В этом параграфе мы завершим описание гамильтонова подхода к модели НШ. Мы обсудим с гамильтоновой точки зрения характеристики вспомогательной линейной задачи $b_{\rho}(\lambda), \lambda_{j}, \gamma_{j}$, введенные в гл. I, в терминах которых уравнения движения решаются явно (см. § I.10, II.6). В частности, мы подчеркнем интересные отличия от быстроубывающего случая в программе построения переменных типа действие – угол в терминах коэффициентов перехода и характеристик дискретного спектра.

Напомним сначала, следуя § I.8-I.9, определение и необходимые свойства этих данных. Приведенная матрица монодромии
\[
T_{\rho}(\lambda)=\lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\
y \rightarrow-\infty}} E_{\rho}^{-1}(x, \lambda) Q(\theta) T(x, y, \lambda) E_{\rho}(y, \lambda)=\left(\begin{array}{cc}
a_{\rho}(\lambda) & \overline{b_{\rho}}(\lambda) \\
b_{\rho}(\lambda) & \overline{a_{\rho}}(\lambda)
\end{array}\right)
\]

вводит коэффициенты перехода непрерывного спектра $a_{\rho}(\lambda)$ и $b_{p}(\lambda)$. Здесь $\lambda$ принадлежит $\mathbb{K}_{\omega}^{\prime}$ (т. е. $\lambda$ вещественно и $|\lambda|>\omega$ ),
\[
E_{\boldsymbol{\rho}}(x, \lambda)=\left(\begin{array}{cc}
1 & \frac{i(k-\lambda)}{\omega} \\
\frac{i(\lambda-k)}{\omega} & 1
\end{array}\right) e^{-\frac{i k x}{2} \sigma_{3}},
\]

a $k(\lambda)=\sqrt{\lambda^{2}-\omega^{2}}, \operatorname{sign} k(\lambda)=\operatorname{sign} \lambda$ для $\lambda$ нз $\mathbb{R}_{\omega}^{\prime}$. Имеет место условие нормировки
\[
\left|a_{\rho}(\lambda)\right|^{2}-\left|b_{\rho}(\lambda)\right|^{2}=1 .
\]

Функция $a_{\rho}(\lambda)$ аналитически продолжается на лист $\boldsymbol{\Gamma}_{+}$римановой поверхности $\Gamma$ функции $k(\lambda)=\sqrt{\lambda^{2}-\omega^{2}}$, определяемый условием $\operatorname{Im} k(\lambda) \geqslant 0$, за возможным исключением точек ветвления $\lambda= \pm \omega$. Имеют место асимптотики при $|\lambda| \rightarrow \infty$
\[
a_{\boldsymbol{p}}(\lambda)=e^{i \theta / 2}+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right)
\]

для $\operatorname{Im} \lambda>0$ и
\[
a_{\rho}(\lambda)=e^{-i \theta / 2}+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right)
\]

для $\operatorname{Im} \lambda<0$ и соотношение инволюции
\[
\left.a_{\rho}(\lambda,+)=\overline{a_{\rho}} \overline{(\lambda},+\right) .
\]

Нули $\lambda_{j}$ функции $a_{\rho}(\lambda)$ на $\boldsymbol{\Gamma}_{+}$могут лежать только в лакуне $-\omega<\lambda_{j}<\omega$ и являются однократными. Их число $n$ конечно и они составляют дискретный спектр вспомогательной линейной задачи.
Коэффициент $b_{\rho}(\lambda)$ удовлетворяет инволюции
\[
b_{\rho}(\lambda-i 0)=-\overrightarrow{b_{\rho}}(\lambda+i 0)
\]

для $\lambda$ из $\mathbb{R}_{\omega}$ и, вообще говоря, не продолжается с разреза $\mathscr{R}_{\omega}=$ $=\left(\mathbb{R}_{\omega}, \pm\right)$ на поверхности $\Gamma$. В точках $\lambda= \pm \omega$ коэффициенты $a_{\rho}(\lambda)$ и $b_{\rho}(\lambda)$ регулярны или сингулярны одновременно. При этом если в окрестности точки $\lambda= \pm \omega$
\[
b_{\rho}(\lambda)=\frac{b_{ \pm}}{k}+O(1),
\]

где $b_{ \pm}
eq 0$ – случай общего положения, то
\[
a_{\rho}(\lambda)= \pm \frac{i b_{ \pm}}{k}+O
\]

и $b_{ \pm}$вещественны, причем
\[
\operatorname{sig}^{n} b_{ \pm}=(-1)^{N_{ \pm}},
\]

где целые числа $N_{ \pm}$определяются из условия выбора знаков (I.9.58).
И, наконец, имеют место дисперсионное соотношение
\[
\begin{aligned}
a_{\rho}(\lambda)=e^{i \theta / 2} & \prod_{j=1}^{n} \frac{\lambda+k(\lambda)-\lambda_{j}-k_{j}}{\lambda+k(\lambda)-\lambda_{j}+k_{j}} \times \\
& \times \exp \left\{\frac{1}{2 \pi i} \int_{R_{\omega}} \frac{\ln \left(1+\left|b_{\rho}(\mu)\right|^{2}\right)}{k(\mu)}\left(1+\frac{k(\lambda)}{\mu-\lambda}\right) d \mu\right\},
\end{aligned}
\]

где

и условие ( $\theta$ )
\[
\theta \equiv \frac{1}{\pi} \int_{\mathbb{R}_{(j)}} \frac{\ln \left(1+\left|b_{p}(\lambda)\right|^{2}\right)}{k\left(\lambda_{i}\right)} d \lambda+2 \sum_{j=1}^{n} \arg \left(\lambda_{j}-k_{j}\right)(\bmod 2 \pi),
\]

которые согласованы с асимптотиками (9.4)-(9.5).
Решения Госта $T_{ \pm}(x, \lambda)$ при $\lambda$ из $\mathbb{R}_{\oplus}$ вводятся посредством пределов
\[
\begin{array}{l}
T_{+}(x, \lambda)=\lim _{y \rightarrow+\infty} T(x, y, \lambda) Q^{-1}(\theta) E_{\rho}(y, \lambda), \\
T_{-}(x, \lambda)=\lim _{y \rightarrow-\infty} T(x, y, \lambda) E_{\rho}(y, \lambda) .
\end{array}
\]

Первый столбец $T_{-}^{(1)}(x, \lambda)$ матрицы $T_{-}(x, \lambda)$ и второй столбец $T_{+}^{(2)}(x, \lambda)$ матрицы $T_{+}(x, \lambda)$ аналитически продолжаются на лист $\boldsymbol{\Gamma}_{+}$. Қоэффициенты перехода дискретного спектра $\gamma_{j}$ определяются из соотношений
\[
T_{-}^{(1)}\left(x, \lambda_{j}\right)=\gamma_{j} T_{+}^{(2)}\left(x, \lambda_{j}\right),
\]

