Мы начнем с описания асимптотического разложения матрицы перехода $T(x,y,\lambda )$ при $|\lambda |\to \mathrm{\infty }$. Представим ее в виде
$$T(x,y,\lambda )=(I+W(x,\lambda ))\exp Z(x,y,\lambda )(I+W(y,\lambda ){)}^{-1},$$

где матрица $W(x,\lambda )$ антидиагональна, а матрица $Z(x,y,\lambda )$ диагональна и удовлетворяет условию
$${Z(x,y,\lambda )|}_{x=y}=0.$$

Здесь и ниже в асимптотических разложениях мы зачастую будем опускать члены вида $O\left(|\lambda {|}^{-\mathrm{\infty }}\right)$, определенные в § I. 3 части I. Подставляя разложение (1.67) в (1.1) и отделяя диагональную и антидиагональную части, приходим к дифференциальному уравнению типа Риккати для матрицы $W(x,\lambda )$
$$\frac{dW}{dx}+i\lambda S_3{\sigma }_{3}W+\frac{i\lambda }{2}(S_1{\sigma }_1+S_2{\sigma }_2)-\frac{i\lambda }{2}W(S_1{\sigma }_1+S_2{\sigma }_2)W=0.$$

Матрица $Z(x,y,\lambda )$ дается формулой
$$Z(x,y,\lambda )=-\frac{i\lambda }{2}{\int }_y^x(S_3\left(x^{\prime }\right){\sigma }_3+(S_1\left(x^{\prime }\right){\sigma }_1+S_2\left(x^{\prime }\right){\sigma }_2)W(x^{\prime },\lambda ))d{x}^{\prime }.$$

Отличие нашего случая от модели НШ состоит в том, что в асимптотическом разложении для матрицы $W(x,\lambda )$ по степе-

ням ${\lambda }^{-1}$ присутствует и постоянный член. Действительно, формула связи (1.14) показывает, что он образуется из антидиагональной части матрицы $\mathrm{\Omega }(x)$. Разложение матрицы $Z(x,y,\lambda )$ начинается со слагаемого $\frac{\lambda }{2i}(x-y){\sigma }_3$ и в нем также присут. ствует постоянный член, связанный с диагональными частями матриц $\mathrm{\Omega }(x)$ и $\mathrm{\Omega }(y)$.

Таким образом, асимптотическое разложение матрицы $W(x,\lambda )$ имеет вид
$$W(x,\lambda )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{W_n(x)}{{\lambda }^n}.$$

Подставляя (1.71) в (1.69), для коэффициентов $W_n(x),n⩾1$, получаем рекуррентное соотношение
$$\begin{array}{r}i{S}_3{\sigma }_3{W}_{n+1}-\frac{i}{2}{W}_0(S_1{\sigma }_1+S_2{\sigma }_2)W_{n+1}-\frac{i}{2}{W}_{n+1}^{\prime }(S_1{\sigma }_1+S_2{\sigma }_2)W_0=\\ =-\frac{d{W}_n}{dx}+\frac{i}{2}\sum _{k=1}^n{W}_k(S_1{\sigma }_1+S_2{\sigma }_2)W_{n+1-k},\end{array}$$

начальное условие $W_0(x)$ для которого определяется из уравнения
$$2S_3{\sigma }_3{W}_0-W_0(S_1{\sigma }_1+S_2{\sigma }_2)W_0+S_1{\sigma }_1+S_2{\sigma }_2=0.$$

Вводя диагональную матрицу
$$Q=(S_1{\sigma }_1+S_2{\sigma }_2)W_0,$$

перепишем это уравнение в виде
или
$$\begin{array}{c}{Q}^2+2S_3{\sigma }_{3}Q+(S_3^2-1)I=0,\\ {(Q+S_3{\sigma }_3)}^2=I.\end{array}$$

Уравнение (1.76) имеет четыре решения. Нужное нам решение однозначно определяется из условия
$$Q+S_3{\sigma }_3={\sigma }_3,$$

