Рассмотрим задачу Римана
\[
G(x, \lambda)=G_{+}(x, \lambda) G_{-}(x, \lambda),
\]

сформулированную в конце предыдущего параграфа. Здесь мы исследуем ее в указанных классах для заданной матрицы $G(x, \lambda)$ и искомых матриц $G_{ \pm}(x, \lambda)$. Мы докажем следующие утверждения.
1. Задача Римана (2.1) однозначно разрешима.
2. Матрицы
\[
F_{+}(x, \lambda)=G_{+}^{-1}(x, \lambda) E(x, \lambda)
\]
$u$
\[
F_{-}(x, \lambda)=G_{-}(x, \lambda) E(x, \lambda)
\]

удовлетворяют дифференциальному уравнению вспомогательной линейной задачи
\[
\frac{d}{d x} F_{ \pm}(x, \lambda)=\left(\frac{\lambda}{2 i} \sigma_{3}+U_{0}(x)\right) F_{ \pm}(x, \lambda) .
\]

При этом матрища $U_{0}(x)$ имеет вид
\[
U_{0}(x)=\sqrt{x}\left(\begin{array}{cc}
0 & \bar{\psi}(x) \\
\psi(x) & 0
\end{array}\right),
\]

где функции $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ принадлежат пространству $L_{1}(-\infty, \infty)$.
3. При $|x| \rightarrow \infty$ и вещественных $\lambda$ матрицы $G_{ \pm}(x, \lambda)$ имеют асимптотики (1.39)-(1.42), где $b(\lambda)$ участвует в определении
\[
a(\lambda)=\prod_{j=1}^{n} \frac{\lambda-\lambda_{j}}{\lambda-\bar{\lambda}_{j}} \exp \left\{\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln \left(1+\varepsilon|b(\mu)|^{2}\right)}{\mu-\lambda-i 0} d \mu\right\},
\]

причем в случае $\varepsilon=1$ произведение элементарных множителей Бляшке отсутствует.
4. Приведенная матрица монодромии вспомогательной линейной задачи (2.4) имеет вид
\[
T(\lambda)=\left(\begin{array}{ll}
a(\lambda) & \varepsilon \bar{b}(\lambda) \\
b(\lambda) & \bar{a}(\lambda)
\end{array}\right) .
\]

При $\varepsilon=-1$ ее дискретный спектр совпадает с набором $\lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}, j=$ $=1, \ldots, n$, коэффициентами перехода дискретного спектра являются $\gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j}, j=1, \ldots, n$.
Перейдем теперь к доказательству этих утверждений.
1. Однозначная разрешимость задачи Римана.
Здесь проще всего воспользоваться общей теорией Гохберга – Крейна, в которой рассматривается задача Римана
\[
G(\lambda)=G_{+}(\lambda) G_{-}(\lambda)
\]

для заданной на всей оси невырожденной матрицы $G(\lambda)$ из кольца $\Re^{(n \times n)}$, нормированной на $I$ при $|\lambda| \rightarrow \infty$ (в общем случае матриц $n \times n$ ). Нужная нам теорема утверждает, что если матрица $\frac{G(\lambda)+G^{*}(\lambda)}{2}$ положительно определена, то задача (2.8) имеет единственное решение в классе невырожденных в своих областях аналитичности матриц $G_{+}(\lambda)$ и $G_{-}(\lambda)$ из колец $\mathfrak{R}_{ \pm}^{(n \times n)}$ соответственно, нормированных на I при $|\lambda| \rightarrow \infty$.

Основным средством исследования является сведение задачи Римана к уравнению Винера – Хопфа, которое осуществляется следующим образом. Перепишем соотношение (2.8) в виде
\[
G_{-}(\lambda)=G_{+}^{-1}(\lambda) G(\lambda)
\]

По теореме Винера из невырожденности матрицы $G_{+}(\lambda)$ следует, что для матрицы $G_{+}^{-1}(\lambda)$ имеет место представление
\[
G_{+}^{-1}(\lambda)=I+\int_{0}^{\infty} \Omega_{+}(s) e^{i \lambda s} d s,
\]

где $\Omega_{+}(s)$ принадлежит пространству $L_{1}^{(n \times n)}(0, \infty)$; беря от преобразование Фурье, убеждаемся, что задача Римана эквивалентна уравнению Винера – Хопфа
\[
\Omega_{+}(s)+\Phi(s)+\int_{0}^{\infty} \Omega_{+}\left(s^{\prime}\right) \Phi\left(s-s^{\prime}\right) d s^{\prime}=0, \quad s \geqslant 0,
\]

где
\[
G(\lambda)=I+\int_{-\infty}^{\infty} \Phi(s) e^{i \lambda s} d s .
\]

Уравнение (2.11) и служит основным предметом исследования в теории Гохберга – Крейна.

Приведенная теорема доказывает однозначную разрешимость. задачи (2.1) в регулярном случае, т. е. когда матрицы $G_{ \pm}(x, \lambda)$ невырожденны в своих областях аналитичности (что эквивалентно отсутствию дискретных собственных значений). Действительно, матрица $G(x, \lambda)$ имеет вид
\[
G(x, \lambda)=\left(\begin{array}{cc}
1 & \varepsilon \bar{b}(\lambda) e^{-i \lambda x} \\
-b(\lambda) e^{i \lambda x} & 1
\end{array}\right)
\]

и при $\varepsilon=1$
\[
\frac{G(x, \lambda)+G^{*}(x, \lambda)}{2}=I
\]

при $\varepsilon=-1$ матрица $G(x, \lambda)$ эрмитова и положительно определена в силу условия $\left(A_{1}\right)$ из $\$ 1.6$
\[
|b(\lambda)|<1 \text {. }
\]

В силу единственности решения задачи Римана (2.1) инволюция (1.24) для матрицы $G(x, \lambda)$ переносится и на решения $G_{ \pm}(x, \lambda)$ :
\[
G_{ \pm}^{*}(x, \lambda)=\tau G_{\mp 1}(x, \bar{\lambda}) \tau,
\]

где $\tau=\sigma_{3}$ при $\varepsilon=1$ и $\tau=I$ при $\varepsilon=-1$. В частности, при $\varepsilon=-1$ матрицы $G_{+}(x, \lambda)$ и $G_{-}(x, \lambda)$ являются взаимно эрмитово сопряженными:
\[
G_{+}^{*}(x, \lambda)=G_{-}(x, \bar{\lambda}) .
\]

Рассмотрим теперь задачу Римана с нулями, т. е. общую задачу (2.1) с заданными наборами чисел $\lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}, \operatorname{Im} \lambda_{j}>0 ; \gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j}$, $j=1, \ldots, n$, и условиями (1.49). Сразу будем считать, что при этом $x<0$.