являются чисто мнимыми и удовлетворяют условиям
\[
\operatorname{sign} i \gamma_{j}=\operatorname{sign} \frac{d a_{\rho}}{d \lambda}\left(\lambda_{j}\right)=\varepsilon_{j}, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Для вычисления скобок Пуассона коэффициентов перехода можно практически дословно использовать схему из $\S 6$, отправляясь от основной формулы из § 1:
\[
\{T(x, y, \lambda) \otimes T(x, y, \mu)\}=[r(\lambda-\mu), T(x, y, \lambda) \otimes T(x, y, \mu)], y<x .
\]

При этом в силу инволюций (9.6)-(9.7) можно ограничиться стучаем, когда $\lambda$ и $\mu$ из $\mathbb{R}_{\omega}^{\prime}$. Мы приведем лишь окончательные результаты.
Для решений Иоста $T_{ \pm}(x, \lambda)$ имеем соотношения
\[
\begin{array}{r}
\left\{T_{+}(x, \lambda) \otimes T_{+}(x, \mu)\right\}=-r(\lambda-\mu) T_{+}(x, \lambda) \otimes T_{+}(x, \mu)+ \\
\quad+T_{+}(x, \lambda) \otimes T_{+}(x, \mu) r_{+}(\lambda, \mu), \\
\left\{T_{-}(x, \lambda) \otimes T_{-}(x, \mu)\right\}=r(\lambda-\mu) T_{-}(x, \lambda) \otimes T_{-}(x, \mu)- \\
-T_{. .}(x, \lambda) \otimes T_{-}(x, \mu) r_{-}(\lambda, \mu),
\end{array}
\]
$u$
\[
\left\{T_{-}(x, \lambda) \otimes T_{+}(x, \mu)\right\}=0 .
\]

Здесь матрицы $r_{ \pm}(\lambda, \mu)$ даются пределами
\[
\begin{aligned}
r_{-}(\lambda, \mu) & =\lim _{y \rightarrow-\infty}\left(E_{\rho}^{-1}(y, \lambda) \otimes E_{\rho}^{-1}(y, \mu)\right) r(\lambda-\mu)\left(E_{\rho}(y, \lambda) \otimes E_{\rho}(y, \mu)\right)= \\
& =\lim _{y \rightarrow-\infty}\left(E_{\rho}^{-1}(y, \lambda) E_{\rho}(y, \mu) \otimes E_{\rho}^{-1}(y, \mu) E_{\rho}(y, \lambda)\right) r(\lambda-\mu) \quad(9.21)
\end{aligned}
\]
$u$
\[
\begin{aligned}
r_{+}(\lambda, \mu)= & \lim _{y \rightarrow+\infty}\left(E_{\rho}^{-1}(y, \lambda) \otimes E_{\rho}^{-1}(y, \mu)\right)(Q(\theta) \otimes Q(\theta)) \times \\
& \times r(\lambda-\mu)\left(Q^{-1}(\theta) \otimes Q^{-1}(\theta)\right)\left(E_{\rho}(y, \lambda) \otimes E_{\rho}(y, \mu)\right)= \\
= & \lim _{y \rightarrow+\infty}\left(E_{\rho}^{-1}(y, \lambda) E_{\rho}(y, \mu) \otimes E_{\rho}^{-1}(y, \mu) E_{\rho}(y, \lambda)\right) r(\lambda-\mu) .
\end{aligned}
\]

В последних формулах участвуют пределы выражений типа $\frac{\exp \{ \pm i(k(\lambda) \pm k(\mu)) y\}}{\lambda-\mu}$ при $y \rightarrow \pm \infty$, понимаемые в смысле обобщенных функций. При $\lambda$ из $\mathbb{R}_{\omega}^{\prime}$ функция $k(\lambda)$ монотонно возрастает, поэтому, используя (6.5), имеем
\[
\begin{aligned}
\lim _{y \rightarrow+\infty} \text { v.p. } \frac{e^{ \pm i(k(\lambda,-k(\mu) y}}{\lambda-\mu}=\lim _{y \rightarrow+\infty} \text {.p. } \frac{e^{ \pm i . k(\lambda)-k(\mu) y}}{k(\lambda)-k(\mu)} \times \\
\quad \times \frac{k(\lambda)-k(\mu)}{\lambda-\mu}= \pm \pi i \frac{d k(\lambda)}{d \lambda} \delta(k(\lambda)-k(\mu))= \pm \pi i \delta(\lambda-\mu) .
\end{aligned}
\]

Остальные пределы $\quad \lim _{y \rightarrow \infty}$ v. p. $\frac{e^{ \pm i(k(\lambda)+k(\mu) \cdot y}}{\lambda-\mu}, \lim _{y \rightarrow \infty}$ v.p. p. $\frac{e^{ \pm i k(\lambda) y}}{\lambda-\mu}$, $\lim _{y \rightarrow \infty}$ v.p. $\frac{e^{ \pm i k \mu i y}}{\lambda-\mu}$ исчезают. Подчеркнем, что $\lambda$ и $\mu$ из $\mathbb{R}_{0}^{\prime}$, так что $|\lambda|,|\mu|>\omega$.

В результате для матриц $r_{ \pm}(\lambda, \mu)$ получаем окончательное выражение
$\left.r_{ \pm}(\lambda, \mu)=-x \left\lvert\, \begin{array}{cccc}\text { v.p. } \frac{\alpha(\lambda, \mu)}{\lambda-\mu} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \text { v. p. } \frac{\beta(\lambda, \mu)}{\lambda-\mu} & \pm \pi i \delta(\lambda-\mu) & 0 \\ 0 & 7 \pi i \delta(\lambda-\mu) & \text { v. p. } \frac{\beta(\lambda, \mu)}{\lambda-\mu} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \text { v.p. } \frac{\alpha(\lambda, \mu)}{\lambda-\mu}\end{array}\right.\right)$,
$2 \partial e$
\[
\alpha(\lambda, \mu)=\frac{1}{2}+\frac{\lambda \mu-\omega^{2}}{2 k(\lambda) k(\mu)}, \quad \beta(\lambda, \mu)=\frac{1}{2}-\frac{\lambda \mu-\omega^{2}}{2 k(\lambda) k(\mu)},
\]

так что
\[
\alpha(\lambda, \mu)+\beta(\lambda, \mu)=1 \text {. }
\]

Для приведенной матрицы монодромии $T_{\rho}(\lambda)$ имеем
\[
\left\{T_{\rho}(\lambda) \otimes T_{\rho}(\mu)\right\}=r_{+}(\lambda, \mu) T_{\rho}(\lambda) \otimes T_{\rho}(\mu)-T_{\rho}(\lambda) \otimes T_{\rho}(\mu) r_{-}(\lambda, \mu) .
\]

