Солитонные решения модели МГ отвечают случаю
\[
b(\lambda)=0 .
\]

Для таких данных как задача Римана, так и уравнения Гельфанда – Левитана – Марченко сводятся к линейным алгебраическим уравнениям и решаются явно. Приведем соответствующие результаты, основываясь на задаче Римана (2.21), в которой теперь
\[
G(x, \lambda)=I \text {. }
\]

Рассмотрим сначала случай $n=1$, когда имеется одна пара нулей $\lambda_{0}, \bar{\lambda}_{0}, \operatorname{Im} \lambda_{0}>0$, и чисел $\gamma_{0}, \bar{\gamma}_{0}, \gamma_{0}
eq 0$. Решение задачи Римана дается формулами
\[
\begin{array}{l}
G_{+}(x, \lambda)=B(x, \lambda) B^{-1}(x, 0), \\
G_{-}(x, \lambda)=B(x, 0) B^{-1}(x, \lambda),
\end{array}
\]

где $B(x, \lambda)$ – матричный множитель Бляшке- Потапова, введенный в § II. 2 части I:
\[
B(x, \lambda)=I+\frac{\bar{\lambda}_{0}-\lambda_{0}}{\lambda-\bar{\lambda}_{0}} P(x),
\]

а $P(x)$ – проектор
\[
P(x)=\frac{1}{1+\left|\gamma_{0}(x)\right|^{2}}\left(\begin{array}{cc}
\left|\gamma_{0}(x)\right|^{2} & \overline{\gamma_{0}}(x) \\
\gamma_{0}(x) & 1
\end{array}\right)
\]

и $\gamma_{0}(x)=e^{i \lambda_{0} x} \gamma_{0}^{*}$. Соответствующая матрица $S(x)$ выглядит следующим образом:
\[
S(x)=B(x, 0) \sigma_{3} B^{-1}(x, 0) .
\]

Таким образом, для компонент вектора $\vec{S}(x)=\left(S_{1}(x), S_{2}(x)\right.$, $S_{3}(x)$ ) имеем выражение
\[
\begin{array}{c}
S_{3}(x)=1-\frac{8\left(\operatorname{Im} \lambda_{0}\right)^{2}\left|\gamma_{0}(x)\right|^{2}}{\left|\lambda_{0}\right|^{2}\left(1+\left|\gamma_{0}(x)\right|^{2}\right)^{2}}, \\
S_{+}(x)=\frac{S_{1}(x)+i S_{2}(x)}{2}=\frac{\gamma_{0}(x)}{\left|\lambda_{0}\right|^{2}} \frac{\left(\left|\lambda_{0}\right|^{2}\left|\gamma_{0}(x)\right|^{2}-\left|\lambda_{0}\right|^{2}+\lambda_{0}^{2}-\bar{\lambda}_{0}^{2}\left|\gamma_{0}(x)\right|^{2}\right)}{\left(1+\left|\gamma_{0}(x)\right|^{2}\right)^{2}}, \\
S_{-}(x)=\frac{S_{1}(x)-i S_{2}(x)}{2}=\bar{S}_{+}(x) .
\end{array}
\]

Рассмотрим эволюцию полученной матрицы $S(x)$ по уравнению МГ. Для этого, в соответствии с формулами (1.65), $\gamma_{0}(x)$ следует заменить на $\gamma_{0}(x, t)$ :
\[
\gamma_{0}(x, t)=e^{-i \lambda \lambda_{0} t} \gamma_{0}(x) .
\]

Вводя обозначения
\[
\begin{array}{c}
u=2 \operatorname{Im} \lambda_{0}, \quad v=2 \operatorname{Re} \lambda_{0}, \\
x_{0}=\frac{1}{\operatorname{Im} \lambda_{0}} \ln \left|\gamma_{0}\right|, \varphi_{0}=\arg \gamma_{0},
\end{array}
\]

перепишем (2.78)-(2.79) следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
S_{3}(x, t)=1-\frac{2 u^{2}}{\left(u^{2}+v^{2}\right) \operatorname{ch}^{2}\left\{\frac{u}{2}\left(x-v t-x_{0}\right)\right\}}, \\
S_{+}(x, t)=\frac{u e^{i\left(\varphi_{0}+\frac{v x}{2}+\frac{\left(u^{2}-v^{2}\right)}{4} t\right)}}{\left(u^{2}+v^{2}\right) \operatorname{ch}^{2}\left\{\frac{u}{2}\left(x-v t-x_{0}\right)\right\}} \times \\
\times\left(-u \operatorname{sh}\left\{\frac{u}{2}\left(x-v t-x_{0}\right)\right\}+i v \operatorname{ch}\left\{\frac{u}{2}\left(x-v t-x_{0}\right)\right\}\right), \\
S_{-}(x, t)=\bar{S}_{+}(x, t) .
\end{array}
\]
Эти формулы показывают, что решение $\vec{S}(x, t)$ представляет собой уединенную волну, локализованную вдоль направления
\[
x(t)=x_{0}+v t,
\]