Пусть сначала для простоты мы имеем дело только с одной парой нулей $\lambda_{0}, \bar{\lambda}_{0}, \operatorname{Im} \lambda_{0}>0$, и чисел $\gamma_{0}, \bar{\gamma}_{0}$, которым соответствует пара ортогональных подпространств $N_{0}^{( \pm)}(x)$ (см. (1.47)). Для сокращения записи также временно опустим зависимость от параметра $x$. Будем искать решения $G_{ \pm}(\lambda)$ в виде
\[
G_{+}(\lambda)=\widetilde{G}_{\perp}(\lambda) B(\lambda), \quad G_{-}(\lambda)=B^{-1}(\lambda) G_{-}(\lambda),
\]

где $\widetilde{G}_{ \pm}(\lambda)$ – решения регулярной задачи Римана. Подберем матричный множитель $B(\lambda)$, исходя из требований:
a) $B(\lambda)$ аналитичен в верхней полуплоскости $\lambda$, а $B^{-1}(\lambda)$ в нижней;
b) $\lim _{|\lambda| \rightarrow \infty} B(\lambda)=I$

c) $\operatorname{det} B(\lambda)
eq 0$ npu $\operatorname{Im} \lambda \geqslant 0 \quad u \operatorname{det} B^{-1}(\lambda)
eq 0$ npu $\operatorname{Im} \lambda \leqslant 0$, кроме точек $\lambda=\lambda_{0} u \bar{\lambda}_{0}$ соответственно, где
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{Im} B\left(\lambda_{0}\right)=\widetilde{G}_{+}^{-1}\left(\lambda_{0}\right) N_{0}^{(+)}=\widetilde{N}_{0}^{(+)}, \\
\operatorname{Ker} B^{-1}\left(\bar{\lambda}_{0}\right)=\widetilde{G}_{-}\left(\bar{\lambda}_{0}\right) N_{0}^{(-)}=\tilde{N}_{0}^{(-)} .
\end{array}
\]

При этом в силу инволюции (2.17) подпространства $\widetilde{N}_{0}^{( \pm)}$ортогональны.

Перечисленными условиями матрица $B(\lambda)$ определяется однозначно как матричный множитель Бляшке – Потапова
\[
B(\lambda)=I+\frac{\bar{\lambda}_{0}-\lambda_{0}}{\lambda-\bar{\lambda}_{0}} P, \quad B^{-1}(\lambda)=I+\frac{\lambda_{0}-\bar{\lambda}_{0}}{\lambda-\lambda_{0}} P,
\]

где ортогональный проектор $P$ определяется из условий
\[
\operatorname{Im}(I-P)=\tilde{N}_{0}^{(+)}, \quad \operatorname{Ker}(I-P)=\tilde{N}_{0}^{(-)}
\]

и имеет вид
\[
P=\frac{1}{1+|\beta|^{2}}\left(\begin{array}{cc}
|\beta|^{2} & \bar{\beta} \\
\beta & 1
\end{array}\right) .
\]

Здесь
\[
\beta=\frac{\widetilde{G}_{+}^{(1)}\left(\lambda_{0}\right) \gamma_{0}+\widetilde{G}_{+}^{(21)}\left(\lambda_{0}\right)}{\widetilde{G}_{+}^{(12)}\left(\lambda_{0}\right) \gamma_{0}+\widetilde{G}_{+}^{(22)}\left(\lambda_{0}\right)},
\]

где мы использовали очевидные обозначения для матричных элементов матрицы $\widetilde{G}_{+}\left(\lambda_{0}\right)$.

Введенный множитель Бляшке – Потапова удовлетворяет обобщенному условию унитарности
\[
\left.B^{*}(\lambda)=B^{-1} \overline{(\lambda}\right) .
\]

Восстанавливая зависимость от $x$, получаем, что проектор $P(x)$ имеет вид $(2.24)$, где
\[
\beta(x)=\frac{\widetilde{G}_{+}^{\prime 11)}\left(x, \lambda_{0}\right) \gamma_{0}(x)+\widetilde{G}_{+}^{(1)}\left(x, \lambda_{0}\right)}{\widetilde{G}_{+}^{(12)}\left(x, \lambda_{0}\right) \gamma_{0}(x)+\widetilde{G}_{+}^{(22)}\left(x, \lambda_{0}\right)},
\]

а $\gamma_{0}(x)=\gamma_{0} e^{i \lambda_{0} x}$. Если при некотором $x$ знаменатель в выражении для $\beta(x)$ исчезает, то формула (2.24) продолжает иметь смысл и проектор $P$ превращается в матрицу $\frac{1}{2}\left(I+\sigma_{3}\right)$.

В общем случае, когда заданы нули $\lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}$ и подпространства $N_{j}^{( \pm)}, j=1, \ldots, n$, задача Римана решается аналогично. Вместо множителя $B(\lambda)$ теперь следует взять упорядоченное произве-

дение множителей Бляике – Потапова

и подобрать ортогональные проекторы $P_{j}$ по заданным подпространствам $N_{j}^{( \pm)}$. Проще всего это делать последовательно: предположим, что унитарные множители $B_{1}(\lambda), \ldots, B_{k-1}(\lambda)$ уже построены. Тогда ортогональный проектор $P_{k}$ определяется из условий

и
\[
\operatorname{Im}\left(I-P_{k}\right)=B_{k-1}^{-1}\left(\lambda_{k}\right) \ldots B_{1}^{-1}\left(\lambda_{k}\right) \widetilde{G}_{+}^{-1}\left(\lambda_{k}\right) N_{k}^{(+)}=\widetilde{N}_{k}^{(+)}
\]
\[
\operatorname{Ker}\left(I-P_{k}\right)=B_{k-1}^{-1}\left(\bar{\lambda}_{k}\right) \ldots B_{1}^{-1}\left(\widetilde{\lambda}_{k}\right) \widetilde{G}_{-}\left(\bar{\lambda}_{k}\right) N_{k}^{(-)}=\widetilde{N}_{k}^{(-)} .
\]

Покажем теперь, что приведенное решение задачи Римана (2.1) единственно. Предположим, что эта задача имеет два решения $G_{ \pm}(x, \lambda)$ и $G_{ \pm}^{\prime}(x, \lambda)$, и опять временно опустим зависимость от $x$. При вещественных $\lambda$ мы имеем соотношение
\[
G_{+}^{-1}(\lambda) G_{+}(\lambda)=G_{-}^{\prime}(\lambda) G_{-}^{-1}(\lambda),
\]

вытекающее из (2.1). Левая часть этого равенства аналитична в верхней полуплоскости, кроме точек $\lambda=\lambda_{j}$, а правая аналитична в нижней полуплоскости, кроме $\lambda=\bar{\lambda}_{j}, j=1, \ldots, n$. При больших $|\lambda|$ левая и правая части равенства (2.31) нормированы на I. Если сингулярности при указанных значениях $\lambda$ отсутствуют, то по теореме Лиувилля мы получаем, что левая и правая части (2.31) тождественно равны $I$, откуда следует теорема единственности.

Для доказательства регулярности рассмотрим, для определенности, левую часть (2.31). В окрестности точки $\lambda=\lambda_{j}$ матрицы $G_{+}(\lambda)$ и $G_{+}^{-1}(\lambda)$ имеют разпожения
\[
G_{+}(\lambda)=A+O\left(\left|\lambda-\lambda_{j}\right|\right), \quad G_{+}^{-1}(\lambda)=\frac{B}{\lambda-\lambda_{j}}+O(1),
\]

причем
\[
A B=B A=0 .
\]

Далее,
\[
\operatorname{Im} A=\operatorname{Im} G_{+}\left(\lambda_{j}\right)=N_{j}^{(+)},
\]

и из (2.33) следует, что подпространство $N_{j}^{(+)}$содержится в Кег $B$ и вследствие одномерности совпадает с ним:
\[
N_{j}^{(+)}=\operatorname{Ker} B .
\]

Аналогичное разложение имеет место и для матриц $G_{+}^{\prime}(\lambda)$ и $G_{+}^{\prime-1}(\lambda)$; при этом по-прежнему
\[
\operatorname{Im} A^{\prime}=N_{i}^{(+)}=\operatorname{Ker} B^{\prime} .
\]

Теперь видно, что вычет при $\lambda=\lambda_{j}$ матрицы-функции $G_{+}^{\prime-1}(\lambda) G_{+}(\lambda)$ имеет вид $B^{\prime} A$ и очевидно исчезает.