которое и приводит к появлению слагаемого $\frac{\lambda }{2i}(x-y){\sigma }_3$ в асимптотическом разложении для $Z(x,y,\lambda )$.
Матрица $W_0(x)$ имеет вид
$$W_0(x)=i\frac{S_2(x){\sigma }_1-S_1(x){\sigma }_2}{1+S_3(x)},$$

а рекуррентное соотношение (1.72) переписывается следующим образом:
$$W_{n+1}=i{\sigma }_3\frac{d{W}_n}{dx}+\frac{i}{2}\sum _{k=1}^n{W}_k(S_1{\sigma }_2-S_2{\sigma }_1)W_{n+1-k},n=0,1,\dots$$

Коэффициенты $W_n(x)$ являются антиэрмитовыми матрицами
$$W_n(x):=\left(\begin{array}{cc}0& -{\overline{w}}_n(x)\\ w_n(x)& 0\end{array}\right).$$

В терминах функций $w_n(x)$ рекуррентное соотношение (1.79) и начальное условие (1.80) принимают вид
$$\begin{array}{r}{w}_{n+1}(x)=-i\frac{d{w}_n}{dx}(x)-\frac{S_1(x)-i{S}_2(x)}{2}\sum _{k=1}^n{w}_k(x)w_{n+1-k}(x),\\ n=0,1,\dots ,\end{array}$$

и
$$w_0(x)=\frac{S_1(x)+i{S}_2(x)}{1+S_3(x)}.$$

Из формул (1.70) — (1.72) и (1.80) получаем асимптотическое разложение для матрицы $Z(x,y,\lambda )$ :
$$Z(x,y,\lambda )=\frac{\lambda }{2i}(x-y){\sigma }_3+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{Z_n(x,y)}{{\lambda }^n},$$

где матрицы $Z_n(x,y)$ имеют вид
$$Z_n(x,y)=\left(\begin{array}{cc}{z}_n(x,y)& 0\\ 0& -{\overline{z}}_n(x,y)\end{array}\right),$$
a
$$z_n(x,y)=-\frac{i}{2}{\int }_y^x(S_1\left(x^{\prime }\right)-i{S}_2\left(x^{\prime }\right))w_{n+1}\left(x^{\prime }\right)d{x}^{\prime }.$$

Асимптотическое разложение приведенной матрицы монодромии $T(\lambda )$ при $|\lambda |\to \mathrm{\infty }$ получается предельным переходом в соответствии с формулой (1.42). Учитывая, что матрица $W(x,\lambda )$ исчезает при $|x|\to \mathrm{\infty }$, мы получаем представление
$$T(\lambda )=e^{p(\lambda )}+O\left(|\lambda {|}^{-\mathrm{\infty }}\right),$$

где диагональная матрица $P(\lambda )$ имеет вид
$$P(\lambda )=i\left(\begin{array}{cc}p(\lambda )& 0\\ 0& -\overline{p}(\lambda )\end{array}\right),$$
a

и
$$p(\lambda )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{I_n}{{\lambda }^n}$$
$$I_n=\underset{\begin{array}{c}x\to +\mathrm{\infty }\\ y\to -\mathrm{\infty }\end{array}}{lim}\frac{1}{i}{z}_n(x,y)=-\frac{1}{2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(S_1(x)-i{S}_2(x))w_{n-1}(x)dx.$$

Подчеркнем, что свойство диагональности матрицы $P(\lambda )$ в асимптотическом разложении (1.86) согласовано с тем, что коэффициент $b(\lambda )$ является функцией типа Шварца и дает вклад $O\left(|\lambda {|}^{-\mathrm{\infty }}\right)$. Из унимодулярности матрицы $T(\lambda )$ имеем
$$\mathrm{tr}P(\lambda )=0,$$

так что коэффициенты $I_n$ вещественны.
Итак, мы показали, что при $|\lambda |\to \mathrm{\infty }$ справедливо разложение
$$\frac{1}{i}\ln a(\lambda )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{I_n}{{\lambda }^n},$$

где вещественнозначные функционалы $I_n$ даются формулами (1.89) и (1.81)-(1.82) и являются интегралами движения модели $МГ$. Импульс $P$ и гамильтониан $H$, введенные в $\mathrm{\$}$ I.1, совпадают с первыми из них:
$$P=-2I_0,H=-2I_1.$$

Функционалы $I_n$ представляются в виде (1.66) и их плотности являются рациональными функциями от $S_a(x),a=1,2,3$, и их производных в точке $x$. Можно убедиться, что на самом деле плотности функционалов $I_n$ при $n⩾1$ являются полиномами с точностью до полных производных от шварцевских функций. Таким образом $\frac{1}{i}\ln a(\lambda )$ действительно является производящей функцией локальных интегралов движения.