Приведем теперь выражения для скобок Пуассона коэффициентов перехода и дискретного спектра, которые следуют из соотношений (9.18) – (9.21) и (9.24) – (9.27). Начнем с непрерывного спектра. Имеем
\[
\begin{array}{l}
\left\{a_{\rho}(\lambda), a_{\rho}(\mu)\right\}=\left\{a_{\rho}(\lambda), \bar{a}_{\rho}(\mu)\right\}=0 \\
\left\{a_{\rho}(\lambda), b_{\rho}(\mu)\right\}=\frac{x\left(\lambda \mu-\omega^{2}\right)}{k(\lambda) k(\mu)(\lambda-\mu+i 0)} a_{\rho}(\lambda) b_{\rho}(\mu) \\
\left\{a_{\rho}(\lambda), \bar{b}_{\rho}(\mu)\right\}=-\frac{x\left(\lambda \mu-\omega^{2}\right)}{k(\lambda) k(\mu)(\lambda-\mu+i 0)} a_{\rho}(\lambda) \overline{b_{\rho}}(\mu)
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{c}
\left\{b_{\rho}(\lambda), b_{\rho}(\mu)\right\}=0 \\
\left\{b_{\rho}(\lambda), \bar{b}_{\rho}(\mu)\right\}=2 \pi i x\left|a_{\rho}(\lambda)\right|^{2} \delta(\lambda-\mu)
\end{array}
\]

где $\lambda$ и $\mu$ из $\mathbb{R}_{\omega}^{\prime}$. При этом формулы (9.28)-(9.30) допускают аналитическое продолжение по $\lambda$ на лист $\boldsymbol{\Gamma}_{+}$вне точек ветвления.
Для характеристик дискретного спектра имеем
\[
\begin{array}{l}
\left\{b_{\rho}(\lambda), \lambda_{j}\right\}=\left\{\bar{b}_{\rho}(\lambda), \lambda_{j}\right\}=0, \\
\left\{b_{\rho}(\lambda), \gamma_{j}\right\}=\left\{\vec{b}_{\rho}(\lambda), \gamma_{i}\right\}=0, \\
\left\{a_{\rho}(\lambda), \gamma_{i}\right\}=\frac{\chi\left(\lambda \lambda_{j}-\omega^{2}\right)}{k\left(\lambda_{i} k_{j}\left(\lambda-\lambda_{j}\right)\right.} a_{\rho}(\lambda) \gamma_{j}
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{c}
\left\{\lambda_{j}, \lambda_{l}\right\}=\left\{\gamma_{j}, \gamma_{l}\right\}=0, \\
\left\{\gamma_{j}, \lambda_{l}\right\}=x \delta_{j l} \gamma_{j}, \quad j, l=1, \ldots, n .
\end{array}
\]

Из приведенных формул получаем, что для $\lambda$ из $\mathbb{R}_{\omega}^{\prime}$ набор переменных
\[
\begin{array}{c}
\rho(\lambda)=\frac{1}{2 \pi x} \ln \left(1+\left|b_{\rho}(\lambda)\right|^{2}\right), \quad \varphi(\lambda)=-\arg b_{\rho}(\lambda), \\
p_{i}=-\frac{1}{x} \lambda_{j}, \quad q_{j}=\ln i \varepsilon_{j} \gamma_{j}, \quad j=1, \ldots, n,
\end{array}
\]

является каноническим, т. е. их неисчезающие скобки Пуассона имеют вид
\[
\{\rho(\lambda), \varphi(\mu)\}=\delta(\lambda-\mu), \quad\left\{p_{j}, q_{l}\right\}=\delta_{j l}, \quad j, l=1, \ldots, n .
\]

Переменные $\rho(\lambda), \varphi(\lambda)$ и $q_{j}$ имеют ту же область значений $0 \leqslant \rho(\lambda)<\infty, 0 \leqslant \varphi(\lambda)<2 \pi$ и – $\infty<q_{j}<\infty$, что и в быстроубывающем случае. Однако для переменной $p_{j}$ эта область значений становится ограниченной $-\omega / x<p_{j}<\omega / x$.

Для вывода формул (9.40) можно воспользоваться рассуждениями из § 7. Альтернативный способ основан на соотношении (9.29). Запишем его в виде
\[
\left\{\ln a_{\rho}(\lambda), \ln b_{\rho}(\mu)\right\}=\frac{\alpha\left(\lambda \mu-\omega^{2}\right)}{k(\lambda) k(\mu)(\lambda-\mu+i 0)}
\]

и рассмотрим мнимую часть этого равенства. Из условия нормировки (9.3) и (9.28) следует, что
\[
\left\{\arg a_{\rho}(\lambda), \ln \left|b_{\rho}(\mu)\right|\right\}=0,
\]

так что мнимая часть слева в (9.41) дается скобкой Пуассона $\left\{\ln \left|a_{\rho}(\lambda)\right|, \arg b_{\rho}(\mu)\right\}$. Мнимая часть справа тривиально вычисляется по формуле (6.19). В результате получаем соотношение
\[
\left\{\ln \left|a_{\rho}(\lambda)\right|, \arg b_{\rho}(\mu)\right\}=-\pi x \delta(\lambda-\mu),
\]

которое эквивалентно первой формуле в (9.40).
Подчеркнем, что формуль (9.40) были получены нали только для $\lambda$ и $\mu$, не совпадающих с краями непрерывного спектра $\pm \omega$. Поэтому они нуждаются в доопределении. Следующее рассуждение показывает, что это доопределение метривиально.
Условие ( $\theta$ ) в новых переменных переписывается в виде
\[
2 \varkappa \int_{R_{\omega}} \frac{\rho(\lambda)}{k(\lambda)} d \lambda+2 \sum_{j=1}^{n} \arccos \frac{x p_{i}}{\omega} \equiv \theta(\bmod 2 \pi),
\]

и скобка Пуассона левой части этого равенства со всеми наб.юдаемыми должна исчезать. Действительно, фаза $\theta$ не является динамической переменной, а играет роль номера фазового пространства $\mathscr{M}_{\rho, \theta}$. С другой стороны, буквально используя формулы (9.40), получаем, что скобки Пуассона
\[
\{\theta, \varphi(\lambda)\}=\frac{\mathbf{2} \iota}{k(\lambda)}, \quad\left\{\theta, q_{j}\right\}=-\frac{2 i \kappa}{k_{i}}
\]

не исчезают тождественно. Корректное доопределение скобок $/ \mathrm{y}$ ассона (9.40) долюно разрешить этот «парадокс».

