Начнем с вывода эволюционных уравнений для решений Поста. Для этого в уравнении (3.21) для матрицы перехода
$$\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,\lambda )=V_{\rho }(x,\lambda )T(x,y,\lambda )-T(x,y,\lambda )V_{\rho }(y,\lambda )$$

перейдем к пределу $y\to -\mathrm{\infty }$, предварительно умножив его справа на $E_{\rho }(y,\lambda )$. Рассмотрим предел выражения $E_0^{-1}(y,\lambda )\times$ $\times V_{\rho }(y,\lambda )E_{\rho }(y,\lambda )$ при $y\to -\mathrm{\infty }$, где матрица $V_{\rho }(y,\lambda )$ введена B $\mathrm{\S }2$ :
$$V_{\rho }={\lambda }^2{V}_2+\lambda V_1+V_{0,\rho }$$
(см. формулы (2.4)-(2.8) и (2.11)). В силу граничных условий (8.1) последнее слагаемое в (10.2) исчезает при $y\to -\mathrm{\infty }$, а первые два слагаемых превращаются в матрицу — $\lambda U_{-}(\lambda )$ (см. (8.3)). Из дифференциального уравнения (8.7) и явной формулы (8.9) для матрицы $E_{\rho }(y,\lambda )$ получаем, что
$$E_{\rho }^{-1}(y,\lambda )U_{-}(\lambda )E_{\rho }(y,\lambda )=E_{\rho }^{-1}(y,\lambda )\frac{d}{dy}{E}_{\rho }(y,\lambda )=-\frac{ik}{2}{\sigma }_3.$$

Таким образом, предельный переход в (10.1) приводит к уравнению
$$\frac{\partial T_{-}}{\partial t}(x,\lambda )=V_{\rho }(x,\lambda )T_{-}(x,\lambda )-\frac{ik{\lambda }_2}{2}{T}_{-}(x,\lambda ){\sigma }_3.$$

Аналогичным образом рассматривается предел $y\to +\mathrm{\infty }$; получаем, что матрица $T_{+}(x,\lambda )$ удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению, что и $T_{-}(x,\lambda )$.

Вторым предельным переходом получаем эволюционное уравнение для приведенной матрицы монодромии
$$\frac{\partial }{\partial t}{T}_{\rho }(\lambda )=\frac{ik\lambda }{2}[{\sigma }_3,T_{\rho }(\lambda )],$$

а сравнение эволюционных уравнений для столбцов $T_{-}^{(1)}(x,\lambda )$ и $T_{+}^{(2)}(x,\lambda )$ при $\lambda ={\lambda }_j$ дает дифференциальное уравнение для коэффициентов перехода дискретного спектра
$$\frac{d}{dt}{\gamma }_j=-i{k}_j{\lambda }_j{\gamma }_j,j=1,\dots ,n.$$

Заметим, что эти уравнения отличаются от аналогичных уравнений (7.4) и (7.10) лишь заменой ${\lambda }^2$ на $k\lambda$.

Из (10.5) и (10.6) получаем, что зависимость от времени коэффициентов перехода дается формулами
$$\begin{array}{c}{a}_{\rho }(\lambda ,t)=a_{\rho }(\lambda ,0),b_{\rho }(\lambda ,t)=e^{-ik{\lambda }_t}{b}_{\rho }(\lambda ,0),\\ {\gamma }_j(t)=e^{-i{k}_j{\lambda }_{j}t}{\gamma }_j(0),j=1,\dots ,n.\end{array}$$

Итак, мы убедились, что и в случае граничных условий конечной плотности при переходе от функций $\psi (x),\overline{\psi }(x)$ к коэффициентам перехода и дискретному спектру
$$(\psi (x),\overline{\psi }(x))\to (b_{\rho }(\lambda ),{\overline{b}}_{\rho }(\lambda );{\lambda }_j,{\gamma }_j,j=1,\dots ,n)$$

происходит существенное упрощение динамики. В следующей главе мы исследуем обратимость отображения (10.8), а в гл. III изучим его с гамильтоновой точки зрения.

