Он также основан на формуле (2.1), которая теперь переписывается в виде равенств
\[
\frac{1}{\lambda a(\lambda)} T_{-}^{(1)}(x, \lambda)=\frac{1}{\lambda} T_{+}^{(1)}(x, \lambda)+\frac{r(\lambda)}{\lambda} T_{+}^{(2)}(x, \lambda)
\]

и
\[
\frac{1}{\lambda \boldsymbol{a}(\lambda)} T_{+}^{(2)}(x, \lambda)=\frac{\tilde{r}(\lambda)}{\lambda} T_{-}^{(1)}(x, \lambda)+\frac{1}{\lambda} T_{-}^{(3)}(x, \lambda),
\]

где
\[
r(\lambda)=\frac{b(\lambda)}{a(\lambda)}, \quad \tilde{r}(\lambda)=\frac{\bar{b}(\lambda)}{a(\lambda)} .
\]

Переходя в этих соотношениях к преобразованию Фурье и используя интегральные представления (1.23) — (1.24), свойства аналитичности решений Иоста и инволюции для ядер $\Gamma_{ \pm}(x, y)$
\[
\bar{\Gamma}_{ \pm}(x, y)=-\sigma_{2} \Gamma_{ \pm}(x, y) \sigma_{2},
\]

получаем интегральные уравнения Гельфанда — ЛевитанаМарченко для правого и левого концов:
\[
\Gamma_{+}(x, y)+\sigma_{3} K(x+y)+\int_{x}^{\infty} \Gamma_{+}(x, z) K^{\prime}(z+y) d z=0
\]

и
\[
\Gamma_{-}(x, y)+\sigma_{3} \widetilde{K}(x+y)+\int_{-\infty}^{x} \Gamma_{-}(x, z) \widetilde{K}^{\prime}(z+y) d z=0 .
\]

Здесь штрих обозначает производную по аргументу, а матрицы $K(x)$ и $\widetilde{K}(x)$ антидиагональны и имеют вид
\[
K(x)=\left(\begin{array}{cc}
0 & -\bar{k}(x) \\
k(x) & 0
\end{array}\right), \quad \widetilde{K}(x)=\left(\begin{array}{cc}
0 & \widetilde{k}(x) \\
-\widetilde{\widetilde{k}}(x) & 0
\end{array}\right),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
k(x)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{r(\lambda)}{\lambda} e^{i \lambda x / 2} d \lambda-\sum_{j=1}^{n} \frac{m_{i}}{\lambda_{j}} e^{i \lambda_{j} x / 2}, \\
\widetilde{k}(x)=-\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\tilde{r}(\lambda)}{\lambda} e^{-i \lambda x / 2} d \lambda+\sum_{j=1}^{n} \frac{\widetilde{m}_{j}}{\lambda_{j}} e^{-i \lambda_{j} x / 2},
\end{array}
\]
a
\[
m_{j}=\frac{\gamma_{j}}{\dot{a}\left(\lambda_{j}\right)}, \quad \tilde{m}_{j}=\frac{1}{\gamma_{j} \dot{a}\left(\lambda_{j}\right)}, \quad j=1, \ldots, n,
\]

и точка означает производную по $\lambda$. Сходимость интегралов в окрестности $\lambda=0$ в этих формулах обеспечивается условием $(2.20)$.

Отметим, поскольку функции $\Omega_{ \pm}(x)$ уже использовались нами в п. 1, то мы обозначаем ядра уравнений Гельфанда — Јевитана — Марченко буквами $K(x), \widetilde{K}(x)$.
Имеют место формулы связи
\[
\frac{d K^{\mathrm{Mr}}(x)}{d x}=\Omega_{0}^{-1} K^{\mathrm{H} \amalg}(x) \Omega_{0}
\]

и
\[
\frac{d \widetilde{K}^{\mathrm{Mr}}(x)}{d x}=\widetilde{K}^{\mathrm{H}}(x),
\]

где, конечно, матрицы $K^{\text {ншा }}(x)$ и $\widetilde{K}^{\text {ншा }}(x)$ совпадают соответственно с матрицами $\Omega(x)$ и $\widetilde{\Omega}(x)$ из формул (II.4.18) и (II.4.22) части I.
Матрица $S(x)$ выражается через ядра $\Gamma_{ \pm}(x, y)$ по формуле
\[
S(x)=B_{ \pm}(x) \sigma_{3} B_{ \pm}^{-1}(x),
\]

где
\[
B_{ \pm}(x)=I \mp \Gamma_{ \pm}(x, x) \sigma_{s} .
\]