Для этого заметим, что соотношения (9.40) понимаются в смысле обобщенных функций. Так, например, первая формула в (9.40) приводит к соотношению
\[
\left\{\int_{R_{\omega}} f(\lambda) \rho(\lambda) d \lambda, \varphi(\mu)\right\}=f(\mu),
\]

которое, конечно, справедливо, если $f(\lambda)$ – гладкая функция на $\mathbb{R}_{\omega}$, включая и точки $\lambda= \pm \omega$. Однако формула (9.44), а также и выражения для локальных интегралов движения $J_{2 t, \rho}$, приведенные ниже, показывают, что нам встречаются и функции $f(\lambda)$, имеющие при $\lambda= \pm \omega$ особенности типа $\frac{1}{k(\lambda)}$. Таким образом, мы должны более внимательно проанализировать вывод соотношений (9.40) в окрестности точек $\lambda= \pm \omega$.

Рассмотрим еще раз правую часть формулы (9.41) при $\lambda$ из $\Gamma_{+}$вне разреза $\mathbb{R}_{\bullet}$. Для таких $\lambda$ имеем $\operatorname{Im} k(\lambda)>0$, так что для $\lambda$ из $\mathbb{R}_{\omega}$
\[
\frac{1}{k(\lambda+i 0)}=\frac{1}{k(\lambda)+i 0}
\]
ную в формуле (9.43). Таким образом, это соотношение доопределяется при $\lambda= \pm \omega$ следующим формальным выражением:
\[
\left\{\ln \left|a_{\rho}(\lambda)\right|, \arg b_{\rho}(\mu)\right\}=-x \pi \delta(\lambda-\mu)-\frac{\pi x\left(\lambda \mu-\omega^{2}\right)}{k(\mu)(\lambda-\mu)} \delta(k(\lambda)) .
\]

Конечно, второе слагаемое в правой части этой формулы исчезает при применении к гладким функциям $f(\lambda)$, так как по формуле замены переменных
\[
\delta(k(\lambda))=\frac{k(\lambda)}{\omega}(\delta(\lambda-\omega)-\delta(\lambda+\omega))
\]

и
\[
\int_{R_{\omega}^{\prime}} f(\lambda) \delta(k(\lambda)) d \lambda=\frac{1}{2 \omega}(k(\omega) f(\omega)-k(-\omega) f(-\omega))=0,
\]

поскольку $k( \pm \omega)=0$.
Однако, как мы только что отмечали, нам нужны также и функции $f(\lambda)$, имеющие при $\lambda= \pm \omega$ сингулярности типа $\frac{1}{k(\lambda)}$. Они представляются в следующем виде:
\[
f(\lambda)=\frac{f_{1}(\lambda)}{k(\lambda)}+f_{2}(\lambda)
\]

где $f_{1}(\lambda)$ и $f_{2}(\lambda)$-гладкие функции. Для таких функций имеем
\[
\int_{R_{\omega}} f(\lambda) \delta(k(\lambda)) d \lambda=\frac{1}{2 \omega}\left(f_{1}(\omega)-f_{1}(-\omega)\right) .
\]

Действительно, в этот интеграл дает вклад только первое слагаемое в (9.51). Совершая замену переменной $k=k(\lambda)$,

имеем
\[
\int_{\mathbb{R}_{\boldsymbol{\omega}}} \frac{f_{1}(\lambda)}{k(\lambda)} \delta(k(\lambda)) d \lambda=\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}_{1}(k) \delta(k) d k,
\]

где $f_{1}(k)=\frac{f_{1}(\lambda(k))}{\lambda(k)}$ и $\lambda(k)=\sqrt{k^{2}+\omega^{2}}$. Эта функция разрывна при $k=0$, поскольку $\lambda( \pm 0)= \pm \omega$, поэтому
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}_{1}(k) \delta(k) d k=\frac{1}{2}\left(\tilde{f}_{1}(+0)+\tilde{f}_{1}(-0)\right)=\frac{1}{2 \omega}\left(f_{1}(\omega)-f_{1}(-\omega)\right) .
\]

Итак, формула (9.52) дает строгое определение обобщенной функции $\delta(k(\lambda))$ на расширенном пространстве основных функций вида (9.51).

В аналогичной модификации нуждается и исчезающая при $\lambda
eq \pm \omega$ скобка Пуассона $\left\{\ln \left|a_{\rho}(\lambda)\right|, \ln \left|\gamma_{j}\right|\right\}$. Отправляясь от формулы (9.35), переписанной в виде
\[
\left\{\ln a_{0}(\lambda), \ln \gamma_{j}\right\}=\frac{\gamma\left(\lambda \lambda_{j}-\omega^{2}\right)}{k(\lambda) k_{j}\left(\lambda-\lambda_{j}\right)},
\]

и вычисляя ее вещественную часть, имеем
\[
\left\{\ln \left|a_{p}(\lambda)\right|, \ln \left|\gamma_{j}\right|\right\}=-\frac{\pi i x\left(\lambda \lambda_{j}-\omega^{2}\right)}{k_{j}\left(\lambda-\lambda_{j}\right)} \delta(k(\lambda)), \quad j=1, \ldots, n .
\]

Остальные скобки Пуассона переменных (9.38) – (9.39) в модифнкации не нуждаются.

Таким образол, неисчезающие скобки Пуассона переменных $\rho(\lambda), \varphi(\lambda), p_{j}, q_{j}$, справедливые для всех $|\lambda| \geqslant \omega$, имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\{\rho(\lambda), \varphi(\mu)\}=\delta(\lambda-\mu)-\frac{1}{k(\mu)} \delta^{*}(k(\lambda)), \\
\left\{\rho(\lambda), q_{j}\right\}=\frac{i}{k_{j}} \delta^{*}(k(\lambda))
\end{array}
\]
$u$
\[
\left\{p_{j}, q_{l}\right\}=\delta_{j l}, \quad j, l=1, \ldots, n .
\]

Здесь обобщенная функция $\delta^{*}(k(\lambda))$ дается соотношением
\[
\delta^{*}(k(\lambda))=\frac{\omega^{2}-\lambda \mu}{\lambda-\mu} \delta(k(\lambda))
\]

и на самом деле не зависит от $\mu$. Действительно, как это вытекает из (9.52), на функциях $f(\lambda)$ вида (9.51) $\delta^{*}(k(\lambda))$ определя-

ется следующим образом:
\[
\int_{\mathbb{R}_{\omega}} f(\lambda) \delta^{*}(k(\lambda)) d \lambda=\frac{f_{1}(\omega)+f_{1}(-\omega)}{2} .
\]

Отметим здесь еще одно отличие от быстроубывающего случая, связанное с наличием лакуны в непрерывном спектре вспомогательной линейной задачи. В случае общего положения переменная $\rho(\lambda)$ имеет особенность типа $\ln \frac{1}{|k(\lambda)|}$ при $\lambda \rightarrow \pm \omega$; в этом случае значения $\varphi( \pm \omega)$ фиксированы и равны 0 или $\pi$ в согласии с формулами (9.10) и (9.38). Если $\lambda=\omega$ или $\lambda=-\omega$ или оба эти значения являются виртуальными уровнями, то переменная $\rho(\lambda)$ в этих точках конечна, а $\varphi(\lambda)$ в силу инволюции (9.7) принимает значения $\pm \pi / 2$. Кроме того, выполняется условне $(\theta)$. Сформулированные условия полностью характеризуют образ фазового пространства $\mathscr{M}_{\rho, \theta}$ при отображении $\mathscr{F}$ из гл. II.

