Пусть $G$ – конечномерная группа Ли, такая, что ее алгебра Ли д допускает разложение в линейную сумму двух подалгебр
\[
g=g_{+}+g_{-},
\]

а $P_{ \pm}$- соответствующие проекторы:
\[
P_{ \pm} \mathfrak{g}_{ \pm}=\mathfrak{g}_{ \pm}, \quad P_{ \pm} \mathfrak{g}_{\mp}=0 .
\]

Положим
\[
R=\frac{1}{2}\left(P_{+}-P_{-}\right)
\]

и введем на g вторую структуру алгебры Ли с коммутатором $[,]_{0}$ :
\[
[\xi, \eta]_{0}=[R \xi, \eta]+[\xi, R \eta],
\]

где [, ] – исходный коммутатор в $g$ (сравни с $\S 1$ ). На фазовом пространстве $\mathfrak{g}^{*}$ рассмотрим скобки Ли – Пуассона $\{$,$\} и \{,\}_{0}$, ассоциированные с коммутаторами $[$,$] и [,] ] соответственно.$ Через $I(\mathrm{~g})$ обозначим аннулятор пуассоновой структуры $\{$,$\} -$ алгебру функций Казимира – состоящую из инвариантов коприсоединенного действия $\mathrm{Ad}^{*}$ группы Ли $G$ на $\mathrm{g}^{*}$ : для функции $f(u)$ из $I(g)$
\[
f\left(\mathrm{Ad}^{*} g \cdot u\right)=f(u)
\]

для всех $g$ из $G$.
Замечательное свойство пуассоновой структуры $\{,\}_{0}$ состоит в следующем: алгебра $I(\mathrm{~g})$ инволютивна по отношению к скобке Пуассона $\{,\}_{0}$.

Для доказательства используем инвариантное определение скобки Ли – Пуассона, которая была введена в § 1 формулой (1.2). Для любой функции $f(u)$ на $g^{*}$ через $
abla f(u)$ обозначим ее градиент – элемент из алгебры Ли g, задаваемый формулой
\[

abla f(u)=\frac{\partial f(u)}{\partial u_{a}} X_{a} .
\]

В этих обозначениях формула (1.2) переписывается в виде
\[
\left\{f_{1}, f_{2}\right\}(u)=-\left(u,\left[
abla f_{1}(u),
abla f_{2}(u)\right]\right),
\]

где $u$ из $\mathrm{g}^{*}$ – точка, в которой вычисляется скобка Пуассона, а $($,$) – спаривание g$ и $g^{*}$ (см. $\S 1$ ). В частности, полагая $f_{1}(u)=$ $=u_{a} \xi^{a}$ и $f_{2}(u)=f(u)$, где $f(u)$ лежит в $I(g)$, получаем, что
\[
(u,[
abla f(u), \xi])=0
\]

для любого элемента $\xi=\xi_{a} X^{a}$ из алгебры Ли g. Теперь свойство инволютивности алгебры $I(g)$ очевидно: для любых функций $f_{1}(u), f_{2}(u)$ из $I(g)$ имеем
\[
\begin{array}{l}
\left\{f_{1}, f_{2}\right\}_{0}(u)=-\left(u,\left[R
abla f_{1}(u),
abla f_{2}(u)\right]\right)- \\
-\left(u,\left[
abla f_{1}(u), R
abla f_{2}(u)\right]\right)=0,
\end{array}
\]

поскольку каждое слагаемое в правой части исчезает в силу (4.8).

Итак, мы получили богатое семейство функций, инволютивное по отношению к скобке Пуассона $\{,\}_{0}$. Естественно рассмотреть гамильтоновы уравнения движения, порожденные его

элементами. Они имеют вид
\[
\frac{d u_{a}}{d t}=\left\{f, u_{a}\right\}_{0}(u)
\]

где в качестве гамильтониана выбрана функция $f$ из $I(\mathrm{~g})$. Формула (4.8) позволяет записать эти уравнения следующим сбразом:
\[
\frac{d u_{a}}{d t}=-\left(u,\left[R
abla f(u), \Gamma u_{a}\right]\right)=\left(\operatorname{ad}^{*}(R
abla f(u)) \cdot u\right)_{a},
\]

или
\[
\left(\frac{d u}{d t}, \xi\right)=-(u,[R
abla f(u), \xi])
\]

для всех $\xi$ из g. В полупростом случае это уравнение переписывается более элегантно: для элемента $U$ из $\mathfrak{g}$,
\[
U=u_{a} A^{a}
\]
(сравни с формулой (1.32)), оно принимает вид
\[
\frac{d U}{d t}=[R
abla f(u), U] .
\]

Представление уравнения (4.10) в виде (4.12) (или (4.14)). очень важно. Как мы сейчас убедимся, оно приводит к процедуре построения решения начальной задачи $\left.u_{a}(t)\right|_{t=0}=u_{a}^{0}$ для нелинейного уравнения (4.10) в терминах задачи о факторизации в группе Ли $G$.