Аналогичным образом рассматривается и правая часть в (2.31), что доказывает регулярность обеих частей этого равенства на всей плоскости.

В силу доказанной теоремы единственности, в частности, получаем, что инволюция (2.17) переносится и на случай задачи Римана с нулями.
2. Вывод дифференциального уравнения.
Рассмотрим введенные выше матрицы $F_{ \pm}(x, \lambda)$ (см. (2.2)(2.3)), которые, очевидно, удовлетворяют уравнению
\[
F_{-}(x, \lambda)=F_{+}(x, \lambda) G(\lambda) .
\]

Матрица $F_{+}(x, \lambda)$ аналитична и невырожденна в верхней полуплоскости, за исключением простых полюсов в точках $\lambda=\lambda_{j}, j=$ $=1, \ldots, n$, а $F_{-}(x, \lambda)$ аналитична в нижней полуплоскости и имеет простые нули при $\lambda=\bar{\lambda}_{j}, j=1, \ldots, n$. Матрицы $F_{ \pm}(x, \lambda)$ удовлетворяют условиям
\[
\operatorname{Im} F_{+}^{-1}\left(x, \lambda_{j}\right)=N_{i}^{(+)}, \quad \operatorname{Ker} F_{-}\left(x, \bar{\lambda}_{j}\right)=N_{i}^{(-)}, \quad j=1, \ldots, n,
\]

где подпространства $N_{j}^{( \pm)}$строятся по $\gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j}$ (см. §1) и не зависят от $x$.

Ниже мы докажем, что матрицы $F_{ \pm}(x, \lambda)$ абсолютно непрерывны. Поэтому дифференцируя (2.37) по $x$, получаем, что
\[
\frac{d F_{-}}{d x}(x, \lambda)=\frac{d F_{+}}{d x}(x, \lambda) G(\lambda)=\frac{d F_{+}}{d x}(x, \lambda) F_{+}^{-1}(x, \lambda) F_{-}(x, \lambda),
\]

или
\[
\frac{d F_{+}}{d x}(x, \lambda) F_{+}^{-1}(x, \lambda)=\frac{d F_{-}}{d x}(x, \lambda) F_{-}^{-1}(x, \lambda) .
\]

Левая и правая части этого равенства допускают аналитическое продолжение в верхнюю и нижнюю полуплоскости соответственно, несмотря на то, что матрица $F_{+}(x, \lambda)$ сингулярна при $\lambda=\lambda_{j}$, а $F_{-}^{-1}(x, \bar{\lambda})-$ при $\lambda=\bar{\lambda}_{j}, j=1, \ldots, n$.

Доказательство аналогично приведенному выше для теоремы единственности. Вводя представления
\[
F_{+}(x, \lambda)=\frac{A(x)}{\lambda-\lambda_{i}}+O
\]

и
\[
F_{+}^{-1}(x, \lambda)=B(x)+O\left(\left|\lambda-\lambda_{i}\right|\right),
\]

имеем
\[
\operatorname{Im} B(x)=N_{i}^{(+)}
\]

и очевидные равенства
\[
A(x) B(x)=B(x) A(x)=0 .
\]

В силу независимости $N_{j}^{(+)}$от $x$ получаем, что $\operatorname{Ker} \frac{d A}{a x}(x)$ содержит $N_{j}^{(+)}$, так что, в силу (2.43) и (2.44), вычет функции $\frac{d F_{+}}{d x}(x, \lambda) F_{+}^{-1}(x, \lambda)$ при $\lambda=\lambda_{j}$ равен $\frac{d A}{a x}(x) B(x)$ и исчезает. Тем самым левая часть в (2.40) несингулярна. Аналогичным образом доказывается регулярность правой части в $(2.40)$.

Таким образом, функция $\frac{d F_{+}}{d x}(x, \lambda) F_{+}^{-1}(x, \lambda)$ при каждом х является целой функцией $\lambda$. Рассмотрим ее асимптотику при $|\lambda| \rightarrow \infty$.

В нижней полуплоскости $\lambda$ для этого воспользуемся интегральным представлтением
\[
F_{-}(x, \lambda)=\left(I+\int_{0}^{\infty} \Phi_{-}(x, s) e^{-i \lambda . s} d s\right) E(x, \lambda),
\]

следующим из принадлежности $G_{-}(x, \lambda)$ кольцу $\mathfrak{\Re}_{-}^{(2 \times 2)}$. Предположим на время, что функция $\Phi_{-}(x, s)$ абсолютно непрерывна по $x$ и $s$ и $\frac{\partial \Phi_{-}}{\partial x}, \frac{\partial \Phi_{-}}{\partial s}, \frac{\partial^{2} \Phi_{-}}{\partial x \partial s}$-как функции $s$ – принадлежат $L_{1}^{(2 \times 2)}(0, \infty)$. Тогда при $|\lambda| \rightarrow \infty, \operatorname{Im} \lambda \leqslant 0$, функция $F_{-}(x, \lambda)$ имеет асимптотику
\[
F_{-}(x, \lambda)=\left(I+\frac{\Phi_{-}(x, 0)}{i \lambda}+o\left(\frac{1}{|\lambda|}\right)\right) E(x, \lambda),
\]

допускающую дифференцирование по $x$. Отсюда получаем, что при $|\lambda| \rightarrow \infty$ в нижней полуплоскости
\[
\frac{d F_{-}}{d x}(x, \lambda) F_{-}^{-1}(x, \lambda)=\frac{\lambda \sigma_{3}}{2 i}+\frac{1}{2}\left[\sigma_{3}, \Phi_{-}(x, 0)\right]+o(1) .
\]

Аналогично из представления
\[
F_{+}^{-1}(x, \lambda)=E^{-1}(x, \lambda)\left(I+\int_{0}^{\infty} \Phi_{+}(x, s) e^{i \lambda s} d s\right)
\]

имеем при $|\lambda| \rightarrow \infty, \operatorname{Im} \lambda \geqslant 0$,
\[
\begin{aligned}
\frac{d F_{+}}{d x}(x, \lambda) F_{+}^{-1}(x, \lambda)=-F_{+} & (x, \lambda) \frac{d F_{+}^{-1}}{d x}(x, \lambda)= \\
& =\frac{\lambda \sigma_{3}}{2 i}+\frac{1}{2}\left[\sigma_{3}, \Phi_{+}(x, 0)\right]+o(1) .
\end{aligned}
\]

По теореме Лиувилля получаем отсюда, что
\[
\frac{d F_{+}}{d x}(x, \lambda) F_{+}^{-1}(x, \lambda)=\frac{d F_{-}}{d x}(x, \lambda) F_{-}^{-1}(x, \lambda)=\frac{\lambda \sigma_{3}}{2 i}+U_{0}(x),
\]

где
\[
U_{0}(x)=\frac{1}{2}\left[\sigma_{3}, \Phi_{+}(x, 0)\right]=\frac{1}{2}\left[\sigma_{3}, \Phi_{-}(x, 0)\right] .
\]

Таким образом, заключаем, что уравнение вспомогательной линейной задачи (2.4) выполняется. Матрица $U_{0}(x)$ антидиагональна и удовлетворяет условию инволюции
\[
U_{0}^{*}(x)=\tau U_{0}(x) \tau,
\]

которое следует из свойства (2.16), переписанного в терминах решений $F_{ \pm}(x, \lambda)$. Поэтому она представляется в виде $U_{0}(x)=$ $=\left(\begin{array}{cc}0 & \varepsilon \bar{\varphi}(x) \\ \varphi(x) & 0\end{array}\right)$ и совпадает с матрицей (2.5), если ввести параметр $x: \varphi(x)=\sqrt{x} \psi(x)$. Введение $x$ в этом месте выглядит несколько условно; оно нужно для буквального совпадения формул (I.2.4) и (2.5).