Перейдем теперь к обсуждению интегралов движения. Из (10.7) следует, что производящей функцией для них является коэффициент $a_{\rho }(\lambda )$. Покажем, что, как и в быстроубывающем случае, функция $\ln a_{\rho }(\lambda )e^{-i\theta /2}$ является производящей функцией локальных интегралов движения. Для того чтобы использовать результаты $\mathrm{\$}4$, будем считать, что $\psi (x),\overline{\psi }(x)$ получаются пределом $L\to \mathrm{\infty }$ из функций ${\psi }_L(x),{\overline{\psi }}_L(x)$, удовлетворяющих условию (1.6):
$${\psi }_L(x+2L)=e^{i\theta }{\psi }_L(x),{\overline{\psi }}_L(x+2L)=e^{-i\theta }{\overline{\psi }}_L(x)$$

и дополнительному соотношению
$${{\psi }_L(x)|}_{x=-L}={{\overline{\psi }}_L(x)|}_{x=-L}=\rho$$
(сравни с $\mathrm{\S }1$ ).
Рассмотрим сначала предельный переход $L\to \mathrm{\infty }$ в производящей функции $p_L(\lambda )$
$$p_L(\lambda )=\arccos \frac{1}{2}\mathrm{tr}{T}_L(\lambda )Q(\theta ).$$

Вспоминая, что $b_{\rho }(\lambda )$ является функцией типа Шварца при $|\lambda |\to \mathrm{\infty }$, из (8.44) и явной формулы (8.9) для $E_{\rho }(x,\lambda )$ получаем, что при $L\to \mathrm{\infty }$ и $\lambda$ из ${\mathbb{R}}_{\omega }$ с точностью $O\left(|\lambda {|}^{-\mathrm{\infty }}\right)$ выполняется

соотношение
$$\begin{array}{rl}\mathrm{tr}{T}_L(\lambda )Q(\theta )=e^{-ikL}{a}_{\rho }(\lambda )& +e^{ikL}{\overline{a}}_{\rho }(\lambda )+o(1)=\\ & =2\cos (-kL+\arg a_{\rho }(\lambda ))+o(1),\end{array}$$

где в последнем равенстве мы учли, что
$$|a_{\rho }(\lambda )|=1+O\left(|\lambda {|}^{-\mathrm{\infty }}\right)$$
(сравни с $\mathrm{\S }7$ ). Таким образом, с точностью $O(|\lambda {|}^{-\mathrm{\infty }}$ ) имеем
$$\underset{L\to \mathrm{\infty }}{lim}(p_L(\lambda )+kL-\theta /2)=\frac{1}{i}\ln a_{\rho }(\lambda )e^{-i\theta /2}.$$

Воспользуемся теперь представлением (4.4)
$$p_L(\lambda )=-\lambda L+\frac{\theta }{2}+x\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{I_n}{{\lambda }^n}+O\left(|\lambda {|}^{-\mathrm{\infty }}\right),$$

где
$$I_n={\int }_{-L}^L{P}_n(x)dx$$
(см. (4.32)-(4.34)).
С помощью асимптотического разложения
$$\lambda -k(\lambda )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{p_n}{{\lambda }^n}+O\left(|\lambda {|}^{-\mathrm{\infty }}\right),$$

где
$$p_{2n-1}=(-1{)}^{n+1}{\omega }^{2n}\left(\begin{array}{c}1/2\\ n\end{array}\right),p_{2n}=0,$$

справедливого при $\lambda$ из ${\mathbb{R}}_{\omega }$, из (10.14) получаем, что выражения
$$I_n-\frac{p_n}{\mathrm{\%}}L={\int }_{-L}^L(P_n(x)-\frac{p_n}{2\kappa })dx$$

в случае граничных условий конечной плотности уже имеют предел $I_{n,\rho }$ при $L\to \mathrm{\infty }$. Таким образом, мы показали, что добавление слагаемого $kL$ к $p_L(\lambda )$ регуляризует функционалы $I_n({\psi }_L,{\overline{\psi }}_L)$, так что при $L\to \mathrm{\infty }$ они имеют конечные пределы $I_{n,\rho }$
$$I_{n,\rho }={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(P_n(x)-\frac{1}{2\varkappa }{p}_n)dx.$$

Из (10.14) и (9.43) следует, что $I_{n,p}$ можно представить как функционалы от $\ln (1+{|b_{\rho }(\lambda )|}^2)$ и ${\lambda }_j,j=1,\dots ,n$. Однако функ-

ционалы $I_{n,\rho }$ при нечетных $n$ являются недопустимыми на фазовом пространстве ${\mathcal{M}}_{\rho ,\theta }$. Действительно, имеем, например,
$$\frac{\delta I_{3,\rho }}{\delta \overline{\mathrm{\Psi }}(x)}=-\frac{d^2\psi (x)}{d{x}^2}+2x|\psi (x){|}^2\mathrm{\Psi }(x),$$

