Скобки Пуассона (4.32)-(4.33) показывают, что, вообще говоря, динамика солитонов неотщепляется гамильтоновым образом от динамики мод непрерывного спектра. Другими словами, связь $\rho(\theta)=0$ не согласована с этими скобками Пуассона. Однако (сравни с моделью НШ в случае конечной плотности в § III. 9 части I) для уравнений движения, порожденных регуляризованными функционалами $\widetilde{I}_{l}$, в $N$-солитонном подмногообразии фазового пространства можно ввести новое гамильтоново описание. Именно, на фазовом пространстве с координатами $\tilde{p}_{j}, \tilde{q}_{j}, j=1, \ldots, N$, с единственными ограничениями $\left|\tilde{p}_{j}\right|>2$ и пуассоновой структурой

гамильтонианы
\[
\left\{\tilde{p}_{i}, \tilde{q}_{j}\right\}=\delta_{i j}, \quad i, j=1, \ldots, N,
\]
\[
\tilde{I}_{l}^{(\text {sol })}=\left.\widetilde{I}_{l}\right|_{g \theta=1}
\]

порождают динамику, совпадающую с динамикой солитонов по высшим уравнениям модели Тода.

Гак же как и для модели НШІ в случае конечной плотности, рассеяние солитонов, задаваемое формулами (3.67) – (3.72), не описывается каноническим преобразованием, если мы будем считать, что асимптотические переменные $\tilde{p}_{j}, \tilde{q}_{j}^{( \pm)}=\tilde{q}_{j} \pm \Delta \tilde{q}_{j}$, где
\[
\Delta \tilde{q}_{j}=\sum_{v_{k}<v_{j}} \ln \left|\frac{1-z_{j} z_{k}}{z_{j}-z_{k}}\right|-\sum_{v_{k}>v_{j}} \ln \left|\frac{1-z_{j} z_{k}}{z_{j}-z_{k}}\right|,
\]

имеют те же скобки Пуассона, что и $\tilde{p}_{j}, \tilde{q}_{j}$.
Действительно, для двухсолитонного рассеяния имеем при $\tilde{p}_{1}>\tilde{p}_{2}$
\[
\Delta \tilde{q}_{1}=-\Delta \tilde{q}_{2}=\ln \frac{\left|\tilde{p}_{1} \tilde{p}_{2}+\sqrt{\widetilde{p_{1}^{2}}-4} \sqrt{\tilde{p}_{2}^{2}-4}-4\right|}{2\left(\tilde{p_{1}}-\widetilde{p_{2}}\right)},
\]

и это выражение, очевидно, не является функцией только от разности $\tilde{p}_{1}-\tilde{p}_{2}$.

Это означает, конечно, что априорное предположение о каноничности набора переменных $\tilde{p}_{j}, \tilde{q}_{j}^{( \pm)}$неверно. Вопрос о корректном выборе канонических асимптотических переменных для динамики солитонов (а также и для мод непрерывного спектра) требует особого исследования и выходит за рамки этой книги.

Разобранный пример модели Тода показывает, что метод обратной задачи столь же эффективен для моделей на решетке, как и для непрерывных моделей. Фундаментальные скобки Пуассона (1.9) для матрицы $L_{n}(\lambda)$ играют основную роль в гамильтоновой интерпретации этого метода. На этом мы заканчиваем описание модели Тода.