Вернемся к предположению о дифференцируемости ядер $\Phi_{ \pm}(x, s)$. В общем случае при наших предположениях о функции $b(\lambda)$ это свойство не имеет места, и справедливость дифференциального уравнения (2.4) будет доказана в следующем пункте при помощи процедуры замыкания.

Обратим внимание, что приведенный вывод дифференциального уравнения (2.4) не использовал пока никаких специальных свойств матрицы $G(x, \lambda)$, кроме условия однозначной разрешимости задачи Римана, инволюции и явной зависимости от $x$. Таким образом, установленная связь задачи Римана с дифференциальным уравнением (2.4) является весьма общей. При этом она является локальной по $x$. Все сформулированные условия на $G(x, \lambda)$ будут использованы при исследовании свойств матриц $G_{ \pm}(x, \lambda)$ и $U_{0}(x)$ как функций переменной $x$.
3. Acuмптотики матриц $G_{ \pm}(x, \lambda)$ при $|x| \rightarrow \infty$.
Рассмотрим сначала регулярный случай задачи Римана. Мы будем использовать уравнение Винера – Хопфа (2.11)
\[
\Omega_{+}(x, s)+\Phi(x, s)+\int_{0}^{\infty} \Omega_{+}\left(x, s^{\prime}\right) \Phi\left(x, s-s^{\prime}\right) d s^{\prime}=0,
\]
$s \geqslant 0$, где явно введена зависимость от $x$. Здесь матрица-ядро $\Phi(x, s)$ дается формулой (1.30)
\[
\Phi(x, s)=\left(\begin{array}{cc}
0 & \varepsilon \bar{\beta}(-s-x) \\
-\beta(s-x) & 0
\end{array}\right),
\]

где
\[
\beta(s)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} b(\lambda) e^{-i \lambda s} d \lambda
\]

а $\Omega_{+}(x, s)$ определяется из представления
\[
G_{+}^{-1}(x, \lambda)=I+\int_{0}^{\infty} \Omega_{+}(x, s) e^{i \eta s} d s
\]

Матрица $\Phi_{-}(x, . s)$, участвующая в представлении
\[
G_{-}(x, \lambda)=I+\int_{0}^{\infty} \Phi_{-}(x, s) e^{-i \lambda \cdot s} d s,
\]

следующим образом выражается через решение $\Omega_{+}(x, s)$ уравнения Винера – Хопфа:
\[
\Phi_{-}(x, s)=\Phi(x,-s)+\int_{0}^{\infty} \Omega_{+}\left(x, s^{\prime}\right) \Phi\left(x,-s-s^{\prime}\right) d s^{\prime} .
\]

Введем запись матричных элементов матрицы $\Omega_{+}(x, s)$ :
\[
\Omega_{+}(x, s)=\left(\begin{array}{ll}
A_{x}(s) & B_{x}(s) \\
C_{x}(s) & D_{x}(s)
\end{array}\right),
\]
подчеркивающую, что переменная $x$ – параметр в уравнении Винера – Хопфа. Учитывая (2.54), запишем матричное уравнение (2.53) следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
A_{x}(s)=\int_{0}^{\infty} \beta\left(s-x-s^{\prime}\right) B_{x}\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime} \\
B_{x}(s)=-\varepsilon \bar{\beta}(-s-x)-\varepsilon \int_{0}^{\infty} k_{x}\left(s, s^{\prime}\right) B_{x}\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime}
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
D_{x}(s)=-\varepsilon \int_{0}^{\infty} \bar{\beta}\left(-s-x+s^{\prime}\right) C_{x}\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime}, \\
C_{x}(s)=\beta(s-x)-\varepsilon \int_{0}^{\infty} l_{x}\left(s, s^{\prime}\right) C_{x}\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime},
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
k_{x}\left(s, s^{\prime}\right)=\int_{-x}^{\infty} \bar{\beta}(u-s) \beta\left(u-s^{\prime}\right) d u, \\
l_{x}\left(s, s^{\prime}\right)=\int_{x}^{\infty} \beta(s-u) \bar{\beta}\left(s^{\prime}-u\right) d u .
\end{array}
\]

Очевидно, что скалярные уравнения (2.61) и (2.63) вместе с (2.60) и (2.62) эквивалентны исходному уравнению Винера Хопфа (2.53). Их разрешимость непосредственно следует из упомянутой выше теоремы Гохберга – Крейна. Однако нам необходимо исследовать зависимость решения $\Omega_{+}(x, s)$ от переменной $x$, играющей роль параметра, поскольку этим, в силу первой формулы в (2.51), определяется зависимость функций $\psi(x)$, $\bar{\psi}(x)$ от $x$ :
\[
\psi(x)=\left.\frac{1}{\sqrt{\%}} C_{x}(s)\right|_{s=3}, \quad \bar{\psi}(x)=-\left.\frac{1}{\sqrt{x}} B_{x}(s)\right|_{s=0} .
\]

Приведем схему исследования поведения решений уравнений (2.61) $u$ (2.63) как функций от $x$. В этих уравнениях участвуют интегральные операторы $\mathbf{K}_{x}$ и $\mathbf{L}_{x}$ с ядрами $k_{x}\left(s, s^{\prime}\right)$ и $l_{x}\left(s, s^{\prime}\right)$ соответственно, ограниченные в пространстве $L_{1}(0, \infty)$ и непрерывные по параметру $x$ в смысле сходимости по норме. Для оценок норм встречающихся нам интегральных операторов достаточно использовать очевидную оценку
\[
\|\mathbf{A}\| \leqslant \max _{0 \leqslant s^{\prime}<\infty} \int_{0}^{\infty}\left|A\left(s, s^{\prime}\right)\right| d s .
\]

Из теории Гохберга– Крейна следует, что операторы $\mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{K}_{x}$ и $\mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{L}_{x}$ при каждом $x$ обратимы в $L_{1}(0, \infty)$. Отсюда получаем, что матрица $\Omega_{+}(x, s)$ как элемент $L_{1}^{(2 \times 2)}(0, \infty)$ непрерывно зависит от $x$, так что при каждом $\lambda$ матрицы $G_{ \pm}(x, \lambda)$ непрерывны по $x$.

