозначения этих матриц символы НШ и МГ, чтобы различать модели.

Из этих формул видно, что дивизоры полюсов матриц $U_{\text {ншा }}(\lambda)$, $V_{\text {нII }}(\lambda)$ и $U_{\text {МГ }}(\lambda), V_{\text {мГ }}(\lambda)$ совпадают; однако, в отличие от модели НШ, у матриц модели МГ отсутствуют постоянные члены. Мы подберем матрицу $\Omega(x, t)$ калибровочного преобразования от модели НШ к модели МГ так, чтобы эти постоянные члены исчезли.

Пусть $\psi(x, t)$ – решение уравнения НШ. Тогда антиэрмитовы матрицы $U_{0}(x, t)$ и $V_{0}(x, t)$ из (4.1) и (4.5) удовлетворяют условию нулевой кривизны. Выберем унитарную матрицу $\Omega(x, t)$, удовлетворяющую совместной системе уравнений
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \Omega}{\partial x}=U_{0}(x, t) \Omega, \\
\frac{\partial \Omega}{\partial t}=V_{0}(x, t) \Omega .
\end{array}
\]

Рассмотрим калибровочное преобразование, задаваемое матрицей $\Omega^{-1}(x, t)$ :
\[
\begin{array}{l}
U_{\mathrm{HW}}^{\Omega^{-\mathrm{I}}}(\lambda)=-\Omega^{-1} \frac{\partial \Omega}{\partial x}+\Omega^{-1} U_{\mathrm{HU}}(\lambda) \Omega, \\
V_{\mathrm{HU}}^{\Omega-1}(\lambda)=-\Omega^{-1} \frac{\partial \Omega}{\partial t}+\Omega^{-1} V_{\mathrm{H}}(\lambda) \Omega .
\end{array}
\]

Из формул (4.1) и (4.7) получаем
\[
U_{\mathrm{HW}}^{\mathrm{Q-1}}(\lambda)=\frac{\lambda}{2 i} S=U_{\mathrm{M \Gamma}}(\lambda),
\]

где матрица $S(x, t)$ дается выражением
\[
S(x, t)=\Omega^{-1}(x, t) \sigma_{3} \Omega(x, t)
\]

и, очевидно, удовлетворяет условиям (4.3).
Аналогичным образом получаем, что
\[
V_{\mathrm{HII}}^{\Omega^{-1}}(\lambda)=\frac{i \hat{\jmath}^{2}}{2} S-\lambda \Omega^{-1} \frac{\partial \Omega}{\partial x} .
\]

Преобразуем это выражение. Из (4.12) имеем
\[
\frac{\partial S}{\partial x}=\left[S, Q^{-1} \frac{\partial \Omega}{\partial x}\right],
\]

а из дифференциального уравнения (4.7) следует, что
\[
\Omega^{-1} \frac{\partial \Omega}{\partial x}=\Omega^{-1} U_{0} \Omega .
\]

В силу антикоммутативности матриц $\sigma_{3}$ и $U_{0}(x, t)$ отсюда получаем, что матрицы $S$ и $\Omega^{-1} \frac{\partial \Omega}{\partial x}$ также антикоммутируют. Поэтому. скончательно имеем

и
\[
\begin{array}{c}
\Omega^{-1} \frac{\partial \Omega}{\partial x}=\frac{1}{2} S \frac{\partial S}{\partial x}=-\frac{1}{2} \frac{\partial S}{\partial x} S \\
V_{\mathrm{H}}^{\Omega-1}(\lambda)=\frac{i \lambda^{2}}{2} S+\frac{\lambda}{2} \frac{\partial S}{\partial x} S=V_{M \Gamma}(\lambda) .
\end{array}
\]

Таким образом, построенная по решению уравнения НІІ $\psi(x, t)$ матрица $S(x, t)$ удовлетворяет уравнению МГ.

Приведенные формулы позволяют выразить плотности локальных интегралов движения модели НШ в терминах $S(x, t)$, получив тем самым плотности интегралов двнжения модели МГ. Так, например, переписывая (4.14) в виде
\[
\frac{\partial S}{\partial x}=2 \Omega^{-1} \sigma_{3} U_{0} \Omega
\]

получаем
\[
\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \vec{S}}{\partial x}\right)^{2}=\frac{1}{4} \operatorname{tr}\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^{2}=-\operatorname{tr} U_{0}^{2}=2|\psi|^{2},
\]

так что плотность гамильтониана модели МГ совпадает с удвоенной плотностью заряда (числа частиц) модели НШ.

