1) Представление нулевой кривизны (2.10) является альтернативным к представлению Лакса (см. Введение), которое использовалось на первом этапе развития метода обратной задачи. В отработке представления нулевой кривизны важную роль сыграли работы [1.4], [1.5], [1.10], [1.12]. В нашем

тексте мы отдаем предпочтение этому представлению, поскольку оно имеет чет-: кий геометрический смысл, акцентированный в работе [1.6].
2) Уравнение НШ с различными граничными условиями моделирует широкий класс нелинейных явлений в физике. Мы уже упоминали его приложение в нелинейной оптике; оно также встречается в физике плазмы. Здесь же мы отметим его роль как уравнения Хартри – Фока для квантовой системы многих частиц (бозе-газа) с парным взаимодействием, задаваемым при помощи потенциала $2 x \delta(x-y)$. Знак константы связи $x$ отвечает притяжению $(x<0)$ и отталкиванию $(x>0)$ частиц. В случае притяжения физический смысл имеет задача о конечном числе частиц и их связанных состояний. В классическом пределе это моделируется быстроубывающими граничными условиями. В случае отталкивания интерес представляет задача, соответствующая газу частиц с конечной плотностью. Граничные условия, которые мы назвали условиями конечной птотности, моделируют эту ситуацию.

Первое погруженне модели НШ в рамки метода обратной задачи дано в работах [1.2], [1.3].
3) Интегральные представления (3.32) и (3.33) для матрицы перехода представляют собой вариант формул М. Г. Крейна [1.7]. Более традиционными являются треугольные представления (5.10) и (5.16) для решений Иоста. На примере задачи на собственные значения для одномерного оператора Шредингера
\[
-\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+u(x) y=\lambda y
\]

с потенциалом $u(x)$, удовлетворяющим условию
\[
\int_{-\infty}^{\infty}(1+|x|)|u(x)| d x<\infty,
\]

они были введены Б. Я. Левиным [1.8] и широко использовались В. А. Марченко (см. итоговую монографию [1.9]). Наш вывод этих представлений в §5 отлнчается от традиционного, которому мы следуем в §8 для случая конечной плотности.
4) Рассуждения в $\S 5-6$ представляют собой вариант квантовой теории рассеяния для оператора $\mathscr{L}$ (см. (5.24)), имеющего квантовомеханический смысл оператора Дирака с нулевой массой. В контексте метода обратной задачи этот оператор иногда называют оператором Захарова-Шабата.
5) Оператор $\mathscr{L}$ в случае граничных условий конечной плотности фактически совпадает с оператором Дирака с ненулевой массой. Теория рассеяния для него более близка к теории рассеяния для одномерного оператора Шредингера (11.1), поскольку в обоих случаях непрерывный спектр имеет край. Ми+ нимальные условия на функции $\psi(x), \bar{\psi}(x)$, при которых проходит общий формализм теории рассеяния, более жесткне, чем в быстроубывающем случае. Так, абсолютно интегрируемыми в окрестности $\pm \infty$ должны быть не просто убывающие части функции $\psi(x): \psi(x)-\rho e^{i \varphi \pm}$, но и их первые моменты (сравни с (11.2)) [1.13]. Обратная задача изучалась в работах [1.1] и [1.11]; при этом в работе [1.11] было пропущено условие ( $\theta$ ).