Начнем с вывода эволюционных уравнений для решений Поста. Для этого в уравнении (3.21) для матрицы перехода
\[
\frac{\partial T}{\partial t}(x, y, \lambda)=V_{\rho}(x, \lambda) T(x, y, \lambda)-T(x, y, \lambda) V_{\rho}(y, \lambda)
\]

перейдем к пределу $y \rightarrow-\infty$, предварительно умножив его справа на $E_{\rho}(y, \lambda)$. Рассмотрим предел выражения $E_{0}^{-1}(y, \lambda) \times$ $\times V_{\rho}(y, \lambda) E_{\rho}(y, \lambda)$ при $y \rightarrow-\infty$, где матрица $V_{\rho}(y, \lambda)$ введена B $\S 2$ :
\[
V_{\rho}=\lambda^{2} V_{2}+\lambda V_{1}+V_{0, \rho}
\]
(см. формулы (2.4)-(2.8) и (2.11)). В силу граничных условий (8.1) последнее слагаемое в (10.2) исчезает при $y \rightarrow-\infty$, а первые два слагаемых превращаются в матрицу – $\lambda U_{-}(\lambda)$ (см. (8.3)). Из дифференциального уравнения (8.7) и явной формулы (8.9) для матрицы $E_{\rho}(y, \lambda)$ получаем, что
\[
E_{\rho}^{-1}(y, \lambda) U_{-}(\lambda) E_{\rho}(y, \lambda)=E_{\rho}^{-1}(y, \lambda) \frac{d}{d y} E_{\rho}(y, \lambda)=-\frac{i k}{2} \sigma_{3} .
\]

Таким образом, предельный переход в (10.1) приводит к уравнению
\[
\frac{\partial T_{-}}{\partial t}(x, \lambda)=V_{\rho}(x, \lambda) T_{-}(x, \lambda)-\frac{i k \lambda_{2}}{2} T_{-}(x, \lambda) \sigma_{3} .
\]

Аналогичным образом рассматривается предел $y \rightarrow+\infty$; получаем, что матрица $T_{+}(x, \lambda)$ удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению, что и $T_{-}(x, \lambda)$.

Вторым предельным переходом получаем эволюционное уравнение для приведенной матрицы монодромии
\[
\frac{\partial}{\partial t} T_{\rho}(\lambda)=\frac{i k \lambda}{2}\left[\sigma_{3}, T_{\rho}(\lambda)\right],
\]

а сравнение эволюционных уравнений для столбцов $T_{-}^{(1)}(x, \lambda)$ и $T_{+}^{(2)}(x, \lambda)$ при $\lambda=\lambda_{j}$ дает дифференциальное уравнение для коэффициентов перехода дискретного спектра
\[
\frac{d}{d t} \gamma_{j}=-i k_{j} \lambda_{j} \gamma_{j}, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Заметим, что эти уравнения отличаются от аналогичных уравнений (7.4) и (7.10) лишь заменой $\lambda^{2}$ на $k \lambda$.

Из (10.5) и (10.6) получаем, что зависимость от времени коэффициентов перехода дается формулами
\[
\begin{array}{c}
a_{\rho}(\lambda, t)=a_{\rho}(\lambda, 0), \quad b_{\rho}(\lambda, t)=e^{-i k \lambda_{t}} b_{\rho}(\lambda, 0), \\
\gamma_{j}(t)=e^{-i k_{j} \lambda_{j} t} \gamma_{j}(0), \quad j=1, \ldots, n .
\end{array}
\]

Итак, мы убедились, что и в случае граничных условий конечной плотности при переходе от функций $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ к коэффициентам перехода и дискретному спектру
\[
(\psi(x), \bar{\psi}(x)) \rightarrow\left(b_{\rho}(\lambda), \bar{b}_{\rho}(\lambda) ; \lambda_{j}, \gamma_{j}, j=1, \ldots, n\right)
\]

происходит существенное упрощение динамики. В следующей главе мы исследуем обратимость отображения (10.8), а в гл. III изучим его с гамильтоновой точки зрения.

