Проведенное в предыдущем параграфе исследование задачи Римана позволяет дать решение обратной задачи – явно описать процедуру обращения отображения
\[
\mathscr{F}:(\psi(x), \bar{\psi}(x)) \rightarrow\left(b(\lambda), \bar{b}(\lambda) ; \lambda_{j}, \bar{\lambda}_{i}, \gamma_{i}, \bar{\gamma}_{i}, \quad j=1, \ldots, n\right)
\]
от функций $\psi(x), \psi(\bar{x})$ к коэффициентам перехода и дискретному спектру вспомогательной линейной задачи
\[
\frac{d F}{d x}=U(x, \lambda) F
\]
в быстроубывающем случае.

Именно, результаты § I. 5 – I. 6 показывают, что отображение $\mathscr{F}$ переводит функции $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ из пространства $L_{1}(-\infty, \infty)$ в функции $b(\lambda), \bar{b}(\lambda)$ из кольца $\Re_{0}$, образованного преобразованиями Фурье функций из $L_{1}(-\infty, \infty$ ) (см. § I.6). Дискретный спектр и его характеристики появляются только в случае $x<0$; при этом предполагается выполнение условия (A) из § I.6. Оно означает, что $b(\lambda)$ удовлетворяет дополнительному ограничению
\[
|b(\lambda)|<1
\]

при всех $\lambda$, а среди чисел $\lambda_{j}$ нет совпадающих и $\operatorname{Im} \lambda_{j}>0$. При этом ни один из коэффициентов $\gamma_{j}, j=1, \ldots, n$, не исчезает. В указанных классах отображение $\mathscr{F}$ является взаимно однозначным.

Действительно, исходные данные задачи Римана, сформулированной в конце $\S 1$, однозначно параметризуются данными в правой части (3.1). Приведенное в $\$ 2$ исследование задачи Римана показывает, что функции $\psi(x), \bar{\psi}(x)$, определенные формулами (2.66), порождают эти данные как коэффициенты перехода и дискретный спектр вспомогательной линейной задачи. Техническую основу обращения отображения $\mathscr{F}$ состав.яяет формализм матричного уравнения Винера-Хопфа со спецпальной зависимостью от параметра $x$, описанный в $\$ 2$.

Отображение $\mathscr{F}$ является обратимым и в других функциональных классах. Так, например, его можно рассматривать на фазовом пространстве $\mathscr{M}_{0}$ модели НШ, образованном функциями $(\psi(x), \bar{\psi}(x))$ из пространства Шварца. При этом функции $b(\lambda), \bar{b}(\lambda)$ также являются шварцевскими и $\mathscr{F}$ взаимно однозначно. В гл. III мы убедимся, что в этнх классах отображение $\mathscr{F}$, а также и $\mathscr{F}^{-1}$, дифференцируемо.

Применим теперь полученные результаты для полног описания динамики модели НШ в быстроубывающем случае. В § I. 7 мы показали, что если комплексная функция $\psi(x, t)$ удовлетворяет начальной задаче
\[
\begin{array}{c}
i \frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}+2 x|\psi|^{2} \psi, \\
\left.\psi(x, t)\right|_{t=6}=\psi(x),
\end{array}
\]

то динамика коэффициентов перехода и дискретного спектра вспомогательной линейной задачи (3.2) с матрицей
\[
U(x, t, \lambda)=\frac{\lambda \sigma_{3}}{2 i}+\sqrt{\chi}\left(\bar{\psi}(x, t) \sigma_{+}+\psi(x, t) \sigma_{-}\right)
\]

задается формулами
\[
\begin{array}{c}
b(\lambda, t)=e^{-i \lambda 2 t} b(\lambda), \quad \lambda_{i}(t)=\lambda_{j}, \\
\gamma_{i}(t)=e^{-i \lambda_{j}^{2} t} \gamma_{i}, \quad j=1, \ldots, n .
\end{array}
\]

Здесь $b(\lambda), \lambda_{j}$ и $\gamma_{j}$ получаются из начальных данных $\psi(x)$ задачи (3.4)-(3.5) с помощью отображения $\mathscr{F}$.