Покажем, что нормы операторов $\left(\mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{K}_{x}\right)^{-1},\left(\mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{L}_{x}\right)^{-1}$ в $L_{1}(0, \infty)$ равномерно ограничены по $x,-\infty<x<\infty$. Для этого мы докажем, что при $x \rightarrow \pm \infty$ операторы $\mathbf{K}_{x}$ и $\mathbf{L}_{x}$ соответственно имеют пределы $\mathbf{K}_{ \pm}$и $\mathbf{L}_{ \pm}$в смысле сходимости по норме и что операторы $\left(\mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{K}_{ \pm}\right)^{-1}$ и $\left(\mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{L}_{ \pm}\right)^{-1}$ существуют и ограничены.

Рассмотрим для определенности оператор $\mathbf{K}_{x}$. Представим его в виде
\[
\mathbf{K}_{x}=\mathbf{K}+\mathbf{R}_{x},
\]

где $\mathbf{K}$ – интегральный оператор с ядром $k\left(s-s^{\prime}\right)$ :
\[
k(s)=\int_{-\infty}^{\infty} \beta(u+s) \bar{\beta}(u) d u,
\]

а ядро $r_{x}\left(s, s^{\prime}\right)$ оператора $\mathbf{R}_{x}$ имеет вид
\[
r_{x}\left(s, s^{\prime}\right)=-\int_{-\infty}^{-x} \bar{\beta}(u-s) \beta\left(u-s^{\prime}\right) d u .
\]

Для нормы оператора $\mathbf{R}_{x}$ имеем оценку
\[
\begin{aligned}
\left\|\mathbf{R}_{x}\right\| \leqslant & \max _{0 \leqslant s^{\prime}<\infty} \int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{-x}\left|\beta(u-s) \beta\left(u-s^{\prime}\right)\right| d u d s= \\
& =\max _{0 \leqslant s^{\prime}<\infty} \int_{-\infty}^{-x} \int_{-\infty}^{u}\left|\beta(s) \beta\left(u-s^{\prime}\right)\right| d s d u \leqslant\left(\int_{-\infty}^{-x}|\beta(u)| d u\right)^{2},
\end{aligned}
\]

которая показывает, что эта норма исчезает при $x \rightarrow+\infty$.
Оператор $\mathbf{I}+\varepsilon$ K обратим, так как задача об его обращении представляет собой скалярное уравнение Винера-Хопфа, которое сводится к задаче Римана для функции
\[
1+\varepsilon \int_{-\infty}^{\infty} k(s) e^{i \lambda s} d s=1+\varepsilon|b(\lambda)|^{2}=a_{+}(\lambda) a_{-}(\lambda) .
\]

Эта задача очевидно однозначно разрешима при $\varepsilon=1$, а при $\varepsilon=$ $=-1$ ее однозначная разрешимость следует из условия ( $\left.A_{1}\right)$ формулы (2.15). Решение $a_{+}(\lambda)$ дается формулой (2.6), где следует опустить произведение множителей Бляшке, а $a_{-}(\lambda)=$ $=\vec{a}_{+}(\bar{\lambda})$.

Таким образом, мы показали, что норма оператора $\left(\mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{K}_{x}\right)^{-\mathbf{1}}$ равномерно ограничена по $x$ в окрестности $+\infty$.

Рассмотрим теперь окрестность – $\infty$. Не следует думать, исходя из (2.64), что оператор $\mathbf{K}_{x}$ исчезает при $x \rightarrow-\infty$. Это становится очевидным, если ввести новую неизвестную функцию
\[
f_{x}(s)=B_{x}(s-x), \quad s \geqslant x,
\]

для которой уравнение (2.61) принимает вид
\[
f_{x}(s)=-\varepsilon \bar{\beta}(-s)-\varepsilon \int_{x}^{\infty} q\left(s, s^{\prime}\right) f_{x}\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime} .
\]
‘Ядро $q\left(s, s^{\prime}\right)$ не зависит от $x$ и имеет вид
\[
q\left(s, s^{\prime}\right)=\int_{0}^{\infty} \bar{\beta}(u-s) \beta\left(u-s^{\prime}\right) d u .
\]

Сделанный сдвиг переводит пространство $L_{1}(0, \infty)$ в $L_{1}(x, \infty)$. При этом оператор $\mathbf{K}_{x}$ переходит в оператор $\mathbf{Q}_{x}$ в пространстве $L_{1}(x, \infty)$ с ядром $q\left(s, s^{\prime}\right)$, где $s, s^{\prime} \geqslant x$. Вложим теперь пространство $L_{1}(x, \infty)$ в $L_{1}(-\infty, \infty)$ и через $\mathbf{Q}_{x}$ будем также обо-

значать и оператор в $L_{1}(-\infty, \infty)$ с ядром
\[
q_{x}\left(s, s^{\prime}\right)=\theta(s-x) \theta\left(s^{\prime}-x\right) q\left(s, s^{\prime}\right),
\]

где $\theta(s)=1$ при $s>0$ и $\theta(s)=0$ при $s<0$. Последовательность операторов $\mathbf{Q}_{x}$ при $x \rightarrow-\infty$ сходится по норме $L_{1}(-\infty, \infty)$ к. оператору $\mathbf{Q}$ с ядром $q\left(s, s^{\prime}\right)$.

Докажем, что оператор $\mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{Q}$ обратим – покажем, что уравнение
\[
f(s)=g(s)-\varepsilon \int_{0}^{\infty} q\left(s, s^{\prime}\right) f\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime}
\]

однозначно разрешимо в $L_{1}(-\infty, \infty)$. Положим
\[
F(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty} f(s) e^{i \lambda s} d s, \quad G(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty} g(s) e^{i \lambda s} d s
\]

и совершим в уравнении (2.77) преобразование Фурье; в результате получим уравнение
\[
F(\lambda)=G(\lambda)-\varepsilon \bar{b}(\lambda) \Pi_{+}(b(\lambda) F(\lambda)),
\]

где проектор $\Pi_{+}$вводится следующим образом: если
\[
\zeta(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty} \xi(s) e^{i \cdot s} d s
\]

то
\[
\left(\Pi_{+} \zeta\right)(\lambda)=\int_{0}^{\infty} \xi(s) e^{i \lambda s} d s .
\]

Уравнение (2.79) имеет единственное решение, которое мож. но явно выписать в виде
\[
F(\lambda)=G(\lambda)-\varepsilon \frac{\bar{b}(\lambda)}{a_{+}(\lambda)} \Pi_{+}\left(\frac{b(\lambda)}{a_{-}(\lambda)} G(\lambda)\right),
\]

где функции $a_{ \pm}(\lambda)$ введены в (2.72).
Действительно, вводя функцию $\Phi(\lambda)$ формулой
\[
F(\lambda)-G(\lambda)=-\varepsilon \bar{b}(\lambda) \Phi(\lambda),
\]

из (2.79) получаем для нее уравнение
\[
\Phi(\lambda)=\Pi_{+}\left(b(\lambda) G(\lambda)-\varepsilon|b(\lambda)|^{2} \Phi(\lambda)\right),
\]

которое, в частности, показывает, что $\Phi(\lambda)$ принадлежит кольцу $\Re_{+}$. Используя факторизацию (2.72), перепишем (2.84) в

виде
\[
\Pi_{+}\left(b(\lambda) G(\lambda)-a_{+}(\lambda) a_{-}(\lambda) \Phi(\lambda)\right)=0,
\]

откуда уже легко получаем выражение для $\Phi(\lambda)$ :
\[
\Phi(\lambda)=\frac{1}{a_{+}(\lambda)} \Pi_{+}\left(\frac{b(\lambda)}{a_{-}(\lambda)} G(\lambda)\right)
\]

и тем самым формулу (2.82).
Таким образом, мы показали, что оператор $\mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{K}_{\boldsymbol{x}}$ ограниченно обратим и в окрестности – $\infty$. Доказательство равномерной разрешимости по $x$ интегрального уравнения (2.61) на этом заканчивается.