Перейдем теперь к обсуждению интегралов движения. Из (10.7) следует, что производящей функцией для них является коэффициент $a_{\rho}(\lambda)$. Покажем, что, как и в быстроубывающем случае, функция $\ln a_{\rho}(\lambda) e^{-i \theta / 2}$ является производящей функцией локальных интегралов движения. Для того чтобы использовать результаты $\$ 4$, будем считать, что $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ получаются пределом $L \rightarrow \infty$ из функций $\psi_{L}(x), \bar{\psi}_{L}(x)$, удовлетворяющих условию (1.6):
\[
\psi_{L}(x+2 L)=e^{i \theta} \psi_{L}(x), \quad \bar{\psi}_{L}(x+2 L)=e^{-i \theta} \bar{\psi}_{L}(x)
\]

и дополнительному соотношению
\[
\left.\psi_{L}(x)\right|_{x=-L}=\left.\bar{\psi}_{L}(x)\right|_{x=-L}=\rho
\]
(сравни с $\S 1$ ).
Рассмотрим сначала предельный переход $L \rightarrow \infty$ в производящей функции $p_{L}(\lambda)$
\[
p_{L}(\lambda)=\arccos \frac{1}{2} \operatorname{tr} T_{L}(\lambda) Q(\theta) .
\]

Вспоминая, что $b_{\rho}(\lambda)$ является функцией типа Шварца при $|\lambda| \rightarrow \infty$, из (8.44) и явной формулы (8.9) для $E_{\rho}(x, \lambda)$ получаем, что при $L \rightarrow \infty$ и $\lambda$ из $\mathbb{R}_{\omega}$ с точностью $O\left(|\lambda|^{-\infty}\right)$ выполняется

соотношение
\[
\begin{aligned}
\operatorname{tr} T_{L}(\lambda) Q(\theta)=e^{-i k L} a_{\rho}(\lambda) & +e^{i k L} \bar{a}_{\rho}(\lambda)+o(1)= \\
& =2 \cos \left(-k L+\arg a_{\rho}(\lambda)\right)+o(1),
\end{aligned}
\]

где в последнем равенстве мы учли, что
\[
\left|a_{\rho}(\lambda)\right|=1+O\left(|\lambda|^{-\infty}\right)
\]
(сравни с $\S 7$ ). Таким образом, с точностью $O\left(|\lambda|^{-\infty}\right.$ ) имеем
\[
\lim _{L \rightarrow \infty}\left(p_{L}(\lambda)+k L-\theta / 2\right)=\frac{1}{i} \ln a_{\rho}(\lambda) e^{-i \theta / 2} .
\]

Воспользуемся теперь представлением (4.4)
\[
p_{L}(\lambda)=-\lambda L+\frac{\theta}{2}+x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_{n}}{\lambda^{n}}+O\left(|\lambda|^{-\infty}\right),
\]

где
\[
I_{n}=\int_{-L}^{L} P_{n}(x) d x
\]
(см. (4.32)-(4.34)).
С помощью асимптотического разложения
\[
\lambda-k(\lambda)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{p_{n}}{\lambda^{n}}+O\left(|\lambda|^{-\infty}\right),
\]

где
\[
p_{2 n-1}=(-1)^{n+1} \omega^{2 n}\left(\begin{array}{c}
1 / 2 \\
n
\end{array}\right), \quad p_{2 n}=0,
\]

справедливого при $\lambda$ из $\mathbb{R}_{\omega}$, из (10.14) получаем, что выражения
\[
I_{n}-\frac{p_{n}}{\%} L=\int_{-L}^{L}\left(P_{n}(x)-\frac{p_{n}}{2 \kappa}\right) d x
\]

в случае граничных условий конечной плотности уже имеют предел $I_{n, \rho}$ при $L \rightarrow \infty$. Таким образом, мы показали, что добавление слагаемого $k L$ к $p_{L}(\lambda)$ регуляризует функционалы $I_{n}\left(\psi_{L}, \bar{\psi}_{L}\right)$, так что при $L \rightarrow \infty$ они имеют конечные пределы $I_{n, \rho}$
\[
I_{n, \rho}=\int_{-\infty}^{\infty}\left(P_{n}(x)-\frac{1}{2 \varkappa} p_{n}\right) d x .
\]

Из (10.14) и (9.43) следует, что $I_{n, p}$ можно представить как функционалы от $\ln \left(1+\left|b_{\rho}(\lambda)\right|^{2}\right)$ и $\lambda_{j}, j=1, \ldots, n$. Однако функ-

ционалы $I_{n, \rho}$ при нечетных $n$ являются недопустимыми на фазовом пространстве $\mathscr{M}_{\rho, \theta}$. Действительно, имеем, например,
\[
\frac{\delta I_{3, \rho}}{\delta \bar{\Psi}(x)}=-\frac{d^{2} \psi(x)}{d x^{2}}+2 x|\psi(x)|^{2} \Psi(x),
\]