центр которой движется с постоянной скоростью $v$. Согласно определению, данному в § II. 5 части I, такое решение следует называть солитоном модели МГ. Солитон $\vec{S}(x, t)$ характеризуется четырьмя вещественными параметрами: скоростью $v$, координатой начального центра инерции $x_{0}$, начальной фазой $\varphi_{0}$ и амплитудой $A$ компоненты $S_{3}(x, t)$
\[
A=\frac{v^{2}-u^{2}}{u^{2}+v^{2}} .
\]

Помимо поступательного движения, решение $\vec{S}(x, t)$ осциллирует по $x$ и $t$ с частотами $v / 2$ и ( $\left.u^{2}-v^{2}\right) / 4$ соответственно.

Перейдем теперь к общему случаю $n$ пар нулей $\lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}, \operatorname{Im} \lambda_{j}>0$, и чисел $\gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j}, \gamma_{j}
eq 0, j=1, \ldots, n$. Решение задачи Римана имеет вид
\[
\begin{array}{l}
G_{+}(x, \lambda)=\Pi(x, \lambda) \Pi^{-1}(x, 0), \\
G_{-}(x, \lambda)=\Pi(x, 0) \Pi^{-1}(x, \lambda),
\end{array}
\]

где $\Pi(x, \lambda)$ – упорядоченное произведение множителей Бляшке – Потапова:
\[
\begin{array}{c}
\Pi(x, \lambda)=\prod_{j=1}^{n} B_{j}(x, \lambda), \\
B_{j}(x, \lambda)=I+\frac{\bar{\lambda}_{j}-\lambda_{j}}{\lambda-\bar{\lambda}_{j}} P_{j}(x),
\end{array}
\]

а проекторы $P_{j}(x)$ однозначно определяются по набору чисел $\gamma_{l}(x)=e^{i \lambda_{l} x} \gamma_{l}, \quad l=1, \ldots, n$. Процедура их вычисления была приведена в § II. 2 и II. 5 части I.
Матрица $S(x)$ дается формулой
\[
S(x)=\Pi(x, 0) \sigma_{3} \Pi^{-1}(x, 0),
\]

где матрица $\Pi(x, 0)$ унитарна и удовлетворяет условию
\[
\operatorname{det} \Pi(x, 0)=\bar{\omega}_{0}=\prod_{j=1}^{n} \frac{\lambda_{j}}{\bar{\lambda}_{j}}
\]
(см. § II. 5 части I). Вводя обозначение
\[
\Pi(x, 0)=\left(\begin{array}{ll}
A(x) & B(x) \\
C(x) & D(x)
\end{array}\right),
\]

для компонент вектора $\vec{S}(x)$ имеем
\[
S_{3}=\omega_{0}(A D+B C), \quad S_{+}=\omega_{0} C D, \quad S_{-}=\bar{S}_{+}=-\omega_{0} A B .
\]

В отличие от модели НШ, мы не будем приводить здесь более явные формулы для матрицы $S(x)$. Вместо этого сразу перейдем к описанию ее временно́й динамики. С этой целью, в соответствии с формулами (1.65), заменим $\gamma_{j}(x)$ на $\gamma_{j}(x, t)$ :
\[
\gamma_{j}(x, t)=e^{-i \lambda_{i}^{2} t} \gamma_{j}(x), \quad j=1, \ldots, n .
\]

Получающееся выражение $S(x, t)$ называется $n$-солитонным решением. При $t \rightarrow \pm \infty$ в ситуации общего положения оно распадается в сумму пространственно разделенных солитонов:
\[
\vec{S}(x, t)=\sum_{j=1}^{n} \vec{S}_{j}^{( \pm)}(x, t)-(n-1) \vec{S}_{0}+O\left(e^{-c|t|}\right) .
\]

Здесь $\vec{S}_{j}^{( \pm)}(x, t)$ – солитоны с параметрами $u_{j}, v_{j}, x_{0 j}^{( \pm)}, \varphi_{0 j}^{( \pm)}$, определяемыми формулами (2.81) по данным $\lambda_{j}, \gamma_{j}^{( \pm)}$, где
\[
\gamma_{j}^{(+)}=\gamma_{j} \prod_{v_{k}<v_{j}} \frac{\lambda_{k}}{\bar{\lambda}_{k}} \cdot \frac{\lambda_{j}-\bar{\lambda}_{k}}{\lambda_{j}-\lambda_{k}} \prod_{v_{k}>v_{j}} \frac{\bar{\lambda}_{k}}{\lambda_{k}} \cdot \frac{\lambda_{j}-\lambda_{k}}{\lambda_{j}-\bar{\lambda}_{k}}
\]