Аналогичным образом легко получить выражение для плотности импульса модели НШ:
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2 i}\left(\bar{\psi} \frac{\partial \psi}{\partial x}-\psi \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial x}\right) & =\frac{i}{2} \operatorname{tr} \sigma_{3} U_{0} \frac{\partial U_{0}}{\partial x}= \\
& =\frac{i}{8} \operatorname{tr} \frac{\partial S}{\partial x} S \frac{\partial^{2} S}{\partial x^{2}}=-\frac{1}{4} \frac{\partial \vec{S}}{\partial x} \cdot \vec{S} \wedge \frac{\partial^{2} \vec{S}}{\partial x^{2}} .
\end{aligned}
\]

Сравнивая формулы (4.19) и (4.20), получаем, что
\[
-\frac{\partial}{\partial x} \arg \psi=\frac{1}{\left(\frac{\partial \vec{S}}{\partial x}\right)^{2}}\left(\frac{\partial \vec{S}}{\partial x} \cdot \vec{S} \wedge \frac{\partial^{2} \vec{S}}{\partial x^{2}}\right) .
\]

Ниже мы приведем простое дифференциально-геометрическое соображение, из которого следует, что правая часть в (4.21) (с точностью до полной производной) представляет собой плотность импульса модели МГ.

Приведенные выше преобразования от модели НШ к модели МГ по существу носили обратимый характер. Однако явное построение калибровочного преобразования от модели МГ к модели НШ, т. е. определение матрицы $\Omega(x, t)$ по заданной матрице $S(x, t)$, требует пояснений.

Именно, рассмотрим матрицу $S(x)$, удовлетворяющую условиям (4.3), и приведем ее к диагональному виду
\[
S(x)=\Omega^{-1}(x) \sigma_{3} \Omega(x)
\]

унитарным преобразованием $\Omega(x)$. Это уравнение определяет матрицу $\Omega(x)$ с точностью до умножения слева на диагональную унитдрную матрицу. Выбором последней можно обеспечить условие антикоммутации
\[
\sigma_{3} \frac{\partial \Omega}{\partial x} \Omega^{-1}+\frac{\partial \Omega}{\partial x} \Omega^{-1} \sigma_{3}=0,
\]

из которого следует, что антиэрмитова матрица $\frac{\partial \Omega}{\partial x} \Omega^{-1}$ имеет нулевую диагональную часть. Поэтому положим
\[
U_{0}(x)=\frac{\partial \Omega}{\partial x} \Omega^{-1}=i\left(\begin{array}{cc}
0 & \bar{\psi}(x) \\
\psi(x) & 0
\end{array}\right),
\]

вводя функции $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ по заданной матрице $S(x)$. Отсюда получаем
\[
U_{\mathrm{M} \Gamma}^{\Omega}(\lambda)=\frac{\partial \Omega}{\partial x} \Omega^{-1}+\Omega U_{\mathrm{M} \Gamma}(\lambda) \Omega^{-1}=\frac{\lambda \sigma_{3}}{2 i}+U_{0}(x)=U_{\mathrm{H}}(\lambda) .
\]

До сих пор мы не предполагали, что матрица $S$ является решением уравнений движения, и определили отображение $F: \vec{S}(x) \mapsto$ $\mapsto(\psi(x), \bar{\psi}(x))$ при фиксированном $t$.

Предположим теперь, что $S(x, t)$ удовлетворяет уравнению МГ. Тогда связность $\left(U_{M \Gamma}^{\Omega}(x, t, \lambda), V_{M \Gamma}^{\Omega}(x, t, \lambda)\right.$ ) имеет нулевую

кривизну
\[
\frac{\partial U_{M \Gamma}^{\Omega}}{\partial t}-\frac{\partial V_{M \Gamma}^{\Omega}}{\partial x}+\left[U_{M \Gamma}^{\Omega}, V_{M \Gamma}^{\Omega}\right]=0,
\]

где благодаря уже известным свойствам матрицы $\Omega(x, t)$ матрицу
\[
V_{\Lambda \Gamma \Gamma}^{\Omega}(\lambda)=\frac{\partial \Omega}{\partial t} \Omega^{-1}+\Omega V_{M \Gamma}(\lambda) \Omega^{-1}
\]

можно привести к виду
\[
V_{\mathrm{Mr}}^{\Omega}(\lambda)=\frac{i \lambda_{2}^{2}}{2} \sigma_{3}-\lambda U_{0}+\frac{\partial \Omega}{\partial t} \Omega^{-1} .
\]

Выразим матрицу $\frac{\partial \Omega}{\partial t} \Omega^{-1}$ через функции $\psi(x, t), \bar{\psi}(x, t)$, используя условие нулевой кривизны (4.26). Последнее представляет собой полином по $\lambda$ третьей степени. Коэффициенты при $\lambda^{3}$ и $\lambda^{2}$ исчезают тождественно; исчезновение коэффициента при $\lambda$ приводит к соотношению
\[
\frac{\partial \Omega}{\partial t} \Omega^{-1}=\frac{1}{i} \sigma_{3} \frac{\partial U_{0}}{\partial x}+i c(x, t) \sigma_{3},
\]

где $c(x, t)$ – вещественнозначная функция. Диагональная часть постоянного члена в (4.26) приводит к уравнению
\[
\frac{\partial}{\partial x}\left(c-|\psi|^{2}\right)=0 .
\]

В результате матрица $\frac{\partial \Omega}{\partial t} \Omega^{-1}$ представляется в виде
\[
\frac{\partial \Omega}{\partial t} \Omega^{-1}=V_{0}(x, t)+i \alpha(t) \sigma_{3},
\]

где $V_{0}(x, t)$ дается формулой (4.5), а $\alpha(t)$ – вещественнозначная функция.