Уравнение (2.63) исследуется аналогично. При этом для доказательства равномерной ограниченности оператора $\left(\mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{L}_{x}\right)^{-1}$ в окрестности – $\infty$ следует использовать представление типа (2.68), а в окрестности $+\infty$ – только что приведенный выше способ.

Используем полученные результаты для исследования асимптотик решения задачи Римана при $|x| \rightarrow \infty$. Для половины матричных элементов матрицы $G_{+}^{-1}(x, \lambda)$ эти асимптотики тривиальны.

Действительно, свободные члены в уравнениях (2.61) и (2.63) имеют в пространстве $L_{1}(0, \infty)$ нормы
\[
\int^{\infty}|\beta(-s-x)| d s=\int_{-\infty}^{-x}|\beta(s)| d s
\]

іи
\[
\int_{0}^{\infty}|\beta(s-x)| d s=\int_{-x}^{\infty}|\beta(s)| d s,
\]

которые исчезают при $x \rightarrow+\infty$ и $x \rightarrow-\infty$ соответственно. Поэтому

при $x \rightarrow+\infty$ и
\[
\begin{array}{ll}
\left\|B_{x}\right\| \rightarrow 0, & \left\|A_{x}\right\| \rightarrow 0 \\
\left\|C_{x}\right\| \rightarrow 0, & \left\|D_{x}\right\| \rightarrow 0
\end{array}
\]

при $x \rightarrow-\infty$. Таким образом, при всех $\lambda, \operatorname{Im} \lambda \geqslant 0$, асимптотики первой строки матрицы $G_{+}^{-1}(x, \lambda)$ при $x \rightarrow+\infty$ и второй строки при $x \rightarrow-\infty$ совпадают с приведенными в формулах (1.39) и (1.41).

Рассмотрим теперь поведение первой строки матрицы $G_{+}^{-1}(x, \lambda)$ при $x \rightarrow-\infty$. Положим $B_{x}(s)=f_{x}(s+x)$; при $x \rightarrow-\infty$ получаем, что $f_{x}(s) \rightarrow f(s)$ в смысле сходимости в $L_{1}(-\infty, \infty)$.

Функция $f(s)$ удовлетворяет уравнению (2.77), где $g(s)=$ $=-\varepsilon \bar{\beta}(-s)$. Поэтому при вещественных $\lambda$ и $x \rightarrow-\infty$ получаем
\[
\begin{array}{r}
\left(G_{+}^{-1}(x, \lambda)\right)_{12}=\int_{0}^{\infty} B_{x}(s) e^{i \lambda s} d s=e^{-i \lambda x} \int_{-\infty}^{\infty} f(s) e^{i \lambda \cdot s} d s+o(1):= \\
=-\frac{\varepsilon \bar{b}(\lambda)}{a_{+}(\lambda)} e^{-i \lambda x}\left(a_{+}(\lambda)-\Pi_{+}\left(\frac{\varepsilon|b(\lambda)|^{2}}{a_{-}(\lambda)}\right)\right)+o(1)= \\
=-\frac{\varepsilon \vec{b}(\lambda)}{a_{+}(\lambda)} e^{-i \lambda x}\left(a_{+}(\lambda)+\Pi_{+}\left(\left(1-a_{+}(\lambda)\right)+\left(\frac{1}{a_{-}(\lambda)}-1\right)\right)\right)+ \\
+o(1)=-\frac{\varepsilon \vec{b}(\lambda)}{a_{+}(\lambda)} e^{-i \lambda x}+o(1) .
\end{array}
\]

Далее, из уравнения (2.60) получаем, что при $x \rightarrow-\infty$
\[
\begin{array}{c}
\left(G_{+}^{-1}(x, \lambda)\right)_{11}=1+\int_{0}^{\infty} A_{x}(s) e^{i \lambda_{s}} d s= \\
=1+\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \beta\left(s-s^{\prime}-x\right) f_{x}\left(x+s^{\prime}\right) e^{i \lambda_{s}} d s^{\prime} d s= \\
=1+\int_{i-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \beta\left(s-s^{\prime}\right) f\left(s^{\prime}\right) e^{i \lambda s} d s^{\prime} d s+o(1)= \\
=1-\Pi_{+}\left(\frac{\varepsilon|b(\lambda)|^{2}}{a_{+}(\lambda)}\right)+o(1)=1+\Pi_{+}\left(\left(\frac{1}{a_{+}(\lambda)}-1\right)+\right. \\
\left.\quad+\left(1-a_{-}(\lambda)\right)\right)+o(1)=\frac{1}{a_{+}(\lambda)}+o(1) .
\end{array}
\]

Аналогичным образом получаем, что при $x \rightarrow+\infty$
\[
\left(G_{+}^{-1}(x, \lambda)\right)_{21}=\frac{b(\lambda)}{a_{+}(\lambda)} e^{i \lambda x}+o(1)
\]

и
\[
\left(G_{+}^{-1}(x, \lambda)\right)_{22}=\frac{1}{a_{+}(\lambda)}+o(1) .
\]

Таким образом, мы воспроизвели асимптотики (1.39) и (1.41), если отождествить $a(\lambda)$ в этих формулах с $a_{+}(\lambda)$.

Асимптотики для матрицы $G_{-}(x, \lambda)$ следуют из полученных асимптотик для матрицы $G_{+}^{-1}(x, \lambda)$ и формул (2.1), (2.13). Они совпадают с формулами (1.40) и (1.42), если отождествить $\bar{a}(\lambda)$. и $a_{-}(\lambda)$.

Таким образом, отсюда заключаем, что матрицы $G_{ \pm}(x, \lambda)$ составлены из решений Иоста $T_{ \pm}(x, \lambda)$ вспомогательной линейной задачи (2.4) по формулам (1.5), (1.6) и (1.18), (1.19), а

матрица
\[
T(\lambda)=\left(\begin{array}{ll}
a(\lambda) & \varepsilon \bar{b}(\lambda) \\
b(\lambda) & \bar{a}(\lambda)
\end{array}\right)
\]

играет для них роль приведенной матрицы монодромии.
Рассмотрим теперь при $x<0$ общий случай задачи Римана с нулями. Для простоты опять предположим, что мы имеем дело только с одной парой нулей $\lambda_{0}, \bar{\lambda}_{0}, \operatorname{Im} \lambda_{0}>0$, и одной парой подпространств $N_{0}^{( \pm)}(x)$ вида (1.47). В формулы (2.18), (2.22), (2.24) и (2.27), дающие решение задачи Римана с нулями, входит решение регулярной задачи $\widetilde{G}_{+}(x, \lambda)$ для комплексного $\lambda=$ $=\lambda_{0}$. Поэтому нам нужна асимптотика при $|x| \rightarrow \infty$ решения $\widetilde{G}_{+}(x, \lambda)$ и для комплексных $\lambda$ из верхней полуплоскости. Взгляд на приведенные выше рассуждения показывает, что все формулы остаются справедливыми и для таких $\lambda$, кроме (2.91) и (2.93), где следует заменить $\frac{\bar{b}(\lambda)}{a_{+}(\lambda)}$ и $\frac{b(\lambda)}{a_{+}(\lambda)}$ на 0 . Действительно, рассмотрим, например, предел матричного элемента $\left(G_{+}^{-1}(x, \lambda)\right)_{12}$ при $x \rightarrow-\infty$. Имеем при этом
\[
\int_{x}^{\infty} f_{x}(s) e^{i \lambda(s-x)} d x=\int_{x}^{\infty} f(s) e^{i \lambda, s-x)} d x+o(1) .
\]