и
\[
\gamma_{i}^{(-)}=\gamma_{i} \prod_{v_{k}<v_{j}} \frac{\bar{\lambda}_{k}}{\lambda_{k}} \cdot \frac{\lambda_{j}-\lambda_{k}}{\lambda_{j}-\bar{\lambda}_{k}} \prod_{v_{k}>v_{j}} \frac{\lambda_{k}}{\bar{\lambda}_{k}} \cdot \frac{\lambda_{j}-\bar{\lambda}_{k}}{\lambda_{j}-\lambda_{k}},
\]
a $c=\frac{1}{2} \min u_{j} \min _{j
eq k}\left|v_{j}-v_{k}\right|$ и $\overrightarrow{S_{0}}=(0,0,1)$. Ситуация общего положения означает, что все скорости $v_{j}$ различны. Для доказательства этих формул достаточно воспользоваться результатами § II. 5 части I. Действительно, там было показано, что при $t \rightarrow \pm \infty$ на траектории $C_{j}$
\[
x-v_{j} t=\text { const }
\]

матрица $\Pi(x, t, \lambda)$ имеет асимптотику
\[
\Pi(x, t, \lambda)=\left(\begin{array}{cc}
\prod_{ \pm\left(v_{k}-v_{j}\right)>0} \frac{\lambda-\lambda_{k}}{\lambda-\bar{\lambda}_{k}} & 0 \\
0 & \prod_{ \pm\left(v_{k}-v_{j}\right)<0} \frac{\lambda-\lambda_{k}}{\lambda-\bar{\lambda}_{k}}
\end{array}\right) \widetilde{B}_{j}^{( \pm)}(x, t, \lambda)+O\left(e^{-c|t|}\right),
\]

где множитель Бляшке – Потапова $\overparen{B}_{j}^{( \pm)}(x, t, \lambda)$ определяется по параметрам $\lambda_{3}, \tilde{\gamma}_{j}^{( \pm)}$
\[
\tilde{\gamma}_{j}^{( \pm)}=\gamma_{j} \prod_{ \pm\left(v_{j}-v_{k}\right)>0} \frac{\lambda_{j}-\bar{\lambda}_{k}}{\lambda_{i}-\lambda_{k}} \prod_{\left(v_{j}-v_{k}\right)<0} \frac{\lambda_{j}-\lambda_{k}}{\lambda_{j}-\bar{\lambda}_{k}},
\]

а на траекториях, отличных от $C_{j}, j=1, \ldots, n$, матрица $\Pi(x, t, \lambda)$ диагональна с точностью до $O\left(e^{-\mathrm{c|t} t}\right)$. Полагая в $(2.99) \quad \lambda=0$, получаем искомые формулы (2.95) – (2.97).

Полученные формулы описывают теорию рассеяния солитонов модели $М Г$.

В процессе рассеяния меняются только координаты центров и фаз солитонов
\[
x_{j j}^{(+)}=x_{0 j}^{-)}+\Delta x_{j j}, \quad \varphi_{0 j}^{(+)}=\varphi_{0 j}^{(-)}+\Delta \varphi_{j j},
\]

где
\[
\Delta x_{j i}=\frac{2}{\operatorname{Im} \lambda_{j}}\left(\sum_{v_{k}<v_{j}} \ln \left|\frac{\lambda_{j}-\bar{\lambda}_{k}}{\lambda_{j}-\lambda_{k}}\right|-\sum_{v_{k}>v_{j}} \ln \left|\frac{\lambda_{j}-\bar{\lambda}_{k}}{\lambda_{i}-\lambda_{k}}\right|\right)
\]

и
\[
\begin{aligned}
\Delta \varphi_{0 j}=2\left(\sum_{v_{k}<v_{j}}(\right. & \left(\arg \frac{\lambda_{j}-\bar{\lambda}_{k}}{\lambda_{j}-\lambda_{k}}+2 \arg \lambda_{k}\right)- \\
& \left.-\sum_{v_{k}>v_{j}}\left(\arg \frac{\lambda_{j}-\bar{\lambda}_{k}}{\lambda_{j}-\lambda_{k}}+2 \arg \lambda_{k}\right)\right)(\bmod 2 \pi) .
\end{aligned}
\]

Эти формулы отличаются от соответствующих выражений для модели НШ в § II. 5 части I наличием дополнительных слагаемых $\pm 2 \arg \lambda_{k}$. Их интерпретация совершенно аналогична таковой для модели НШ в быстроубывающем случае.