так что $\frac{\delta I_{3,\rho }}{\delta \overline{\psi }(x)}$ не исчезает при $|x|\to \mathrm{\infty }$.
Тем не менее подходящие линейные комбинации функционалов $I_{n,\rho }$ уже будут допустимыми. Эти комбинации получаются при разложении $p_L(\lambda )$ по степеням $\frac{1}{k(\lambda )}$ вида
$$p_L(\lambda )=-kL+\frac{\theta }{2}+x\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{J_n}{k^n}+O\left(|k{|}^{-\mathrm{\infty }}\right).$$

Оно следует из (10.15) с использованием (10.17) и асимптотического разложения
$$\frac{1}{{\lambda }^n}=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\omega }^{2m}}{k^{n+2m}}\left(\begin{array}{c}-n/2\\ m\end{array}\right),$$

справедливого при $\lambda$ из ${\mathbb{R}}_{\text{w. }}$. Функционалы $J_n$ имеют вид, аналогичный (10.16), и имеют предел при $L\to \mathrm{\infty }$
$$J_{n,\rho }=\underset{L\to \mathrm{\infty }}{lim}{J}_n={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{P}_{n,\rho }(x)dx.$$

В силу (10.23) функционалы $I_{n,\rho }$ просто выражаются через $I_{n,\rho }$ :
$$J_{n,\rho }=\sum _{n=l+2m,l>0}{\omega }^{2m}\left(\begin{array}{c}-l/2\\ m\end{array}\right)I_{l,\rho }.$$

В частности, имеем отсюда
$$J_{1,\rho }=N_{\rho },J_{2,\rho }=P,J_{3,\rho }=H_{\rho }$$
(см. $\mathrm{\S }1$ ), так что функционалы $J_{2,\rho }$ и $J_{3,\rho }$, в отличие от $J_{1,\rho }$, соответствуют наблюдаемым. В гл. III мы приведем простое доказательство допустимости функционалов $J_{n,p}$ при $n>1$ — покажем, что их вариационные производные исчезают при $|x|\to \mathrm{\infty }$. Его основу составит вывод явной формулы для вариационных производных функционала $p_L(\lambda )$.

Қак и в быстроубывающем случае (см. § 7), локальные интегралы движения $J_{n,0}$ являются функционалами только от половины новых переменных $(b_{\rho }(\lambda ),{\overline{b}}_{\rho }(\lambda );{\lambda }_j,{\gamma }_j,j=1,\dots ,n)$. Для их определения рассмотрим асимптотическое разложение функции $\ln a_{\rho }(\lambda )e^{-i\theta /2}$ при $|\lambda |\to \mathrm{\infty },\lambda$ из ${\mathbb{R}}_{\omega }:$
$$\ln a_{\rho }(\lambda )e^{-i\theta /2}=ix\sum _{l=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_{l,\rho }}{k^l}+O\left(|k{|}^{-\mathrm{\infty }}\right),$$

которое следует из (9.18). Для явного вычисления вещественных коэффициентов $c_{l,\rho }$ рассмотрим представление (9.43) и разложим знаменатель $\frac{1}{\mu -\lambda }$ в геометрическую прогрессию (сравни с $\mathrm{\$}$ ). Используя формулу (10.23), получаем, что
$$c_{l,\rho }=\frac{1}{2\pi x}{\int }_{{\mathbb{R}}_{\omega }}{\phi }_l(\lambda )\ln (1+{|b_{\rho }(\lambda )|}^2)d\lambda +\frac{1}{x}\sum _{j=1}^n{\phi }_{l,j}.$$

Для функции ${\phi }_i(\lambda )$ имеем представление
$${\phi }_l(\lambda )=\frac{1}{k(\lambda )}\sum _{l=p+?q}{\lambda }^p{\omega }^{qq}\left(\begin{array}{c}-(p+1)/2\\ q\end{array}\right).$$

Для нечетных $l=2m+1$ с помощью элементарной формулы
$$\left(\begin{array}{l}\alpha \\ n\end{array}\right)=(-1{)}^n\left(\begin{array}{c}n-\alpha -1\\ n\end{array}\right)$$

и бинома Ньютона из (10.29) получаем, что
$${\phi }_{2m+1}(\lambda )=\lambda k^{2m-1}(\lambda ).$$