Положим
\[
g(x)=\int_{x}^{\infty} f(s) e^{\left.i \lambda_{s} s-x\right)} d x=\int_{0}^{\infty} f(s+x) e^{i \lambda s} d s
\]

и покажем, что при $\operatorname{Im} \lambda>0 g(x)$ исчезает при $x \rightarrow-\infty$. Из второго равенства в (2.97) следует, что для таких $\lambda$ функция $g(x)$ является сверткой двух функций из $L_{1}(-\infty, \infty)$ и поэтому сама принадлежит $L_{1}(-\infty, \infty)$. С другой стороны, первое равенство в $(2.97)$ показывает, что $g(x)$ абсолютно непрерывна и
\[
\frac{d g(x)}{d x}=-i \lambda g(x)-f(x)
\]

так что ее производная снова принадлежит $L_{1}(-\infty, \infty)$. Поскольку функция $g(x)$ очевидно исчезает при $x \rightarrow+\infty$, то отсюда следует, что она исчезает и при $x \rightarrow-\infty$.
Таким образом, при $\operatorname{Im} \lambda>0$ имеют место асимптотики
\[
\widetilde{G}_{+}(x, \lambda)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & a_{+}(\lambda)
\end{array}\right)+o(1)
\]

при $x \rightarrow+\infty$ и
при $x \rightarrow-\infty$.
\[
\widetilde{G}_{+}(x, \lambda)=\left(\begin{array}{cc}
a_{+}(\lambda) & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)+o(1)
\]

Рассмотрим теперь проектор $P(x)$, участвующий в определении (2.22) множителя Бляшке – Потапова. Из формулы (2.27) и асимптотик (2.99),$(2.100)$ следует, что
\[
\lim _{x \rightarrow+\infty} \beta\left(x, \lambda_{0}\right)=0, \quad \lim _{x \rightarrow-\infty} \beta\left(x, \lambda_{0}\right)=\infty .
\]

Поэтому для проектора $P(x)$ имеем
\[
\lim _{x \rightarrow+\infty} P(x)=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right), \quad \lim _{x \rightarrow-\infty} P(x)=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right),
\]

откуда
\[
\lim _{x \rightarrow+\infty} B(\lambda)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & \frac{\lambda-\lambda_{0}}{\lambda-\bar{\lambda}_{0}}
\end{array}\right), \quad \lim _{x \rightarrow-\infty} B(\lambda)=\left(\begin{array}{cc}
\frac{\lambda-\lambda_{0}}{\lambda-\bar{\lambda}_{0}} & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) .
\]

Тем самым решения $G_{ \pm}(x, \lambda)$ задачи Римана с нулями имеют асимптотики при $|x| \rightarrow \infty$, совпадающие с формулами (1.39) (1.42) после замены $a(\lambda)$ на $\frac{\lambda-\lambda_{0}}{\lambda–\bar{\lambda}_{0}} a_{+}(\lambda)$ и $\bar{a}(\lambda)$ на $\frac{\lambda-\bar{\lambda}_{0}}{\lambda-\lambda_{0}} a_{-}(\lambda)$. Более того, нетрудно убедиться, что матрица $G_{+}\left(x, \lambda_{0}\right)$ составлена по формулам (1.5) и (1.19) из столбцов решений Иоста $T_{ \pm}(x, \lambda)$, которые пропорциональны и экспоненциально убывают при $|x| \rightarrow \infty$.

Это означает, что $\lambda_{0}$ является собственным значением вспомогательной линейной задачи (2.4), а $\gamma_{0}$ играет роль соответствующего коэффициента перехода дискретного спектра.

Случай нескольких пар нулей $\lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}, \operatorname{Im} \lambda_{j}>0$, и подпространств $N_{j}^{( \pm)}(x), j=1, \ldots, n$, рассматривается аналогично. При $|x| \rightarrow \infty$ множители Бляшке – Потапова, входящие в матрицу $\Pi(\lambda)$ (см. (2.28)), становятся диагональными и решения $G_{ \pm}(x, \lambda)$ задачи Римана имеют асимптотики (1.39) – (1.42), где $a(\lambda)$ дается формулой (2.6). Это завершает доказательство утверждений п. 4.

При доказательстве п. 2 мы показали, что как регулярной задаче Римана, так и задаче Римана с нулями соответствует уравнение (2.4), в котором участвуют, соответственно, матрицы $\tilde{U}_{0}(x)$ и $U_{0}(x)$ вида (2.5). Сравнение формул (2.18), (2.28), $(2.46)$ и (2.51) приводит к следующей связи матриц $U_{0}(x)$ и $\tilde{\sigma}_{0}(x)$ :

где
\[
U_{0}(x)=\widetilde{\sigma}_{0}(x)+\Delta_{0}(x),
\]
\[
\Delta_{0}(x)=\frac{1}{2}\left[\sigma_{3}, \pi(x)\right],
\]

а матрица $\pi(x)$ определяется из асимптотики множителя $\Pi(x, \lambda)$ при $|\lambda| \rightarrow \infty$
\[
\Pi(x, \lambda)=I+\frac{1}{\lambda} i \pi(x)+O\left(\frac{1}{|\lambda|^{2}}\right)
\]
и имеет вид
\[
\pi(x)=\frac{1}{i} \sum_{j=1}^{n}\left(\bar{\lambda}_{j}-\lambda_{j}\right) P_{j}(x) .
\]

Здесь $P_{j}(x)$ – ортогональные проекторы, участвующие в формуле (2.28).

Приведенные выше результаты об асимптотике $\tilde{G}_{+}(x, \lambda)$ при $|x| \rightarrow \infty$ и формулы типа (2.27) показывают, что матрица $\Delta_{0}(x)$ абсолютно интегрируема в окрестности $\pm \infty$. Кроме того, матрица $\pi(x)$, а вместе с ней и $\Delta_{0}(x)$, непрерывны по $x$. Отсюда следует, что $\Delta_{0}(x)$ принадлежит пространству $L_{1}^{(2 \times 2)}(-\infty, \infty)$. Это утверждение нам понадобится ниже.

Докажем теперь, что функции $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ принадлежат пространству $L_{1}(-\infty, \infty)$. Рассмотрим сначала регулярный случай задачи Римана и покажем, что функции $B_{x}(s)$ и $C_{x}(s)$ при каждом $s \geqslant 0$ как функции $x$ являются элементами пространства $L_{1}(-\infty, \infty)$, непрерывно зависящими от $s$.

Докажем это, например, для функции $B_{x}(s)$. Для этого покажем, что уравнение (2.61) можно рассматривать и в пространстве функций двух переменных $f(x, s)$, абсолютно интегрируемых по $x$ на всей оси и непрерывных по $s$ на полуоси $s \geqslant 0$ в указанном выше смысле.