Теперь мь докажем обратное утверждение – покажем, что если выполняются формуль (3.7), то функция $\psi(x, t)$, определяемая по участвующим в (3.7) данным с помощью отображения $\mathscr{F}^{-1}$, удовлетворяет уравнению НШ. При этом будем предтак как динамика (3.7) не выводит из пространства Шварца.
Для доказательства рассмотрим задачу Римана (2.1)
\[
G(x, t, \lambda)=G_{+}(x, t, \lambda) G_{-}(x, t, \lambda),
\]

где мы учли зависнмость от дополнительного параметра $t$. В силу (3.7) имеем
\[
G(x, t, \lambda)=E^{-1}\left(t, \lambda^{2}\right) G(x, \lambda) E\left(t, \lambda^{2}\right),
\]

где $E\left(t, \lambda^{2}\right)=\exp \left\{\frac{\lambda^{2} t}{2 i} \sigma_{3}\right\}$ – уже неоднократно использовавшаяся матрица. Прп $x<0$ в случае задачи с нулями также имеем условія
\[
\operatorname{Im} G_{+}\left(x, t, \lambda_{j}\right)=N_{j}^{(+)}(x, t), \quad \operatorname{Ker} G_{-}\left(x, t, \bar{\lambda}_{j}\right)=N_{j}^{(-)}(x, t),
\]
где
\[
\begin{array}{c}
N_{i}^{(+)}(x, t)=E^{-1}\left(t, \lambda_{j}^{2}\right) N_{j}^{(+)}(x), N_{j}^{(-)}(x, t)=E^{-1}\left(t, \bar{\lambda}_{j}^{*}\right) N_{i}^{(-)}(x), \\
j=1, \ldots, n .
\end{array}
\]

Из результатов $\S 2$ очевидно, что задача Римана (3.9) – (3.10) однозначно разрешима в указанном классе при каждом $x$ и $t$. Введем матрицы-функции
\[
\begin{array}{l}
F_{+}(x, t, \lambda)=G_{+}^{-1}(x, t, \lambda) E(x, \lambda) E^{-1}\left(t, \lambda^{2}\right), \\
F_{-}(x, t, \lambda)=G_{-}(x, t, \lambda) E(x, \lambda) E^{-1}\left(t, \lambda^{2}\right) .
\end{array}
\]
$\mathrm{B} \S 2$ мы доказали, что при фиксированном $t$ они удовлетворяют дифференциальному уравнению (3.2) вспомогательной линейной задачи. Покажем, что при фиксированном $x$ они удовлетворяют и дифференциальному уравнению по $t$. Дифференцируемость по $t$ этих функций непосредственно вытекает из рассмотрения уравнения Винера – Хопфа (2.53), дополненного зависимостью от $t$.

Для вывода искомого уравнения по $t$ (как и в $§ 2$ для уравнения по $x$ ) перепишем (3.9) в виде
\[
F_{-}(x, t, \lambda)=F_{+}(x, t, \lambda) G(\lambda),
\]

откуда получаем
\[
\frac{\partial}{\partial t} F_{-}(x, t, \lambda) F_{-}^{-1}(x, t, \lambda)=\frac{\partial}{\partial t} F_{+}(x, t, \lambda) F_{+}^{-1}(x, t, \lambda) .
\]

В силу условий (3.11) не зависящие от $x$ подпространства $\operatorname{Im} F_{+}^{-1}\left(x, t, \lambda_{j}\right)$ и $\operatorname{Ker} F_{-}\left(x, t, \bar{\lambda}_{j}\right)$ также не зависят и от $t$. Повторяя рассуждения, использованные в п. 2 предыдущего параграфа, получаем отсюда, что матрицы-функции $\frac{\partial F_{ \pm}}{\partial t}(x, t, \lambda) \times$ $\times F_{ \pm}^{+1}(x, t, \lambda)$ совпадают и представляют собой целую функцию переменной $\lambda$. Для ее определения рассмотрим, следуя § 2 , интегральное представление
\[
F_{-}(x, t, \lambda)=\left(I+\int_{0}^{\infty} \Phi_{-}(x, t, s) e^{-i\rangle s} d s\right) E(x, \lambda) E^{-1}\left(t, \lambda^{2}\right)
\]

