Мы начнем с описания асимптотического разложения матрицы перехода $T(x, y, \lambda)$ при $|\lambda| \rightarrow \infty$. Представим ее в виде
\[
T(x, y, \lambda)=(I+W(x, \lambda)) \exp Z(x, y, \lambda)(I+W(y, \lambda))^{-1},
\]

где матрица $W(x, \lambda)$ антидиагональна, а матрица $Z(x, y, \lambda)$ диагональна и удовлетворяет условию
\[
\left.Z(x, y, \lambda)\right|_{x=y}=0 .
\]

Здесь и ниже в асимптотических разложениях мы зачастую будем опускать члены вида $O\left(|\lambda|^{-\infty}\right)$, определенные в § I. 3 части I. Подставляя разложение (1.67) в (1.1) и отделяя диагональную и антидиагональную части, приходим к дифференциальному уравнению типа Риккати для матрицы $W(x, \lambda)$
\[
\frac{d W}{d x}+i \lambda S_{3} \sigma_{3} W+\frac{i \lambda}{2}\left(S_{1} \sigma_{1}+S_{2} \sigma_{2}\right)-\frac{i \lambda}{2} W\left(S_{1} \sigma_{1}+S_{2} \sigma_{2}\right) W=0 .
\]

Матрица $Z(x, y, \lambda)$ дается формулой
\[
Z(x, y, \lambda)=-\frac{i \lambda}{2} \int_{y}^{x}\left(S_{3}\left(x^{\prime}\right) \sigma_{3}+\left(S_{1}\left(x^{\prime}\right) \sigma_{1}+S_{2}\left(x^{\prime}\right) \sigma_{2}\right) W\left(x^{\prime}, \lambda\right)\right) d x^{\prime} .
\]

Отличие нашего случая от модели НШ состоит в том, что в асимптотическом разложении для матрицы $W(x, \lambda)$ по степе-

ням $\lambda^{-1}$ присутствует и постоянный член. Действительно, формула связи (1.14) показывает, что он образуется из антидиагональной части матрицы $\Omega(x)$. Разложение матрицы $Z(x, y, \lambda)$ начинается со слагаемого $\frac{\lambda}{2 i}(x-y) \sigma_{3}$ и в нем также присут. ствует постоянный член, связанный с диагональными частями матриц $\Omega(x)$ и $\Omega(y)$.

Таким образом, асимптотическое разложение матрицы $W(x, \lambda)$ имеет вид
\[
W(x, \lambda)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{W_{n}(x)}{\lambda^{n}} .
\]

Подставляя (1.71) в (1.69), для коэффициентов $W_{n}(x), n \geqslant 1$, получаем рекуррентное соотношение
\[
\begin{array}{r}
i S_{3} \sigma_{3} W_{n+1}-\frac{i}{2} W_{0}\left(S_{1} \sigma_{1}+S_{2} \sigma_{2}\right) W_{n+1}-\frac{i}{2} W_{n+1}^{\prime}\left(S_{1} \sigma_{1}+S_{2} \sigma_{2}\right) W_{0}= \\
=-\frac{d W_{n}}{d x}+\frac{i}{2} \sum_{k=1}^{n} W_{k}\left(S_{1} \sigma_{1}+S_{2} \sigma_{2}\right) W_{n+1-k},
\end{array}
\]

начальное условие $W_{0}(x)$ для которого определяется из уравнения
\[
2 S_{3} \sigma_{3} W_{0}-W_{0}\left(S_{1} \sigma_{1}+S_{2} \sigma_{2}\right) W_{0}+S_{1} \sigma_{1}+S_{2} \sigma_{2}=0 .
\]

Вводя диагональную матрицу
\[
Q=\left(S_{1} \sigma_{1}+S_{2} \sigma_{2}\right) W_{0},
\]

перепишем это уравнение в виде
или
\[
\begin{array}{c}
Q^{2}+2 S_{3} \sigma_{3} Q+\left(S_{3}^{2}-1\right) I=0, \\
\left(Q+S_{3} \sigma_{3}\right)^{2}=I .
\end{array}
\]

Уравнение (1.76) имеет четыре решения. Нужное нам решение однозначно определяется из условия
\[
Q+S_{3} \sigma_{3}=\sigma_{3},
\]