Таким образом, переменные $\rho(\lambda), \varphi(\lambda), p_{j}$ и $q_{j}$ с описанными ограничениями можно рассматривать как новые координаты на фазовом пространстве $\mathscr{A}_{\rho, \theta}$.

Убедимся теперь, что корректные скобки Пуассона (9.57)(9.59) разрешают упомянутый выше парадокс, связанный с условием ( $\theta$ ). Действительно, используя формулу (9.44), соотношения (9.57)-(9.59) и определение (9.61), имеем
\[
\{\theta, \varphi(\lambda)\}=\int_{\mathbb{R}_{\omega}} \frac{\delta \theta}{\delta \rho(\mu)}\{\rho(\mu), \varphi(\lambda)\} d \mu=\frac{2 \%}{k(\lambda)}-\frac{2 \%}{k(\lambda)}=0
\]

и
\[
\left\{\theta, q_{i}\right\}=\int_{R_{\omega}} \frac{\delta \theta}{\delta \rho(\lambda)}\left\{\rho(\lambda), q_{i}\right\} d \lambda+\frac{\partial \theta}{\partial p_{j}}=\frac{2 i \varkappa}{k_{j}}-\frac{2 i \%}{k_{j}}=0 .
\]

Можно привести еще целый ряд кажущихся парадоксов, связанных с использованием наивных скобок Пуассона (9.40). Все они снимаются после сделанного нами корректного доопределения этих скобок Пуассона. Один пример такого типа будет разобран ниже в связи с высшими уравнениями НШ. Приведем здесь другой пример. Если вычислить скобку Пуассона $\left\{\alpha_{\rho}(\lambda)\right.$, $\left.b_{\rho}(\mu)\right\}$, используя дисперсионное соотношение (9.11) и наивные скобки Пуассона (9.40), то ответ не будет согласован с формулой (9.29). Однако такое согласование получится после использования корректных скобок Пуассона (9.57)- (9.59).

Итак, окончательную форму скобок Пуассона для переменных $\rho(\lambda), \varphi(\lambda), p_{j}, q_{j}$ дают формуль (9.57)-(9.59). Не выписанные в этих формулах скобки Пуассона тождественно исчезают.

Явный вид окончательных скобок Пуассона не позволяет назвать величины $\rho(\lambda), \varphi(\lambda), p_{j}, q_{j}$ переменными типа действие –

угол в буквальном смысле. Так, например, переменная дискретного спектра $q_{j}$ (обобщенный угол) не находится в инволюции с переменной непрерывного спектра $\rho(\lambda)$ (обобщенное действие). Кроме того, скобка Пуассона (9.57) между $\rho(\lambda)$ и $\varphi(\mu)$ не имеет явно канонического вида. Эти обстоятельства отличают рассматриваемый нами случай от быстроубывающего.

Однако пуассонова структура, задаваемая скобками Пуассона (9.57) – (9.59), хорошо приспособлена к динамике, порождаемой локальными интегралами движения модели НШ, и практически не менее удобна, чем явные переменные типа действие угол в быстроубывающем случае. Так, мы скоро убедимся, что все высшие уравнения НШ явно интегрируются в новых переменных $\rho(\lambda), \varphi(\lambda), p_{j}, q_{j}$.

Однако полное описание алгебры наблюдаемых на фазовом пространстве $\mathscr{M}_{\rho, \theta}$ в этих координатах гораздо сложнее, чем то, которое было дано в $\$ 7$ для быстроубывающего случая. Мы не будем здесь заниматься этой громоздкой и нетривиальной задачей. Скажем только, что условия, накладываемые на допустимые функционалы $F$, должны гарантировать, что порожденные ими по скобкам Пуассона (9.57) –(9.59) гамильтоновы уравнения движения для переменных $\rho(\lambda), \varphi(\lambda), p_{j}, q_{j}$ не выводят из өписанного выше класса.

Перейдем теперь к рассмотрению гамильтоновых потоков, порождаемых локальными интегралами движения $J_{l, \rho}$. Эти функнионалы были введены в § I.10. Приведенные там формулы тождества следов – позволяют явно выразить $J_{l, \rho}$ через переменные $\rho(\lambda)$ и $p_{j}$. Имеем
\[
J_{l, \rho}=\int_{R_{\omega}} \lambda k^{l-2}(\lambda) \rho(\lambda) d \lambda+\frac{(-1)^{(l+1) / 2}}{x l} \sum_{j=1}^{n}\left(\omega^{2}-x^{2} p_{j}^{2}\right)^{l / 2}
\]

для нечетных $l \geqslant 1$ и
\[
\begin{array}{l}
J_{l, 0}=\int_{R_{i}}^{Z} \frac{1}{k(\lambda)} \sum_{m=0}^{l / 2}\left(\begin{array}{c}
1 / 2 \\
m
\end{array}\right) \omega^{m} k^{l-2 m}(\lambda) \rho(\lambda) d \lambda- \\
-\frac{1}{l} \sum_{j=1}^{n} \frac{p_{j}}{\sqrt{\omega^{2}-x^{2} p_{j}^{3}}} \sum_{m=0}^{l / \cdots-1}(-1)^{l / 2-m} \omega^{2 m}\left(\begin{array}{c}
-1 / 2 \\
m
\end{array}\right)\left(\omega^{2}-\chi^{2} p_{j}^{3}\right)^{l / 2-m}
\end{array}
\]

для четных $l$.
Мы показали в § 4 , что интегралы движения $J_{l, \mathrm{p}}$ являются при $l>1$ допустимыми функционалами на фазовом пространстве $\mathscr{M}_{\rho, \theta}$ и находятся в инволюции. Они порождают высшие уравнения НШ для случая конечной плотности:
\[
\frac{\partial \psi}{\partial t}=\left\{J_{l, \rho}, \psi\right\}, \quad \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial t}=\left\{J_{l, \rho}, \bar{\psi}\right\} .
\]

Убедимся, что в новых переменных $\rho(\lambda), \varphi(\lambda), p_{j}, q_{j}$ эти уравнения явно решаются.