В случае четных $l=2m$, используя (10.30) и простую формулу
$$\sum _{l=0}^n\left(\begin{array}{c}\alpha \\ n-l\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}\beta \\ l\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\alpha +\beta \\ n\end{array}\right),$$

представление (10.29) можно преобразовать следующим образом:
$$\begin{array}{l}{\psi }_{mm}(\lambda )=\frac{1}{k(\lambda )}\sum _{p=0}^m{\omega }^{pp}{(k^2(\lambda )+{\omega }^2)}^{m-p}\left(\begin{array}{c}p-m-1/2\\ p\end{array}\right)=\\ =k^{2m-1}(\lambda )\sum _{p=0}^m\sum _{q=0}^{m-p}{\left(\frac{{\omega }^2}{k^2(\lambda )}\right)}^{m-q}\left(\begin{array}{c}m-p\\ q\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}p-m-1/2\\ p\end{array}\right)=\\ =k^{pm-1}(\lambda )\sum _{p=0}^m\left(\begin{array}{c}1/2\\ p\end{array}\right){\left(\frac{{\omega }^2}{k^2(\lambda )}\right)}^p.\end{array}$$

Для вычисления коэффициентов ${\phi }_{t,j}$ воспользуемся формулой
$$\ln \frac{\lambda +k-{\lambda }_j-k_i}{\lambda +k-{\lambda }_i-{\overline{k}}_i}=-{\int }_{{\lambda }_j}^{\omega }\frac{1}{k(\mu )}(1+\frac{k(\lambda )}{\mu -\lambda })d\mu ,$$

справедливой при $-\omega <{\lambda }_j<\omega$, которая доказывается с помощью замены переменной из § 9 или непосредственно. Отсюда следует, что
$${\phi }_{l,j}=\frac{1}{i}{\int }_{{\lambda }_j}^{\omega }{\phi }_l(\lambda )d\lambda$$

и выполняя интегрирование, получаем
$${\phi }_{2m+1,j}=\frac{i}{2m+1}{k}_j^{2m+1}$$

H
$${\phi }_{2m,j}=\frac{i{\lambda }_j{k}_j^{2m-1}}{2m}\sum _{p=0}^{m-1}\left(\begin{array}{c}-1/2\\ p\end{array}\right){\left(\frac{{\omega }^2}{k_j^2}\right)}^p.$$

Таким образом, получаем, что для $\ln a_{\rho }(\lambda )e^{-i\theta /2}$ справедливо асимптотическое разложение (10.27), где коэффициенты $c_{l,\rho }$ даются формулами $(10.28),(10.31),(10.33)$ и $(10.36),(10.37)$. Несколько первых коэффициентов имеют вид
$$\begin{array}{c}{c}_{1,\rho }=\frac{1}{2\pi x}{\int }_{{\mathbb{R}}_{\omega }}\frac{\ln (1+{|b_{\rho }(\lambda )|}^2)}{k(\lambda )}\lambda d\lambda +\frac{i}{\mathrm{\%}}\sum _{j=1}^n{k}_j,\\ c_{2,\rho }=\frac{1}{2\pi \kappa }{\int }_{{\mathbb{R}}_{\omega }}\frac{\ln (1+{|b_{\rho }(\lambda )|}^2)}{k(\lambda )}(k^2(\lambda )+\frac{{\omega }^2}{2})d\lambda +\frac{i}{2\mathrm{\%}}\sum _{j=1}^n{\lambda }_j{k}_j,\\ c_{3,\rho }=\frac{1}{2\pi \varkappa }{\int }_{{\mathbb{R}}_{\omega }}\ln (1+{|b_{\rho }(\lambda )|}^2)\lambda k(\lambda )d\lambda +\frac{i}{3\varkappa }\sum _{j=1}^n{k}_j^3.\end{array}$$

Сравнение формул (10.14), (10.22), (10.24) с (10.27) приводит к тождествам
$$J_{n,\rho }=c_{n,\rho }={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{P}_{n,\rho }(x)dx$$
— тождествам следов для случая конечной плотности. Их интерпретацию в терминах гамильтоновой механики мы дадим в гл. III.

На этом мы заканчиваем исследование свойств коэффициентов перехода и их динамики. В следующей главе мы исследуем обратимость отображения от функций $\psi (x),\overline{\psi }(x)$ к коэффициентам перехода и дискретному спектру для граничных условий быстрого убывания и конечной плотности. Полученные результаты составят основу для полного решения начальной задачи (1.1)(1.2) для модели НШ с указанными граничными условиями.