и вытекающую из него асимптотику при $|\lambda| \rightarrow \infty, \operatorname{Im} \lambda \leqslant 0$
\[
\begin{aligned}
F_{-}(x, t, \lambda)=\left(I+\frac{\Phi_{-}(x, t, 0)}{i \lambda}\right. & -\frac{1}{\lambda^{2}} \frac{\partial \Phi_{-}}{\partial s}(x, t, 0)+ \\
& \left.+O\left(\frac{1}{|\lambda|^{3}}\right)\right) E(x, \lambda) E^{-1}\left(t, \lambda^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Дифференцируя эту асимптотику по $t$, получаем, что при таких $\lambda$
\[
\frac{\partial F_{-}}{\partial t}(x, t, \lambda) F_{-}^{-1}(x, t, \lambda)=V_{-}(x, t, \lambda)+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right),
\]

где
\[
V_{-}(x, t, \lambda)=\lambda^{2} V_{2}+\lambda V_{1}+V_{0},
\]
a
\[
V_{2}=\frac{i \sigma_{3}}{2}, \quad V_{1}(x, t)=\frac{1}{2}\left[\Phi_{-}(x, t, 0), \sigma_{3}\right]=-U_{0}(x, t)
\]
(см. (2.51)) и
\[
V_{0}(x, t)=\frac{i}{2}\left[\sigma_{3}, \frac{\partial \Phi_{-}}{\partial s}(x, t, 0)\right]+\frac{i}{2}\left[\Phi_{-}(x, t, 0), \sigma_{3}\right] \Phi_{-}(x, t, 0) .
\]

Выразим теперь матрицу $V_{0}(x, t)$ через $U_{0}(x, t)$. Для этого воспользуемся дифференциальным уравнением (3.2), из которого, в частности, следует бесконечная серия тождеств на матрицу $\Phi_{-}(x, t, s)$ и ее производные по $x$ и $s$ при $s=0$. Действительно, многократно интегрируя в представлении (3.16) по частям и дифференцируя его по $x$, получаем при $|\lambda| \rightarrow \infty, \operatorname{Im} \lambda \leqslant 0$ с.ледующее асимптотическое разложение:
\[
\frac{\partial F_{-}}{\partial x}(x, t, \lambda) F_{-}^{-1}(x, t, \lambda)=\frac{\lambda \sigma_{3}}{2 i}+U_{0}(x, t)+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_{n}(x, t)}{(i \lambda)^{n}}+O\left(|\lambda|^{-\infty}\right)
\]

(сравни с § 2). В частности, мы имеем
\[
\begin{aligned}
F_{1}(x, t)= & \frac{1}{2}\left(\left[\sigma_{3}, \frac{\partial \Phi_{-}}{\partial s}(x, t, 0)\right]+\right. \\
& \left.+\left[\Phi_{-}(x, t, 0), \sigma_{3}\right] \Phi_{-}(x, t, 0)+2 \frac{\partial \Phi_{-}}{\partial x}(x, t, 0)\right) .
\end{aligned}
\]

С другой стороны, из дифференциального уравнения (3.2) следует, что коэффициенты $F_{n}(x, t)$ исчезают:
\[
F_{n}(x, t)=0, \quad n=1,2, \ldots
\]

Первое из этих тождеств означает, что матрицу $V_{0}(x, t)$ можно представить в виде
\[
V_{0}(x, t)=-i \frac{\partial \Phi_{-}}{\partial x}(x, t, 0) .
\]

Далее, антидиагональная часть матрицы $\frac{\partial \Phi_{-}}{\partial x}(x, t, 0)$ в силу (3.20) совпадает с матрицей – $\frac{\partial U_{0}(x, t)}{\partial x} \sigma_{3}$. Для определения ее диагональной части рассмотрим снова равенство (3.24) для $n=1$ и отделим в нем диагональную часть. Мы получим, используя (3.20) и (3.23), что она представляет собой матрищу – ${ }_{3} U_{0}^{2}(x, t)$. Таким образом, получаем окончательное выражение
\[
V_{0}(x, t)=i \sigma_{3} U_{0}^{2}(x, t)+i \frac{\partial U_{0}(x, t)}{\partial x} \sigma_{3} .
\]

Сравнивая формулы (3.20) и (3.26) с (I.2.7), убеждаемся, что матрица $V_{-}(x, t, \lambda)$ совпадает с матрицей $V(x, t, \lambda)$ из $\S$ I.2:
\[
V_{-}(x, t, \lambda)=V(x, t, \lambda) .
\]

Аналогичным образом для матрицы $F_{+}(x, t, \lambda)$ при $|\lambda| \rightarrow \infty$, $\operatorname{Im} \lambda \geqslant 0$ получаем асимптотику
\[
\frac{\partial F_{+}}{\partial t}(x, t, \lambda) F_{+}^{-1}(x, t, \lambda)=V_{+}(x, t, \lambda)+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right),
\]