Опишем теперь процедуру решения обратной задачи.
Исходными данными являются функции $r(\lambda), \tilde{r}(\lambda)$ и набор чисел $\left\{\lambda_{j} ; m_{j}, \widetilde{m}_{j}, j=1, \ldots, n\right\}$, удовлетворяющие следующим условиям.
I. Функции $r(\lambda), \tilde{r}(\lambda)$ являются функциями типа Шварца, удовлетворяют условию
\[
r(0)=\tilde{r}(0)=0
\]

и соотношению
\[
|r(\lambda)|=|\tilde{r}(\lambda)| .
\]
II. Имеет место формула связи
\[
\frac{\tilde{r}(\lambda)}{\bar{r}(\lambda)}=\frac{\bar{a}(\lambda)}{a(\lambda)},
\]

где функция а $(\lambda)$ дается выражением
\[
a(\lambda)=\omega_{0} \prod_{j=1}^{n} \frac{\lambda-\lambda_{j}}{\lambda-\bar{\lambda}_{i}} \exp \left\{\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln \left(1+|r(\mu)|^{2}\right)}{\lambda-\mu+i 0} d \mu\right\}
\]
$u$
\[
\omega_{0}=\prod_{j=1}^{n} \frac{\bar{\lambda}_{j}}{\lambda_{j}} \exp \left\{\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln \left(1+|r(\lambda)|^{2}\right)}{\lambda} d \lambda\right\} .
\]
III. Попарно неравные числа $\lambda_{j}$ удовлетворяют условию $\operatorname{Im} \lambda_{j}>0$, в величины $m_{j} и \widetilde{m}_{j}$ удовлетворяют соотношениям
\[
m_{j} \tilde{m}_{j}=\frac{1}{\dot{a}^{2}\left(\lambda_{j}\right)}, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Построим по этим данным ядра $K(x), \widetilde{K}(x)$ и рассмотрим интегральные уравнения (2.41) — (2.42). Справедливы следующие утверждения.

I’. Уравнения (2.41) и (2.42) однозначно разрешимы в пространствах $L_{1}^{(2 \times 2)}(x, \infty)$ и $L_{1}^{(2 \times 2)}(-\infty, x)$ соответственно. Их решения — матрицы $\Gamma_{ \pm}(x, y)$ — удовлетворяют инволюции (2.40) и являются функциями типа Шварца при $x, y \rightarrow \pm \infty$.

II’. Построенные по $^{\prime} \Gamma_{ \pm}(x, y)$ с помощью формул (1.23)(1.24) матрицы $T_{ \pm}(x, \lambda)$ удовлетворяют дифференциальным уравнениям
\[
\frac{d}{d x} T_{ \pm}(x, \lambda)=\frac{\lambda}{2 i} S_{ \pm}(x) T_{ \pm}(x, \lambda),
\]

где матрицы $S_{ \pm}(x)$ даются формулами (2.49)-(2.50).
III’. Матрицы $S_{ \pm}(x)$ эрмитовы, удовлетворяют условиям
\[
\operatorname{tr} S_{ \pm}(x)=0, \quad S_{ \pm}^{2}(x)=I
\]
$u$
\[
\lim _{x \rightarrow \pm \infty} S_{ \pm}(x)=\sigma_{3},
\]

где предельные значения принимаются в смысле Шварца.
IV’. Имеет место формула согласования
\[
S_{+}(x)=S_{-}(x)=S(x) .
\]

$\mathrm{V}^{\prime}$. Функции $a(\lambda)$ и $b(\lambda)=a(\lambda) r(\lambda)$ являются коэффициентами перехода вспомогательной линейной задачи (2.57). Дискретный спектр этой задачи состоит из собственных значений $\lambda_{j}, \overrightarrow{\lambda_{j}}$ с коэффициентами перехода $\gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j}$, где $\gamma_{j}=m_{j} \dot{a}\left(\lambda_{j}\right), j=1, \ldots, n$. Доказательство этих утверждений проводится по схеме из § II. 7 части I. Поэтому мы ограничимся доказательством утверждения пункта II $^{\prime}$ и свойства унитарности матриц $B_{ \pm}(x)$, которые являются специфическими для модели МГ.