которое и приводит к появлению слагаемого $\frac{\lambda}{2 i}(x-y) \sigma_{3}$ в асимптотическом разложении для $Z(x, y, \lambda)$.
Матрица $W_{0}(x)$ имеет вид
\[
W_{0}(x)=i \frac{S_{2}(x) \sigma_{1}-S_{1}(x) \sigma_{2}}{1+S_{3}(x)},
\]

а рекуррентное соотношение (1.72) переписывается следующим образом:
\[
W_{n+1}=i \sigma_{3} \frac{d W_{n}}{d x}+\frac{i}{2} \sum_{k=1}^{n} W_{k}\left(S_{1} \sigma_{2}-S_{2} \sigma_{1}\right) W_{n+1-k}, \quad n=0,1, \ldots
\]

Коэффициенты $W_{n}(x)$ являются антиэрмитовыми матрицами
\[
W_{n}(x):=\left(\begin{array}{cc}
0 & -\bar{w}_{n}(x) \\
w_{n}(x) & 0
\end{array}\right) .
\]

В терминах функций $w_{n}(x)$ рекуррентное соотношение (1.79) и начальное условие (1.80) принимают вид
\[
\begin{array}{r}
w_{n+1}(x)=-i \frac{d w_{n}}{d x}(x)-\frac{S_{1}(x)-i S_{2}(x)}{2} \sum_{k=1}^{n} w_{k}(x) w_{n+1-k}(x), \\
n=0,1, \ldots,
\end{array}
\]

и
\[
w_{0}(x)=\frac{S_{1}(x)+i S_{2}(x)}{1+S_{3}(x)} .
\]

Из формул (1.70) – (1.72) и (1.80) получаем асимптотическое разложение для матрицы $Z(x, y, \lambda)$ :
\[
Z(x, y, \lambda)=\frac{\lambda}{2 i}(x-y) \sigma_{3}+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{Z_{n}(x, y)}{\lambda^{n}},
\]

где матрицы $Z_{n}(x, y)$ имеют вид
\[
Z_{n}(x, y)=\left(\begin{array}{cc}
z_{n}(x, y) & 0 \\
0 & -\bar{z}_{n}(x, y)
\end{array}\right),
\]
a
\[
z_{n}(x, y)=-\frac{i}{2} \int_{y}^{x}\left(S_{1}\left(x^{\prime}\right)-i S_{2}\left(x^{\prime}\right)\right) w_{n+1}\left(x^{\prime}\right) d x^{\prime} .
\]

Асимптотическое разложение приведенной матрицы монодромии $T(\lambda)$ при $|\lambda| \rightarrow \infty$ получается предельным переходом в соответствии с формулой (1.42). Учитывая, что матрица $W(x, \lambda)$ исчезает при $|x| \rightarrow \infty$, мы получаем представление
\[
T(\lambda)=e^{p(\lambda)}+O\left(|\lambda|^{-\infty}\right),
\]

где диагональная матрица $P(\lambda)$ имеет вид
\[
P(\lambda)=i\left(\begin{array}{cc}
p(\lambda) & 0 \\
0 & -\bar{p}(\lambda)
\end{array}\right),
\]
a

и
\[
p(\lambda)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{I_{n}}{\lambda^{n}}
\]
\[
I_{n}=\lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\ y \rightarrow-\infty}} \frac{1}{i} z_{n}(x, y)=-\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty}\left(S_{1}(x)-i S_{2}(x)\right) w_{n-1}(x) d x .
\]

Подчеркнем, что свойство диагональности матрицы $P(\lambda)$ в асимптотическом разложении (1.86) согласовано с тем, что коэффициент $b(\lambda)$ является функцией типа Шварца и дает вклад $O\left(|\lambda|^{-\infty}\right)$. Из унимодулярности матрицы $T(\lambda)$ имеем
\[
\operatorname{tr} P(\lambda)=0,
\]

так что коэффициенты $I_{n}$ вещественны.
Итак, мы показали, что при $|\lambda| \rightarrow \infty$ справедливо разложение
\[
\frac{1}{i} \ln a(\lambda)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{I_{n}}{\lambda^{n}},
\]

где вещественнозначные функционалы $I_{n}$ даются формулами (1.89) и (1.81)-(1.82) и являются интегралами движения модели $М Г$. Импульс $P$ и гамильтониан $H$, введенные в $\$$ I.1, совпадают с первыми из них:
\[
P=-2 I_{0}, \quad H=-2 I_{1} .
\]

Функционалы $I_{n}$ представляются в виде (1.66) и их плотности являются рациональными функциями от $S_{a}(x), a=1,2,3$, и их производных в точке $x$. Можно убедиться, что на самом деле плотности функционалов $I_{n}$ при $n \geqslant 1$ являются полиномами с точностью до полных производных от шварцевских функций. Таким образом $\frac{1}{i} \ln a(\lambda)$ действительно является производящей функцией локальных интегралов движения.

