Здесь мы приведем полный список результатов по поводу модели Тода – фундаментальной модели на решетке. Мы покажем, что к ней применим $r$-матричный подход, и с его помощью докажем полную интегрируемость модели в квазипериодическом случае. Для быстроубывающих граничных условий мы изучим отображение $\mathscr{F}$ от начальных данных вспомогательной линейной задачи к коэффициентам перехода и дадим процедуру решения обратной задачи – построения отображения $\mathscr{F}^{-1}$. На основании $r$-матричного подхода будет показано, что отображение $\mathscr{F}$ представляет собой каноническое преобразование к переменным типа действие – угол, что доказывает полную интегрируемость модели Тода в быстроубывающем случае. Мы также введем решеточную модель РЛ-Л, являюшуюся наиболее общей интегрируемой системой на решетке с двумерным вспомогательным пространством.