где матрица $V_{\dot{*}}(x, t, \lambda)$ имеет вид (3.19). Отсюда на основании теоремы Лиувилля заключаем, что матрицы $V_{ \pm}(x, t, \lambda)$ совпадают:
\[
V_{+}(x, t, \lambda)=V_{-}(x, t, \lambda)=V(x, t, \lambda),
\]

а матрицы $F_{ \pm}(x, t, \lambda)$ удовлетворяют искомому дифференциальному уравнению
\[
\frac{\partial F_{ \pm}}{\partial t}(x, t, \lambda)=V(x, t, \lambda) F_{ \pm}(x, t, \lambda) .
\]

Вместе с дифференциальным уравнением (3.2) это означает, что связность ( $U(x, t, \lambda), V(x, t, \lambda))$ удовлетворяет условию нулевой кривизны (I.2.10)
\[
\frac{\partial U}{\partial t}-\frac{\partial V}{\partial x}+[U, V]=0 .
\]

Итак, исходя из задачи Римана (3.9)- (3.10), мы построили связность $(U(x, t, \lambda), V(x, t, \lambda))$ вида (I.2.3)-(I.2.8), удовлетворяющую условию нулевой кривизны. Отсюда следует, что функция $\psi(x, t)$ действительно является решением уравнення НШ. Приведенные выше рассуждения также доказывают глобалькую однозначнук разрешимость начальной задачи (3.4)-(3.5) для модели НІІ в классе шварцевских функций (при $~ \chi<0$ дополнительно предполагается выполнение условия (А)).

Итак, мы показали, что изученное отображение $\mathscr{F}$ представляет собой нелинейную замену переменных, линеаризующую уравнение НШ.

Изложенный способ решения начальной задачи для уравнения НШ можно изобразить в виде следующей коммутативной диаграммы:
\[
\begin{array}{l}
(\psi(x), \bar{\psi}(x)) \xrightarrow{\xi}\left(b(\lambda), \bar{b}(\lambda) ; \lambda_{j}, \bar{\lambda}_{i}, \gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j}\right) \\
(\psi(x, t), \bar{\psi}(x, t)) \leftarrow \stackrel{\tau_{1} \downarrow}{-1}\left(b(\lambda, t), \bar{b}(\lambda, t) ; \lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}, \gamma_{j}(t), \bar{\gamma}_{j}(t)\right) . \\
\end{array}
\]

Здесь $\tau_{1}$– сдвиг по $t$ согласно исходному уравнению (3.4), а $\tau_{2}-$ сдвиг по $t$, задаваемый явными формулами (3.7).

Поучительно рассмотреть отөбражение $\mathscr{F}$ в линейном пределе $x \rightarrow 0$, при котором уравнение HII переходит в обычное линейное уравнение Шредингера
\[
i-\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}} .
\]

С этой целью рассмотрим асимптотику коэффициентов перехода $a(\lambda)$ и $b(\lambda)$ при $x \rightarrow 0$.

Из интегрального уравнения (I.5.36) для решенія Иоста $T_{-}(x, \lambda)$ имеем при $x \rightarrow 0$
\[
T_{-}(x, \lambda)=E(x ; \lambda)+\int_{-\infty}^{x} E(x-y) U_{0}(y) E(y, \lambda) d y+O(|x|) .
\]

Переходя в этой формуле к пределу при $x \rightarrow+\infty$, получаем, что
\[
a(\lambda)=1+O(|x|), \quad b(\lambda)=\sqrt{x} \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) e^{-i \lambda x} d x+O(|x|) .
\]

Последние формулы показывают, что дискретный спектр пропадает, а отображение $\mathscr{F}$ сводится к преобразованию фурье.

Временная динамика коэффициента $b(\lambda)$, задаваемая формулой (3.7), очевидным образом совпадает с динамикой преобразования Фурье функции $\psi(x, t)$, удовлетворяющей уравнению (3.33).

Приведенные рассуждения позволяют в общем случае $x
eq 0$ интерпретировать отображение $\mathscr{F}$ как нелинейный аналог преобразования Фурье. При этом схема интегрирования уравнения НШ методом обратной задачи – диаграмма (3.32) – представляет собой нелинейный аналог метода Фурье.