Уравнения движения имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\left(\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\right) \varphi_{a}=e^{\varphi_{a+1}-\varphi_{a}}-e^{\varphi_{a}-\varphi_{a-1}}, \\
a=1, \ldots, n, \quad \varphi_{n+1}=\varphi_{1},
\end{array}
\]

где $\varphi_{a}(x, t)$ – вещественнозначные функции. В случае, когда поля $\varphi_{a}$ не зависят от переменной $x$, система (3.45) переходит в уравнения движения периодической модели Тода (см. §2); этим объясняется название рассматриваемой модели.

В быстроубывающем случае фазовое пространство модели образовано вещественнозначными шварцевскими функциями $\left\{\varphi_{a}(x), \pi_{a}(x) ; a=1, \ldots, n\right\}$ с обычной пуассоновой структурой, задаваемой скобками Пуассона
\[
\begin{array}{c}
\left\{\varphi_{a}(x), \varphi_{b}(y)\right\}=\left\{\pi_{a}(x), \pi_{b}(y)\right\}=0, \\
\left\{\pi_{a}(x), \varphi_{b}(y)\right\}=\delta_{a j} \delta(x-y), \quad a, b=1, \ldots, n .
\end{array}
\]

Уравнения (3.45) записываются в гамильтоновом виде с гамильтонианом
\[
H=\int_{-\infty}^{\infty} \sum_{a=1}^{n}\left(\frac{1}{2} \pi_{a}^{0}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \varphi_{a}}{\partial x}\right)^{2}+e^{\varphi_{a}-\varphi_{a-1}}-1\right) d x .
\]

Модель допускает представление нулевой кривизны с матрицами $U(x, t, \lambda)$ и $V(x, t, \lambda)$ вида
\[
\begin{array}{l}
U(\lambda)=\frac{1}{2} \sum_{a=1}^{n}\left(\pi_{a} h_{a}+e^{\left.\frac{1}{2} \cdot \varphi_{a+1}-\varphi_{a}\right)}\left(\lambda e_{a}+\frac{1}{\lambda} e_{-a}\right)\right), \\
V(\lambda)=\frac{1}{2} \sum_{a=1}^{n}\left(\frac{\partial \varphi_{a}}{\partial x} h_{a}+e^{-\frac{1}{2}\left(\varphi_{a+1}-\varphi_{a}\right.}\left(\lambda e_{a}-\frac{1}{\lambda} e_{-a}\right)\right),
\end{array}
\]

где $e_{ \pm a}$ – корневые векторы, отвечающие допустимым корням алгебры Ли $A_{n-1}$ (простые корни и минимальный), а $h_{a}$ – базисные диагональные матрицы в векторном представлении:
\[
\begin{array}{l}
\left(e_{a}\right)_{i j}=\delta_{a i} \delta_{a+1, j}, \quad\left(e_{-a}\right)_{i j}=\delta_{a+1, i} \varepsilon_{a j}, \\
\left(h_{a}\right)_{i j}=\delta_{a i} \delta_{a j} ; \quad \delta_{a+n, j}=\delta_{a, j}, \quad \delta_{i, a+n}=\delta_{i, a} .
\end{array}
\]

Матрицы $U(x, t, \lambda)$ и $V(x, t, \lambda)$ вида (3.48)-(3.49) получаются из общих матриц с простыми полюсами при $\lambda=0$ и $\lambda=\infty$ в результате редукции
\[
U(\xi \lambda)=Z^{-1} U(\lambda) Z, \quad V(\xi \lambda)=Z^{-1} V(\lambda) Z,
\]

где $\zeta=e^{2 \pi i / n}$ – корень $n$-й степени из 1 , а $Z$ – диагональная матрица:
\[
Z_{i j}=\xi^{i} \delta_{i j}, \quad i, j=1, \ldots, n,
\]
– так называемая $\mathbb{Z}_{n}$-редукция, и фиксации релятивистской калибровки.

Двумеризованная модель Тода, в свою очередь, допускает интересные гамильтоновы редукции. Так, в случае $n=2$ редукция $\pi_{1}=-\pi_{2}=\pi, \varphi_{1}=-\varphi_{2}=\varphi$ приводит к уравнению
\[
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+2 \operatorname{sh} 2 \varphi=0,
\]

которое получается из уравнения Sine-Gordon (см. §1), если в последнем положить $m=2, \beta=2 i$. Для случая $n=3$, полагая $\varphi_{1}=-\varphi_{3}=\varphi, \varphi_{2}=0, \pi_{1}=-\pi_{3}=\pi, \pi_{2}=0$, приходим к уравнению
\[
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}=e^{-\varphi}-e^{\Sigma \varphi}
\]

для одного вещественного поля $\varphi(x, t)$.
Перечисление примеров интегрируемых уравнений на этом заканчивается.