так что $\frac{\delta I_{3, \rho}}{\delta \bar{\psi}(x)}$ не исчезает при $|x| \rightarrow \infty$.
Тем не менее подходящие линейные комбинации функционалов $I_{n, \rho}$ уже будут допустимыми. Эти комбинации получаются при разложении $p_{L}(\lambda)$ по степеням $\frac{1}{k(\lambda)}$ вида
\[
p_{L}(\lambda)=-k L+\frac{\theta}{2}+x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{J_{n}}{k^{n}}+O\left(|k|^{-\infty}\right) .
\]

Оно следует из (10.15) с использованием (10.17) и асимптотического разложения
\[
\frac{1}{\lambda^{n}}=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{\omega^{2 m}}{k^{n+2 m}}\left(\begin{array}{c}
-n / 2 \\
m
\end{array}\right),
\]

справедливого при $\lambda$ из $\mathbb{R}_{\text {w. }}$. Функционалы $J_{n}$ имеют вид, аналогичный (10.16), и имеют предел при $L \rightarrow \infty$
\[
J_{n, \rho}=\lim _{L \rightarrow \infty} J_{n}=\int_{-\infty}^{\infty} P_{n, \rho}(x) d x .
\]

В силу (10.23) функционалы $I_{n, \rho}$ просто выражаются через $I_{n, \rho}$ :
\[
J_{n, \rho}=\sum_{n=l+2 m, l>0} \omega^{2 m}\left(\begin{array}{c}
-l / 2 \\
m
\end{array}\right) I_{l, \rho} .
\]

В частности, имеем отсюда
\[
J_{1, \rho}=N_{\rho}, \quad J_{2, \rho}=P, \quad J_{3, \rho}=H_{\rho}
\]
(см. $\S 1$ ), так что функционалы $J_{2, \rho}$ и $J_{3, \rho}$, в отличие от $J_{1, \rho}$, соответствуют наблюдаемым. В гл. III мы приведем простое доказательство допустимости функционалов $J_{n, p}$ при $n>1$ – покажем, что их вариационные производные исчезают при $|x| \rightarrow \infty$. Его основу составит вывод явной формулы для вариационных производных функционала $p_{L}(\lambda)$.

Қак и в быстроубывающем случае (см. § 7), локальные интегралы движения $J_{n, 0}$ являются функционалами только от половины новых переменных $\left(b_{\rho}(\lambda), \bar{b}_{\rho}(\lambda) ; \lambda_{j}, \gamma_{j}, j=1, \ldots, n\right)$. Для их определения рассмотрим асимптотическое разложение функции $\ln a_{\rho}(\lambda) e^{-i \theta / 2}$ при $|\lambda| \rightarrow \infty, \lambda$ из $\mathbb{R}_{\omega}:$
\[
\ln a_{\rho}(\lambda) e^{-i \theta / 2}=i x \sum_{l=1}^{\infty} \frac{c_{l, \rho}}{k^{l}}+O\left(|k|^{-\infty}\right),
\]

которое следует из (9.18). Для явного вычисления вещественных коэффициентов $c_{l, \rho}$ рассмотрим представление (9.43) и разложим знаменатель $\frac{1}{\mu-\lambda}$ в геометрическую прогрессию (сравни с $\$$ ). Используя формулу (10.23), получаем, что
\[
c_{l, \rho}=\frac{1}{2 \pi x} \int_{\mathbb{R}_{\omega}} \varphi_{l}(\lambda) \ln \left(1+\left|b_{\rho}(\lambda)\right|^{2}\right) d \lambda+\frac{1}{x} \sum_{j=1}^{n} \varphi_{l, j} .
\]

Для функции $\varphi_{i}(\lambda)$ имеем представление
\[
\varphi_{l}(\lambda)=\frac{1}{k(\lambda)} \sum_{l=p+? q} \lambda^{p} \omega^{q q}\left(\begin{array}{c}
-(p+1) / 2 \\
q
\end{array}\right) .
\]

Для нечетных $l=2 m+1$ с помощью элементарной формулы
\[
\left(\begin{array}{l}
\alpha \\
n
\end{array}\right)=(-1)^{n}\left(\begin{array}{c}
n-\alpha-1 \\
n
\end{array}\right)
\]

и бинома Ньютона из (10.29) получаем, что
\[
\varphi_{2 m+1}(\lambda)=\lambda k^{2 m-1}(\lambda) .
\]

В случае четных $l=2 m$, используя (10.30) и простую формулу
\[
\sum_{l=0}^{n}\left(\begin{array}{c}
\alpha \\
n-l
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
\beta \\
l
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
\alpha+\beta \\
n
\end{array}\right),
\]