Рассмотрим сначала нечетные $l>1$. В этом случае вариационная производная
\[
\frac{\delta J_{l, \rho}}{\delta \rho(\lambda)}=\lambda k^{l-2}(\lambda)
\]

регулярна при $\lambda= \pm \omega$, так что скобки Пуассона (9.57)-(9.59) сводятся к наивным выражениям (9.40). Уравнения (9.66) в новых переменных приобретают вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \rho(\lambda)}{\partial t}=\left\{J_{l, \rho}, \rho(\lambda)\right\}=0, \frac{d p_{j}}{d t}=\left\{J_{l, \rho}, p_{i}\right\}=0, \\
\frac{\partial \psi(\lambda)}{\partial t}=\left\{J_{l, \rho}, \varphi(\lambda)\right\}=\lambda k^{l-2}(\lambda), \\
\frac{d q_{j}}{d t}=\left\{J_{l, \rho}, q_{i}\right\}=-i \lambda_{j} k_{j}^{l-2}, \quad j=1, \ldots, n,
\end{array}
\]

и явно решаются. Для их решения получаем формулы, которые удобно записать в терминах коэффициентов перехода:
\[
\begin{aligned}
a_{\rho}(\lambda, t) & =a_{\rho}(\lambda, 0), \quad b_{\rho}(\lambda, t)=e^{-i: k^{l-2}(\lambda) t} b_{\rho}(\lambda, 0), \\
\gamma_{j}(t) & =e^{-i \lambda_{j} k_{j}^{l-2} t} \gamma_{j}(0), \quad j=1, \ldots, n .
\end{aligned}
\]

В частности, при $l=3$ получаем знакомые формулы (I.10.7) для уравнения НШ.

В случае $l=1$ подынтегральная функция в (9.64) имеет при $\lambda \rightarrow \pm \omega$ сингулярность вида $\frac{1}{k(\lambda)}$, и на первый взгляд мы должны использовать скобки Пуассона (9.57)-(9.59). Однако коэффициент при $\frac{1}{k(\lambda)}$ – функция $f_{1}(\lambda)=\lambda$ – нечетен и не дает вклада в (9.61). Таким образом, мы имеем соотношение
\[
\left\{J_{1, \rho}, \varphi(\lambda)\right\}=\frac{\lambda}{k(\hat{\lambda})},
\]

и уравнение движения
\[
\frac{\partial \varphi(\lambda)}{\partial t}=\left\{J_{1, \rho}, \varphi(\lambda)\right\}
\]

имеет формальное решение
\[
\varphi(\lambda, t)=\varphi(\lambda, 0)+\frac{\lambda}{k(\lambda)} t .
\]

Это решение, однако, сингулярно при $\lambda \rightarrow \pm \omega$ для любого $t>0$ и выводит нас из класса допустимых $\varphi(\lambda)$. Действительно, в случае виртуального уровня переменная $\varphi(\lambda)$ регулярна при $\lambda=$

$= \pm \omega$, а в случае общего положения принимает в этих точках значения $0, \pi$.

Таким образом, мы еще раз убедились, что функционал $J_{1, \mathrm{p}}=$ $=N$ – аналог заряда в быстроубывающем случае (см. § I.1) является недопустимым функционалом на фазовом пространстве $\mathscr{A}_{\rho, \theta}$.
Рассмотрим теперь четные $l$. Имеем из (9.65)
\[
\frac{\delta J_{l, \rho}}{\delta \rho(\lambda)}=\frac{\omega^{l}\left(\begin{array}{c}
1 / 2 \\
l_{1}
\end{array}\right)}{k\left(\lambda_{i}\right)}+g_{l}(\lambda),
\]

где
\[
g_{l}(\lambda)=\sum_{m=0}^{l / 2-1}\left(\begin{array}{c}
1 / 2 \\
m
\end{array}\right) \omega^{\cdots m} k^{l-2 m-1}(\lambda) .
\]

Поэтому при написании уравнений движения нам следует использовать скобки Пуассона (9.57)-(9.59). Имеем
\[
\left\{J_{l, \rho}, \varphi(\lambda)\right\}=g_{l}(\lambda)
\]

и аналогично
\[
\left\{J_{l, \rho}, q_{j}\right\}=-i g_{t}\left(\lambda_{j}\right), \quad j=1, \ldots, n .
\]

Поэтому в случае четных $l$ динамика высших уравнений НШ задается формулами
\[
\begin{array}{c}
a_{\rho}(\lambda, t)=a_{\rho}(\lambda, 0), \quad b_{\rho}(\lambda, t)=e^{-i g_{l}(\lambda .) t} b_{\rho}(\lambda, 0), \\
\gamma_{i}(t)=e^{\left.-i g_{l} \hbar_{j}\right) t} \gamma_{j}(0), \quad j=1, \ldots, n .
\end{array}
\]

В частности, при $l=2$ функционал $J_{2, p}$ совпадает с импульсом $P$ (см. $\S$ I.10). Функция $g_{2}(\lambda)$ имеет вид
\[
g_{2}(\lambda)=k(\lambda) .
\]

Это выражение согласовано с интерпретацией импульса как генератора сдвига по пространственной переменной $x$.

Отметим, что если бы в случае четных $l$ при выводе уравнения двикения для $\varphi(\lambda)$ мы использовали наивные скобки Пуассона (9.40), то получили бы выражение, сингулярное при $\lambda \rightarrow \pm \omega$. Это означало бы, что функционалы $J_{l_{t},}$ являются недопустимыми. Однако мы знаем, что этб не так, и именно использование корректных скобок Пуассона (9.57)-(9.59) снимает возможное противоречие.

Так же как и в быстроубывающем случае, формулы (9.64) (9.65) для интегралов движения интерпретируются в терминах независимых мод, нумеруемых непрерывной переменной $\lambda$ из $\mathbb{R}_{\omega}$ и дискретной переменной $j$. Однако следует помнить, что переменные $\rho(\lambda)$ и $p_{j}$, описывающие аддитивный вклад этих мод

в интегралы движения, связаны одним условием – условием ( $\theta$ ). От него можно освободиться, перейдя к объединению фазовых пространств $\mathscr{M}_{\rho, \theta}$
\[
\mathscr{M}_{\rho}=\bigcup_{0 \leqslant \theta<2 \pi} \mathscr{M}_{\rho, \theta}
\]

При этом в фазовом пространстве $\mathscr{M}_{\rho}$ пуассонова структура (9.57) – (9.59) становится вырожденной.

Поучительно рассмотреть энергию и импульс отдельных мод. Для этого перепишем выражения функционалов импульса $P$ и энергии $H_{p}=J_{3, \rho}$, сделав замену
\[
P \mapsto P_{\rho}=P-\rho^{2} \theta, \quad \rho=\frac{\omega}{2 \sqrt{x}},
\]

не влияющую на уравнения движения, смысл которой станет ясен чуть ниже. Имеем
\[
P_{\rho}=\int_{R_{\omega}} k(\lambda) \rho(\lambda) d \lambda+2 \sum_{j=1}^{n}\left(\frac{p_{j}}{4} \sqrt{\omega^{2}-x^{2} p_{j}^{3}}-\rho^{2} \arccos \frac{x p_{j}}{\omega}\right)
\]

и
\[
H_{\rho}=\int_{\mathbb{R}_{\boldsymbol{\omega}}} \lambda k(\lambda) \rho(\lambda) d \lambda+\frac{1}{3 \%} \sum_{j=1}^{n}\left(\omega^{2}-x^{2} p_{j}^{2}\right)^{3 / 2} .
\]

Здесь выбрана главная ветвь функции $\arccos x$ : для $-1 \leqslant x \leqslant 1$ имеем $0 \leqslant \arccos x \leqslant \pi$.