Обозначим через $G_{ \pm}$подгруппы в $G$, отвечающие подалгебрам $\mathfrak{g}_{ \pm}$. Для любого элемента $g$ из $G$, достаточно близкого $\mathrm{K} I$, справедливо разложение
\[
g=g_{+} g_{-},
\]

где $g_{ \pm}$лежат в $G_{ \pm}$; это разложение единственно, если $g_{ \pm}$также близки к единичному элементу в $G$. Задача о факторизации (4.15) представляет собой абстрактный аналог задачи Римана.

Покажем, как с ее помощью решается нелинейное уравнение (4.10). Рассмотрим однопараметрическую подгруппу в $G$, состояцую из элементов вида $g(t)=\exp \left\{-t
abla f\left(u^{0}\right)\right\}$, и свямен $c$ ней (при достаточно малых $t$ ) семейство задач о факторизации
\[
g(t)=g_{+}(t) g_{-}(t)
\]

где $\left.g_{ \pm}(t)\right|_{t=0}=I$. Тогда решение уравнений двиэения (4.10) $c$ начальным условием и дается формулами
\[
u(t)=\operatorname{Ad}^{*} g_{+}^{-1}(t) \cdot u^{0}=\operatorname{Ad}^{*} g_{-}(t) u^{0},
\]

или
\[
(u(t), \xi)=\left(u^{0}, g_{+}(t) \xi g_{+}^{-1}(t)\right)=\left(u^{0},{ }^{\prime} g_{-}^{-1}(t) \xi g_{-}(t)\right)
\]

для всех $\xi и з$ g.

Совпадение двух вариантов представления для $u(t)$ в формуле (4.17) (или в (4.18)) следует из соотношения
\[
\operatorname{Ad}^{*} g(t) \cdot u^{0}=u^{0}
\]

инфинитезимальный вариант которого дается формулой (4.8).
Для доказательства продифференцируем равенство (4.16) по $t$ и запишем результат в виде
\[
g_{+}^{-1}(t) \frac{d g}{d t}(t) g^{-1}(t) g_{+}(t)=g_{+}^{-1}(t) \frac{d g_{+}}{d t}(t)+\frac{d g_{-}}{d t}(t) g_{-}^{-1}(t) .
\]

Вспоминая, что $\frac{d g}{d t}(t) g^{-1}(t)=-
abla f\left(u^{0}\right)$, и обозначая
\[
\xi_{+}(t)=g_{+}^{-1} \frac{d g_{+}}{d t}(t), \quad \xi_{-}(t)=\frac{d g_{-}}{d t}(t) g_{-}^{-1}(t),
\]

получаем
\[
-g_{+}^{-1}(t)
abla f\left(u^{0}\right) g_{+}(t)=\xi_{+}(t)+\xi_{-}(t) .
\]

Нетрудно убедиться, что выражение в левой части этого равенства есть $-
abla f(u(t))$. Для доказательства следует воспользоваться $\mathrm{Ad}^{*}$-инвариантностью функции $f(u)$, из которой, в частности, имеем
\[
f(u)=f\left(\operatorname{Ad}^{*} g_{+}^{-1}(t) \cdot u\right),
\]

и продифференцировать это равенство по $u$ с учетом (4.17). Другими словами, градиент $\mathrm{Ad}^{*}$-инвариантной функции «преобразуется подобно». В результате приходим к разложению

так что
\[
–
abla f(u(t))=\xi_{+}(t)+\xi_{-}(t),
\]
\[
\xi_{ \pm}(t)=–P_{ \pm}(
abla f(u(t))) .
\]

Теперь дифференцируя формулы (4.18) по $t$, получаем
\[
\begin{aligned}
\left(\frac{d u(t)}{d t}, \xi\right)= & \left(u^{0}, \frac{d g_{+}}{d t}(t) \xi g_{+}^{-1}(t)\right)- \\
& -\left(u^{0}, g_{+}(t) \xi g_{+}^{-1}(t) \frac{d g_{+}}{d t}(t) g_{+}^{-1}(t)\right)=\left(u(t),\left[\xi_{+}, \xi\right]\right)
\end{aligned}
\]

и
\[
\left(\frac{d u}{d t}(t), \xi\right)=-\left(u(t),\left[\xi_{-}, \xi\right]\right)
\]

Поскольку
\[
\frac{1}{2}\left(\xi_{+}(t)-\xi_{-}(t)\right)=-R
abla f(u(t)),
\]

то на основании (4.26) – (4.27) заключаем, что $u(t)$ удовлетворяет уравнению (4.12) или (4.10).

Итак, мы показали, что решение нелинейного уравнения (4.10) сводится к построению однопараметрической подгруппы

$g(t)$ и решению задачи факторизации (4.16). Обе эти задачи линейны. Другими словами, на модельном конечномерном примере мы объяснили процедуру линеаризации гамильтоновых уравнений специального вида (4.10). Қак мы видим, в ней уже содержатся основные моменты метода обратной задачи: гамильтоновость уравнений движения, наличие серии интегралов движения в инволюции, метод построения решения начальной задачи при помощи задачи о факторизации. В основе описанной схемы, по существу, лежит лишь одна формула – разложение исходной алгебры Ли в линейную сумму двух подалгебр.