Функционалы $I_n$ выражаются через коэффициенты перехода и дискретный спектр вспомогательной линейной задачи (1.1). Для этого следует сравнить разложение (1.91) с дисперсионным соотношением (1.59) — (1.60). Раскладывая в (1.59) знаменатель $\frac{1}{\mu -\lambda }$ в геометрическую прогрессию, приходим к формулам
$$I_0=\arg {\omega }_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln (1-|b(\lambda ){|}^2)}{\lambda }d\lambda -2\sum _{i=1}^n\arg {\lambda }_j$$

и
$$I_l=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^{l-1}\ln (1-|b(\lambda ){|}^2)d\lambda +\sum _{j=1}^n\frac{{\overline{\lambda }}_j^l-{\lambda }_j^l}{il},l=1,2,\dots ,$$
— тождествам следов для модели МГ.
Последние равенства согласованы с формулами связи
$$I_l^{\mathrm{M}\mathrm{г}}=-I_l^{\mathrm{H}},l=1,2,\dots$$

B § I. 1 мы отмечали, что модель MГ в случае периодических граничных условий имеет интегралы движения $M_a,a=1,2,3$,

играющие роль компонент полного спина — генераторов действия группы вращений. Эти интегралы движения не содержатся в семействе ${\left\{I_n\right\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$. Более того, функционалы
$$M_a={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{S}_a(x)dx,a=1,2,$$

не являются допустимыми, так как соответствующие им гамильтоновы потоки нарушают быстроубывающие граничные условия (1.3) (сравни с регуляризованным функционалом заряда для модели НШ в случае конечной плотности в § I. 1 части I). Допустимым является регуляризованный функционал
$$M_3={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(S_3(x)-1)dx.$$

Дадим для него выражение через коэффициенты перехода и дискретный спектр.

Для этого продифференцируем уравнение (1.1) по $\lambda$, обозначая соответствующую производную точкой:
$$\frac{\partial \dot{T}}{\partial x}=\frac{\lambda }{2i}S\dot{T}+\frac{1}{2i}ST.$$

Для матрицы
$$\dot{T}(x,y)={\dot{T}(x,y,\lambda )|}_{\lambda =0}$$

получаем
$$\frac{\partial \dot{T}}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{2i}S(x),{\dot{T}(x,y)|}_{x=y}=0,$$

так что
$$\dot{T}(x,y)=\frac{1}{2i}{\int }_y^{x}S\left(x^{\prime }\right)d{x}^{\prime },$$

откуда предельным переходом в согласии с формулой получаем
$${\dot{T}(\lambda )|}_{\lambda =0}=\frac{1}{2i}{\int }_{\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(S(x)-{\sigma }_3)dx.$$

Отсюда имеем искомые выражения
$$M_3=2\dot{i}(0)=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln (1-|b(\lambda ){|}^2)}{{\lambda }^2}d\lambda +2i\sum _{i=1}^n\frac{{\lambda }_i-{\overline{\lambda }}_i}{{\left|{\lambda }_j\right|}^2}$$

и
$$M_{+}=\frac{M_1+i{M}_2}{2}=2i\dot{b}(0),M_{-}=\frac{M_1-i{M}_2}{2}=-2i\overrightarrow{b}(0).$$

Сходимость интеграла в формуле (1.103) в окрестности точки $\lambda =0$ обеспечивается условием (1.47).

В § 3, отправляясь от выражений (1.104), мы еще раз убедимся в недопустимости функционалов $M_{\pm }$.

Исследование вспомогательной линейной задачи и отображения $\mathcal{F}$ для модели $МГ$ на этом заканчивается.