представление (10.29) можно преобразовать следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\psi_{m m}(\lambda)= \frac{1}{k(\lambda)} \sum_{p=0}^{m} \omega^{p p}\left(k^{2}(\lambda)+\omega^{2}\right)^{m-p}\left(\begin{array}{c}
p-m-1 / 2 \\
p
\end{array}\right)= \\
=k^{2 m-1}(\lambda) \sum_{p=0}^{m} \sum_{q=0}^{m-p}\left(\frac{\omega^{2}}{k^{2}(\lambda)}\right)^{m-q}\left(\begin{array}{c}
m-p \\
q
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
p-m-1 / 2 \\
p
\end{array}\right)= \\
=k^{p m-1}(\lambda) \sum_{p=0}^{m}\left(\begin{array}{c}
1 / 2 \\
p
\end{array}\right)\left(\frac{\omega^{2}}{k^{2}(\lambda)}\right)^{p} .
\end{array}
\]

Для вычисления коэффициентов $\varphi_{t, j}$ воспользуемся формулой
\[
\ln \frac{\lambda+k-\lambda_{j}-k_{i}}{\lambda+k-\lambda_{i}-\bar{k}_{i}}=-\int_{\lambda_{j}}^{\omega} \frac{1}{k(\mu)}\left(1+\frac{k(\lambda)}{\mu-\lambda}\right) d \mu,
\]

справедливой при $-\omega<\lambda_{j}<\omega$, которая доказывается с помощью замены переменной из § 9 или непосредственно. Отсюда следует, что
\[
\varphi_{l, j}=\frac{1}{i} \int_{\lambda_{j}}^{\omega} \varphi_{l}(\lambda) d \lambda
\]

и выполняя интегрирование, получаем
\[
\varphi_{2 m+1, j}=\frac{i}{2 m+1} k_{j}^{2 m+1}
\]

H
\[
\varphi_{2 m, j}=\frac{i \lambda_{j} k_{j}^{2 m-1}}{2 m} \sum_{p=0}^{m-1}\left(\begin{array}{c}
-1 / 2 \\
p
\end{array}\right)\left(\frac{\omega^{2}}{k_{j}^{2}}\right)^{p} .
\]

Таким образом, получаем, что для $\ln a_{\rho}(\lambda) e^{-i \theta / 2}$ справедливо асимптотическое разложение (10.27), где коэффициенты $c_{l, \rho}$ даются формулами $(10.28),(10.31),(10.33)$ и $(10.36),(10.37)$. Несколько первых коэффициентов имеют вид
\[
\begin{array}{c}
c_{1, \rho}=\frac{1}{2 \pi x} \int_{\mathbb{R}_{\omega}} \frac{\ln \left(1+\left|b_{\rho}(\lambda)\right|^{2}\right)}{k(\lambda)} \lambda d \lambda+\frac{i}{\%} \sum_{j=1}^{n} k_{j}, \\
c_{2, \rho}=\frac{1}{2 \pi \kappa} \int_{\mathbb{R}_{\omega}} \frac{\ln \left(1+\left|b_{\rho}(\lambda)\right|^{2}\right)}{k(\lambda)}\left(k^{2}(\lambda)+\frac{\omega^{2}}{2}\right) d \lambda+\frac{i}{2 \%} \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j} k_{j}, \\
c_{3, \rho}=\frac{1}{2 \pi \varkappa} \int_{\mathbb{R}_{\omega}} \ln \left(1+\left|b_{\rho}(\lambda)\right|^{2}\right) \lambda k(\lambda) d \lambda+\frac{i}{3 \varkappa} \sum_{j=1}^{n} k_{j}^{3} .
\end{array}
\]

Сравнение формул (10.14), (10.22), (10.24) с (10.27) приводит к тождествам
\[
J_{n, \rho}=c_{n, \rho}=\int_{-\infty}^{\infty} P_{n, \rho}(x) d x
\]
– тождествам следов для случая конечной плотности. Их интерпретацию в терминах гамильтоновой механики мы дадим в гл. III.

На этом мы заканчиваем исследование свойств коэффициентов перехода и их динамики. В следующей главе мы исследуем обратимость отображения от функций $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ к коэффициентам перехода и дискретному спектру для граничных условий быстрого убывания и конечной плотности. Полученные результаты составят основу для полного решения начальной задачи (1.1)(1.2) для модели НШ с указанными граничными условиями.