Заметим теперь, что условие (4.23) все еще допускает произвол в выборе матрицы $\Omega(x, t)$ вида $\Omega \mapsto \exp \left\{i \beta(t) \sigma_{3}\right\} \Omega$, где $\beta(t)-$ вещественнозначная функция. Выбирая ее из условия
\[
\frac{d \beta}{d t}(t)=\alpha(t),
\]

мы можем иеправить матрицу $\Omega$ так, что для новой матрицы $\Omega$ второе слагаемое в правой части (4.31) исчезает. В результате получаем соотношение
\[
V_{\mathrm{M} \Gamma}^{\Omega}(\lambda)=V_{\mathrm{HW}}(\lambda),
\]

так что функция $\psi(x, t)$ удовлетворяет уравнению НШ.

Описание калибровочной эквивалентности моделей НШ и МГ на этом заканчивается. В гл. II мы рассмотрим это калибровочное преобразование с гамильтоновой точки зрения.

В заключение этого параграфа обсудим построенное выше отображение $F: \vec{S}(x) \mapsto(\psi(x), \vec{\psi}(x))$ с геометрической точки зрения. Для определенности ограничимся случаем периодических граничных условий
\[
\vec{S}(x+2 L)=\vec{S}(x),
\]

так что вектор-функция $\vec{S}(x)$ определяет замкнутый контур на сфере $\mathbb{S}^{2}-1$-цикл $\gamma$. При отображении $F$ цикл $\gamma$ переходит в, вообще говоря, незамкнутый контур на комплексной плоскости $\mathbb{C}^{1}$. Более точно, мы покажем, что выполняется соотношение
\[
U_{0}(L)=e^{\frac{i p}{2} \sigma_{3}} U_{0}(–L) e^{-\frac{i p}{2} \sigma_{3}},
\]

где $p$-значение импульса модели $M \Gamma$ на поле $\vec{S}(x)$ (см. §1), или
\[
\psi(L)=e^{-i p} \Psi(-L) .
\]

Это позволяет написать
\[
p=-\int_{-L}^{L} \frac{d}{d x} \arg \psi(x) d x,
\]

что по формуле (4.21) дает новое выражение для плотности импульса модели $М Г$.

Мы дадим геометрическое доказательство формулы (4.35). Рассмотрим реализацию расслоения Хопфа $\mathbb{S}^{3} \cong S U(2) \rightarrow \mathbb{S}^{2}$, задаваемую отображением
\[
\Omega \rightarrow \vec{S}, \quad S=\vec{S} \cdot \vec{\sigma}=\Omega^{-1} \sigma_{3} \Omega,
\]

где $\Omega$ – матрица из $S U(2)$, а $\vec{S}$ – вектор на $\mathbb{S}^{2}$. Правоинвариантная 1 -форма на $S U(2)$
\[
A=\frac{1}{4 \pi} \operatorname{tr}\left(d \Omega \cdot \Omega^{-1} \sigma_{3}\right)
\]

задает в этом расслоении $U(1)$-связность, кривизна которой $d A$ представляет собой горизонтальную 2-форму, проекция которой на базу расслоения – сферу $\mathbb{S}^{2}$ – совпадает с формой площади $\frac{1}{4 \pi} \omega$. Условие (4.23) выбора матрицы $\Omega(x)$, определяющее отображение $F$, интерпретируется как условие горизонтального подъема контура $\gamma$ в пространство расслоения. При этом конечная и начальная точки поднятого контура связаны преобразова-

нием голономии
\[
\Omega(L)=e^{2 \pi i \alpha \sigma_{3}} \Omega(-L) .
\]

По теореме о голономии для $U(1)$-связностей для величины $\alpha$ имеем выражение
\[
\alpha=\frac{1}{4 \pi} \int_{B_{\gamma}} \omega,
\]

где $B_{\gamma}$ – пленка на $\mathbb{S}^{2}$, натянутая на 1 -цикл $\gamma$. Таким образом (см. $\S 1$ ), $4 \pi \alpha$ совпадает с импульсом поля $\vec{S}(x)$. Выбирая теперь $x$ в качестве начальной точки на контуре $\gamma$, перепишем (4.40) в виде
\[
\Omega(x+2 L)=e^{\frac{\boldsymbol{t}_{p}}{2} \sigma_{3}} \Omega(x) .
\]

Формула (4.35) немедленно следует из этого соотношения.