Функционалы $I_{n}$ выражаются через коэффициенты перехода и дискретный спектр вспомогательной линейной задачи (1.1). Для этого следует сравнить разложение (1.91) с дисперсионным соотношением (1.59) – (1.60). Раскладывая в (1.59) знаменатель $\frac{1}{\mu-\lambda}$ в геометрическую прогрессию, приходим к формулам
\[
I_{0}=\arg \omega_{0}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln \left(1-|b(\lambda)|^{2}\right)}{\lambda} d \lambda-2 \sum_{i=1}^{n} \arg \lambda_{j}
\]

и
\[
I_{l}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \lambda^{l-1} \ln \left(1-|b(\lambda)|^{2}\right) d \lambda+\sum_{j=1}^{n} \frac{\bar{\lambda}_{j}^{l}-\lambda_{j}^{l}}{i l}, \quad l=1,2, \ldots,
\]
– тождествам следов для модели МГ.
Последние равенства согласованы с формулами связи
\[
I_{l}^{\mathrm{Mг}}=-I_{l}^{\mathrm{H}}, \quad l=1,2, \ldots
\]

B § I. 1 мы отмечали, что модель MГ в случае периодических граничных условий имеет интегралы движения $M_{a}, a=1,2,3$,

играющие роль компонент полного спина – генераторов действия группы вращений. Эти интегралы движения не содержатся в семействе $\left\{I_{n}\right\}_{n=0}^{\infty}$. Более того, функционалы
\[
M_{a}=\int_{-\infty}^{\infty} S_{a}(x) d x, \quad a=1,2,
\]

не являются допустимыми, так как соответствующие им гамильтоновы потоки нарушают быстроубывающие граничные условия (1.3) (сравни с регуляризованным функционалом заряда для модели НШ в случае конечной плотности в § I. 1 части I). Допустимым является регуляризованный функционал
\[
M_{3}=\int_{-\infty}^{\infty}\left(S_{3}(x)-1\right) d x .
\]

Дадим для него выражение через коэффициенты перехода и дискретный спектр.

Для этого продифференцируем уравнение (1.1) по $\lambda$, обозначая соответствующую производную точкой:
\[
\frac{\partial \dot{T}}{\partial x}=\frac{\lambda}{2 i} S \dot{T}+\frac{1}{2 i} S T .
\]

Для матрицы
\[
\dot{T}(x, y)=\left.\dot{T}(x, y, \lambda)\right|_{\lambda=0}
\]

получаем
\[
\frac{\partial \dot{T}}{\partial x}(x, y)=\frac{1}{2 i} S(x),\left.\quad \dot{T}(x, y)\right|_{x=y}=0,
\]

так что
\[
\dot{T}(x, y)=\frac{1}{2 i} \int_{y}^{x} S\left(x^{\prime}\right) d x^{\prime},
\]

откуда предельным переходом в согласии с формулой получаем
\[
\left.\dot{T}(\lambda)\right|_{\lambda=0}=\frac{1}{2 i} \int_{\infty}^{\infty}\left(S(x)-\sigma_{3}\right) d x .
\]

Отсюда имеем искомые выражения
\[
M_{3}=2 \dot{i}(0)=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln \left(1-|b(\lambda)|^{2}\right)}{\lambda^{2}} d \lambda+2 i \sum_{i=1}^{n} \frac{\lambda_{i}-\bar{\lambda}_{i}}{\left|\lambda_{j}\right|^{2}}
\]

и
\[
M_{+}=\frac{M_{1}+i M_{2}}{2}=2 i \dot{b}(0), \quad M_{-}=\frac{M_{1}-i M_{2}}{2}=-2 i \vec{b}(0) .
\]

Сходимость интеграла в формуле (1.103) в окрестности точки $\lambda=0$ обеспечивается условием (1.47).

В § 3, отправляясь от выражений (1.104), мы еще раз убедимся в недопустимости функционалов $M_{ \pm}$.

Исследование вспомогательной линейной задачи и отображения $\mathscr{F}$ для модели $М Г$ на этом заканчивается.