Энергия и импульс отдельной моды непрерывного спектра с номером $\lambda$, где $\lambda$ – из $\mathbb{R}_{\omega}$, даются формулами
\[
E(\lambda)=\lambda k(\lambda)
\]

и
\[
P(\lambda)=k(\lambda)
\]
(сравни с (9.80)). При этом импульс $P(\lambda)$ меняется на всей оси, а энергия $E(\lambda)$ положительна и исчезает при $\lambda= \pm \omega$, т. е. когда $P(\lambda)=0$. Именно с этой целью и был осуществлен сдвиг импульса $P$ на константу $-\rho^{2} \theta$. Закон дисперсии мод непрерывного спектра имеет вид
\[
E=|P| \sqrt{P^{2}+\omega^{2}} .
\]

Вторые слагаемые в формулах (9.83)- (9.84) представляют собой вклад мод дискретного спектра, отвечающих солитонам. Энергия и импульс солитона с номером $j$ имеют вид
\[
\begin{array}{c}
E_{j}=\frac{1}{3 \varkappa}\left(\omega^{2}-\varkappa^{2} p_{j}^{2}\right)^{3 / 2}, \\
P_{j}=\frac{p_{j}}{2} \sqrt{\omega^{2}-x^{2} p_{j}^{2}}-2 \rho^{2} \arccos \frac{\varkappa p_{j}}{\omega} .
\end{array}
\]

При этом, когда $p_{j}$ меняется от $-\omega / x$ до $\omega / x$, импульс солитона монотонно возрастает и пробегает зону Бриллюэна $\left[-2 \pi \rho^{2}, 0\right]$. Таким образом, имеем неравенства
\[
-2 \pi \rho^{2} \leqslant P_{j} \leqslant 0 .
\]

Закон дисперсии для солитонов уже нельзя задать в явном виде при помощи элементарных функций, однако при $P_{j} \rightarrow 0$ и $P_{5} \rightarrow 2 \pi \rho^{2}$ имеем, соответственно,
\[
E_{j}==\omega\left|P_{j}\right|+O\left(P_{j}^{3}\right)
\]

и
\[
E_{j}=\omega\left|P_{j}+2 \pi \rho^{2}\right|+O\left(\left(P_{j}+2 \pi \rho^{2}\right)^{2}\right) .
\]

Первая из этих формул асимптотически совпадает с (9.87).
Таким образом, в случае конечной плотности существуют две согласованные ветви квазиклассического спектра возбуждений. Закон дисперсии для первой ветви линеен при малых импульсах. Для второй ветви подобная линейность имеет место для импульсов, меняющихся в окрестности концов зоны Бриллюэна. Такая дисперсия типична для так называемых бесщелевых или боголюбовских возбуждений.

В отличие от быстроубывающего случая, законы дисперсии для мод непрерывного спектра и солитонов существенно различаются. Поэтому здесь нельзя думать, что моды непрерывного спектра можно получить сгущением или каким-нибудь другим предельным переходом из солитонов.

В заключение этого параграфа рассмотрил динамику солитонов с гамильтоновой точки зрения. Условие ( $\theta$ ) приводит к существенному отличию от быстроубывающего случая. Именно, хотя подмногообразие $\Gamma_{n, \theta}$ в фазовом пространстве $\mathscr{M}_{\rho, \theta}$, соответствующее $n$-солитонным решениям, инвариантно относительно динамики, на нем не наследуется пуассонова структура из $\mathscr{M}_{\rho, \theta}$.

Действительно, естественные координаты $p_{j}, q_{j}, j=1, \ldots, n$, на $\Gamma_{n, \theta}$, задаваемые формулами (9.39), связаны условием
\[
2 \sum_{j=1}^{n} \arccos \frac{x p_{j}}{\boldsymbol{\omega}} \equiv \theta(\bmod 2 \pi),
\]

и таким образом, $\Gamma_{n, \theta}$ нечетномерно. Поэтому симплектическая форма, определяемая вложением $\Gamma_{n, \theta}$ в $\mathscr{M}_{\rho, \theta}$, вырожденна и с ней нельзя связать пуассонову структуру.

Альтернативный подход состоит в отказе от условия ( $\theta$ ) и переходе к фазовому пространству $\mathscr{M}_{\rho}$. Однако пуассонова структура на $\mathscr{M}_{\rho}$ вырожденна, и мы не можем определить по ней симплектическую форму, необходимую для спуска на солитонные подмногообразия.

Указанное обстоятельство проявляется в том, что наивное условие $\rho(\lambda)=0$ при всех $\lambda$ из $\mathbb{R}_{\omega}$ не согласовано с корректны-

ми скобками Пуассона (9.57)-(9.59). Мы видим еще раз, что в нашем случае переменные дискретного и непрерывного спектра не отделяются друг от друга согласованным с пуассоновой структурой образом.

Однако это препятствие можно преодолеть в случае всех высших уравнений НШ. Поучительно рассмотреть сначала пример односолитонного решения
\[
\psi(x, t)=\rho \frac{1+e^{i \theta} e^{v\left(x-v t-x_{0}\right)}}{1+e^{v\left(x-v t-x_{0}\right)}},
\]

где
\[
v=\lambda_{0}=-\omega \cos \frac{\theta}{2}, \quad x_{0}=\frac{1}{v} \ln i \gamma_{0}, \quad v=\omega \sin \frac{\theta}{2}
\]
(см. § II.8). При фиксированном $\theta$ этому решению отвечает одномерное пространство $\Gamma_{1, \theta}$, свободной координатой в котором является $x_{0}$. Однако динамику
\[
x_{0}(t)=x_{0}+v t, \quad v=\mathrm{const},
\]

порожденную уравнением HU, можно получить гамильтоновым образом, исходя из гамильтониана
\[
H_{\mathrm{sol}}^{(1)}=\frac{1}{3 \%}\left(\omega^{2}-x^{2} p^{2}\right)^{3 / 2}
\]

и скобок Пуассона
\[
\{p, q\}=1,
\]

где
\[
p=-v / x, \quad q=v x_{0} .
\]

При этом, конечно, мы отказываемся от условия ( $\theta$ ), и сама величина $\theta$ формально не является аннулятором.