Рассмотрим, для определенности, уравнения (2.42) и продифференцируем его по $x$. Используя формулы (2.47) и (2.50), по. лучаем
\[
\frac{\partial \Gamma_{-}^{\mathrm{M \Gamma}}(x, y)}{\partial x}+B_{-}(x) \sigma_{3} \widetilde{K}^{\mathrm{HW}}(x+y)+\int_{-\infty}^{x} \frac{\partial \Gamma_{-}^{\mathrm{M \Gamma}}(x, z)}{\partial x} \widetilde{K}^{\mathrm{HW}}(z+y) d z=0 .
\]

Сравнивая (2.61) с уравнением для ядра $\Gamma_{-}^{\mathrm{HU}}(x, y)$
\[
\Gamma_{-}^{\mathrm{H}}(x, y)+\widetilde{K}^{\mathrm{HШ}}(x+y)+\int_{-\infty}^{x} \Gamma_{-}^{\mathrm{H}}(x, z) \widetilde{K}^{\mathrm{H}}(z+y) d z=0
\]
(см. § II. 4 части I), убеждаемся, что
\[
\frac{\partial \Gamma_{-}^{\mathrm{M \Gamma}}(x, y)}{\partial x}=B_{-}(x) \sigma_{3} \Gamma_{-}^{\mathrm{H}}(x, y) .
\]

Дифференцируя (2.42) по $y$ и интегрируя в получившемся равенстве по частям, приходим к уравнению
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \Gamma_{-}^{\mathrm{M \Gamma}}(x, y)}{\partial y} \sigma_{3}-B_{-}(x) \widetilde{K}^{\mathrm{HU}}(x+y)+ \\
+\int_{-\infty}^{x} \frac{\partial \Gamma_{-}^{\mathrm{M} \Gamma}(x, z)}{\partial z} \sigma_{3} \widetilde{K}^{\mathrm{H} \amalg}(z+y) d z=0 .
\end{array}
\]

Сравнивая его с (2.62), получаем
\[
\frac{\partial \Gamma_{-}^{\mathrm{M} \Gamma}(x, y)}{\partial y} \sigma_{3}=-B_{-}(x) \Gamma_{-}^{\mathrm{HW}}(x, y) .
\]

Таким образом, матрица $\Gamma_{-}^{\text {МГ }}(x, y)$ удовлетворяет переопределенной системе уравнений (2.63) и (2.65). Условие совместности для нее имеет вид
\[
B_{-}(x) \sigma_{3} \frac{\partial \Gamma_{-}^{H \amalg}(x, y)}{\partial y}=-\frac{d B_{-}(x)}{d x} \Gamma_{-}^{\mathrm{HW}}(x, y) \sigma_{3}-B_{-}(x) \frac{\partial \Gamma_{-}^{\mathrm{HW}}(x, y)}{\partial x} \sigma_{3} \text {. }
\]

Сравним его с уравнением для матрицы $\Gamma_{-}^{\text {нШ }}(x, y)$
\[
\frac{\partial \Gamma_{-}^{\mathrm{HW}}(x, y)}{\partial x}+\sigma_{3} \frac{\partial \Gamma_{-}^{\mathrm{H} \amalg}(x, y)}{\partial y} \sigma_{3}-U_{0}(x) \Gamma_{-}^{\mathrm{H}}(x, y)=0,
\]

где
\[
U_{0}(x)=\Gamma_{-}^{\mathrm{H}}(x, x)-\sigma_{3} \Gamma_{-}^{\mathrm{HW}}(x, x) \sigma_{3}
\]

и имеет вид (1.8) (см. § II. 8 части I, где следует положить $\left.U_{-}=0\right)$. Поскольку матрица $\Gamma_{-}^{\text {НШ }}(x, y)$ не может быть вырожденной при всех $y \leqslant x$ (иначе в силу инволюции $\bar{\Gamma}_{-}=\sigma_{2} \Gamma_{-} \sigma_{2}$ она исчезала бы тождественно), то в результате сравнения формул (2.66) и (2.67) приходим к дифференциальному уравнению для матрицы $B_{-}(x)$ :
\[
\frac{d B_{-}(x)}{d x}=-B_{-}(x) U_{0}(x) .
\]

Свойство унитарности матрицы $B_{-}(x)$ следует теперь из антиэрмитовости матрицы $U_{0}(x)$ и условия нормировки
\[
\lim _{x \rightarrow-\infty} B_{-}(x)=I \text {, }
\]

вытекающего из (2.50).
Для вывода уравнения (2.57) достаточно заметить, что из уравнений (2.63) и (2.65) следует дифференциальное уравнение (1.25) для матрицы $\Gamma_{-}^{\mathrm{M \Gamma}}(x, y)$, которое и обеспечивает справедливость (2.57).
Случай матрицы $\Gamma_{+}^{\text {Mг }}(x, y)$ рассматривается аналогично.
На этом описание двух вариантов построения отображения $\mathscr{F}^{-1}$ заканчивается.