Другими словами, это пространство представляет собой тензорное произведение $L_{1}(-\infty, \infty) \otimes C[0, \infty)$, где $C[0, \infty)$ пространство непрерывных ограниченных функций на интервале $[0, \infty)$. Норма в пространстве $L_{1}(-\infty, \infty) \otimes C[0, \infty)$ задается выражением
\[
\|f\|=\max _{0 \leq s<\infty} \int_{-\infty}^{\infty}|f(x, s)| d x .
\]

Очевидно, что свободный член в (2.61) принадлежит этому пространству. Также легко убедиться, что оператор $\mathbf{K}_{x}$ с ядром $k_{x}\left(s, s^{\prime}\right)$ является ограниченным оператором в $L_{1}(-\infty, \infty) \otimes$ $\otimes C[0, \infty)$. Действительно, из принадлежности $\beta(x)$ пространству $L_{1}(-\infty, \infty)$ выводим оценку
\[
\left|k_{x}\left(s, s^{\prime}\right)\right| \leqslant \int_{-\infty}^{\infty}\left|\beta(u-s) \beta\left(u-s^{\prime}\right)\right| d u=\tilde{k}\left(s-s^{\prime}\right),
\]

где
\[
K=\int_{-\infty}^{\infty}|\tilde{k}(s)| d s<\infty .
\]

Отсюда следует, что
\[
\left\|\mathbf{K}_{x} f\right\| \leqslant K \cdot\|f\|
\]

где $f(x, s)$ – произвольный элемент $L_{1}(-\infty, \infty) \otimes C[0, \infty)$. Далее, используя предсгавление (2.64) для ядра $k_{x}\left(s, s^{\prime}\right)$, легко показать, что $\int_{-\infty}^{\infty}\left(\mathbf{K}_{x} f\right)(x, s) d x$ является непрерывной функцией $s$.

Отсюда уже нетрудно получить, что оператор $\mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{K}_{x}$ однозначно обратим в пространстве $L_{1}(-\infty, \infty) \otimes C[0, \infty)$. Действительно, приведенные ранее результаты можно трактовать как существование оператора $\left(\mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{K}_{x}\right)^{\mathbf{- 1}}$ в пространстве функций $C(-\infty, \infty) \otimes L_{1}(0, \infty)$ с естественным определением нормы
\[
\|g\|=\max _{-\infty<x<\infty} \int_{0}^{\infty}|g(x, s)| d s .
\]

Пространство $L_{1}(-\infty, \infty) \otimes C[0, \infty)$ «почти» сопряжено этому пространству, а оператор $\mathbf{K}_{x}$, как это видно из (2.64), является формально самосопряженным. Это позволяет утверждать, что оператор $\left(\mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{K}_{x}\right)^{-1}$ существует и ограничен і в $L_{1}(-\infty, \infty) \otimes C[0, \infty)$. Более строго мы можем повторить доказательство обратимости оператора $\mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{K}_{x}$, отправляясь от теории Гохберга – Крейна в пространстве $C[0, \infty)$ вместо $L_{1}(0, \infty)$.

На основании формул (2.66) отсюда заключаем, что в регулярном случае задачи Римана функции $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ прннадлежат $L_{1}(-\infty, \infty)$. Для рассмотрения случая задачи Рімана с нулями следует использовать представление (2.104) и сделанное выше замечание об абсолютной интегрируемости матрнцы $\Delta_{0}(x)$.

Докажем теперь, что функции $F_{ \pm}(x, \lambda)$ абсолютно непрерывны по $x$, и оправдаем вывод дифференциального уравнения (2.4) в п. 2. Предположим сначала, что функция $\beta(x)$ имеет две пронзводные из $L_{1}(-\infty, \infty)$. Тогда нетрудно убедиться, что матрица $\Omega_{+}(x, s)$ – решение уравнения (2.53) – дифференцируема по $x$ и $s$ и $\frac{\partial \Omega_{+}}{\partial x}, \frac{\partial \Omega_{+}}{\partial s}, \frac{\partial^{2} \Omega_{+}}{\partial x \partial s}$ как функции $s$ принадлежат по $s$ пространству $L_{1}^{(2 \times 2)}(-\infty, \infty)$. Отсюда, как показано в п. 2 , следует, что матрицы $F_{ \pm}(x, \lambda)$ абсолютно непрерывны по $x$ и удовлетворяют дифференциальному уравнению (2.4). Для рассмотрения общего случая достаточно приблизить функцию $\beta(x)$ в $L_{1}(-\infty, \infty)$ функциями $\beta_{n}(x)$ с указанными выше свойствами. Тогда построенные по ним матрицы $U_{0}^{(n)}(x)$ будут сходиться при $n \rightarrow \infty$ в норме $L_{1}^{(2 \times 2)}(-\infty, \infty)$ к матрице $U_{0}(x)$, а матрицы $F_{ \pm}^{(n)}(x, \lambda)$ будут удовлетворять дифференциальному уравнению типа (2.4)
\[
\frac{d F_{ \pm}^{(n)}}{d x}(x, \lambda)=\left(-\frac{\lambda}{2 i} \sigma_{3}+U_{0}^{(n)}(x)\right) F_{ \pm}^{(n)}(x, \lambda)
\]

и при фиксированном $\lambda$ сходиться в норме $C^{(2 \times 2)}(-\infty, \infty)$ к матрицам $F_{ \pm}(x, \lambda)$. В силу замкнутости оператора дифференцирования отсюда следует, что матрицы $F_{ \pm}(x, \lambda)$ абсолютно непрерывны и удовлетворяют уравнению (2.4) вспомогательной линейной задачи.

Итак, мы доказали все утверждения, сформулированные в начале этого параграфа в п. 1-4. Здесь мы сделаем два замечания.
1) Все рассуждения были проведены в наиболее общем случае, когда функции $\psi(x), \vec{\psi}(x)$ были из пространства $L_{1}(-\infty, \infty)$, а коэффициент $b(\lambda)$ представлялся как преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функции. Исследование задачи Римана и связи $b(\lambda)$ с $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ можно провести и в других функциональных классах. В частности, особенно просто исследуется случай, когда $b(\lambda)$ является функцией типа Шварца. При этом функции $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ также являются функциями типа Шварца.
2) Функции $b(\lambda), \bar{b}(\lambda)$ и набор чисел $\lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j} ; \gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j}, j=1, \ldots, n$, входят в исходные данные задачи Римана независимым образом. Поэтому можно рассмотреть случай, когда $b(\lambda), \bar{b}(\lambda)$ тождественно исчезают, т. е. $G(\lambda)=I$. При этом задача нахождения параметров матричных множителей Бляшке – Потапова в (2.28) сводится к системе линейных алгебраических уравнений, которая будет явно приведена и решена в § 5. Соответствующая вспомогательная линейная задача (2.4) называется безотражательной, так как при этом один из коэффициентов перехода $b(\lambda)$ – исчезает, а второй – $a(\lambda)$ – представляет собой пронзведение элементарных множителей Бляшке. Именно такие функции $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ отвечают чисто солитонным решениям уравнения НIII и будут подробно рассмотрены в § 5 .

На этом исследование задачи Римана в быстроубывающем случае заканчивается. В следующем параграфе мы рассмотрим следствия этого исследования применительно к модели НШ.