Аналогичные соображения относятся и к $n$-солитонному решению и отвечающему ему подмногообразию $\Gamma_{n, \theta}$. В координатах $p_{j}, q_{j}$, введенных в (9.39), динамика по уравнению НШ задается гамильтонианом
\[
H_{\mathrm{sol}}^{(n)}=\frac{1}{3 \varkappa} \sum_{j=1}^{n}\left(\omega^{2}-\chi^{2} p_{j}^{\mathrm{o}}\right)^{3 / 2}
\]

и каноническими скобками Пуассона
\[
\left\{p_{j}, q_{l}\right\}=\delta_{j l}, \quad j, l=1, \ldots, n .
\]

Более того, динамике по высшим уравнениям НШ (см. формулы (9.71) и (9.79)) соответствуют гамильтонианы
\[
J_{l, \mathrm{sol}}=\frac{(-1)^{(l+1) / 2}}{x l} \sum_{j=1}^{n}\left(\omega^{2}-x^{2} p_{j}^{2}\right)^{l / 2}
\]

для нечетных $l$ и
\[
\begin{array}{r}
J_{l, \mathrm{sol}}=\frac{1}{l} \sum_{j=1}^{n} \sum_{m=0}^{l / 2-1}(-1)^{l / 2-m-1}\left(\begin{array}{c}
-1 / 2 \\
m
\end{array}\right) \omega^{2 m} p_{j}\left(\omega^{2}-x^{2} p_{j}^{g}\right)^{(l-1) / 2-m}- \\
-\frac{\omega^{l}}{\varkappa}\left(\begin{array}{c}
1 / 2 \\
l / 2
\end{array}\right) \sum_{j=1}^{n} \arccos \frac{x p_{j}}{\omega}
\end{array}
\]

для четных $l$.
Д.тя нечетных $l$ эти гамильтонианы получаются из локальных интегралов движения $J_{l, \rho}$, если в (9.64) положить $\rho(\lambda)=0$. В случае четных $l$ из интегралов $J_{l, \rho}$ следует сперва вычесть величину $\frac{\omega^{l}}{2 \chi}\left(\begin{array}{c}1 / 2 \\ l / 2\end{array}\right) \theta$ с тем, чтобы подынтегральное выражение в (9.65) было гладким при $\lambda= \pm \omega$, и затем положить $\rho(\lambda)=0$.

Скобки Пуассона (9.101) получаются из наивных скобок Пуассона (9.40) после редукции $\rho(\lambda)=0$. Как уже отмечалось выше, наивные скобки Пуассона допустимы для функционалов ьнда
\[
F=\int_{\mathbb{R}_{\omega}} f(\lambda) \rho(\lambda) d \lambda+\Phi\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right),
\]

где $f\left(\lambda_{0}\right)$ – гладкая функция на $\mathbb{R}_{\omega}$, включая и $\lambda= \pm \omega$. В этом смысле согласованы выбор скобок Пуассона (9.101) и только что описанная регуляризация интегралов движения. Ясно, что при регуляризации величина $\theta$ формально исчезает и тривиально находится в инволюции с $p_{j}$ и $q_{j}$.

Обсудим теперь рассеяние солитонов с гамильтоновой точки зрения. В § II. 8 было показано, что при рассеянии солитонов происходят лишь сдвиги координат $q_{j}$ :
\[
q_{i}^{(+)}=q_{i}^{-1}+\Delta q_{i}
\]

где
\[
\Delta q_{i}=2 \sum_{l=1}^{i-1} \ln \frac{\omega\left(1-\cos \left(\frac{\theta_{j}+\theta_{l}}{2}\right)\right)}{\varkappa\left(p_{l}-p_{j}\right)}-2 \sum_{l=j+1}^{n} \ln \frac{\omega\left(1-\cos \left(\frac{\theta_{j}+\theta_{l}}{2}\right)\right)}{\chi\left(p_{j}-p_{l}\right)}
\]
$\boldsymbol{H}$
\[
\theta_{j}=2 \arccos \frac{x p_{j}}{\omega}, \quad j=1, \ldots, n .
\]

При этом предполагается, что $p_{1}>p_{2}>\ldots>p_{n}$ (сравни с аналогичными формулами (8.10)-(8.13) для быстроубывающего случая).

Однако, в отличие от быстроубывающего случая, преобразование рассеяния солитонов уже не является каноническим по отношению к скобке Пуассона (9.101). В этом проще всего убедиться в случае рассеяния двух солитонов. Имеем
\[
\Delta q_{2}=-\Delta q_{1}=\ln \frac{\omega\left(1-\cos \left(\frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}\right)\right)}{x\left(p_{1}-p_{2}\right)},
\]

н правая часть не яв.тяется функцней только разности $p_{1}-p_{2}$, поэтому представление
\[
\Delta q_{1}=\frac{\partial K\left(p_{1}, p_{2}\right)}{\partial p_{1}}, \Delta q_{2}=\frac{\partial K\left(p_{1}, p_{2}\right)}{\partial p_{2}}
\]

не имеет места.
Тот факт, что рассеяние солитонов не является каноническим по отношению к скобке Пуассона (9.101), имеет естественное объяснение. Дело в том, что асимптотические переменные $p_{j}{ }^{( \pm)}=p_{j}$ и $q_{j}^{( \pm)}$не обязаны иметь скобки Пуассона вида (9.101); корректное вычисление их скобок Пуассона должно использовать явные асимптотические формулы при $|t| \rightarrow \infty$ для решений уравнения НШІ в случае конечной плотности. Полученные таким образом скобки Пуассона отличны от (9.101), и по отношению к ним рассеяние солитонов уже канонично. Мы не приводим соответствующих вычислений, так как описание асимптотической динамики всех мод модели НШ представляет собой трудную вычислительную задачу, выходящую за рамки этой книги.

На этом мы заканчиваем первую часть книги, посвященную модели НШ с различными граничными условнями: квазипернодическими, і, главным образом, условиями быстрого убывания и конечной плотности. Мы убеднлись, что с этой моделью связаны интересные математические объекты.
1) Условие нулевой кривизны, порождающее уравнения движения.
2) Вспомогательная линейная задача, ее характеристики и их интерпретация с точки зрения спектраіьной теории и теории рассеяния.
3) Формулировка обратной задачі как матричной задачи Римана.
4) Существование $r$-матрицы и фундаментальных скобок Пуассона и их роль в построении представления нулевой кривизны.
5) Интерпретация коэффициентов перехода и дискретного спектра вспомогательной линейной задачи как канонических переменных типа действие – угол.

Описание этих объектов для обоих граничных условий было иногда почти что аналогично, а иногда обладало существенными отличиями, в особенности в этом параграфе. Мы построили изложение таким образом, чтобы читателю стало ясно, что указан-

ные структуры имеют достаточно общий характер и должны порождать и другие интересные модели нелинейных уравнений. Во второй части книги мы в этом явно убедимся.