Рассмотрим вытекающие из фундаментальных скобок Пуассона (1.9) скобки Пуассона для матрицы перехода $T(n, m, z)$
$\left\{T(n, m, z) \otimes\left(n, m, z^{\prime}\right)\right\}=$
\[
=\left[r\left(z, z^{\prime}\right), T(n, m, z) \otimes T\left(n, m, z^{\prime}\right)\right], \quad m<n,
\]

где
\[
r\left(z, z^{\prime}\right)=r\left(\lambda(z)-\lambda\left(z^{\prime}\right)\right),
\]
a $r(\lambda)$ дается формулой (1.19), и перейдем в них к пределам при $n \rightarrow+\infty, m \rightarrow \pm \infty$ в соответствии с определениями (2.19) и (2.45). В результате мы получим следующие выражения для скобок Пуассона решений Иоста $T_{ \pm}(n, z)$ и приведенной матрицы монодромии $T(z)$ :
\[
\begin{array}{c}
\left\{T_{ \pm}(n, z) \otimes T_{ \pm}\left(n, z^{\prime}\right)\right\}=\mp r\left(z, z^{\prime}\right) T_{ \pm}(n, z) \otimes T_{ \pm}\left(n, z^{\prime}\right) \pm \\
\pm T_{ \pm}(n, z) \otimes T_{ \pm}\left(n, z^{\prime}\right) r_{ \pm}\left(z, z^{\prime}\right), \\
\left\{T_{+}(n, z) \otimes T_{-}\left(n, z^{\prime}\right)\right\}=0,
\end{array}
\]
\[
\left\{T(z) \otimes T\left(z^{\prime}\right)\right\}=r_{+}\left(z, z^{\prime}\right) T(z) \otimes T\left(z^{\prime}\right)-T(z) \otimes T\left(z^{\prime}\right) r_{-}\left(z, z^{\prime}\right) .
\]

Здесь
a
\[
\alpha\left(z, z^{\prime}\right)=\frac{\left(z z^{\prime}-1\right)^{2}}{\left(1-z^{2}\right)\left(1-z^{\prime 2}\right)}, \quad \beta\left(z, z^{\prime}\right)=-\frac{\left(z-z^{\prime}\right)^{2}}{\left(1-z^{2}\right)\left(1-{z^{\prime}}^{2}\right)},
\]

так что
\[
\alpha\left(z, z^{\prime}\right)+\beta\left(z, z^{\prime}\right)=1,
\]

и в силу инволюций (2.21) и (2.47) мы считаем, что $|z|=\left|z^{\prime}\right|=1$, $\operatorname{Im} z, \operatorname{Im} z^{\prime}>0$, причем $z, z^{\prime}
eq \pm 1 ; \delta$-функция $\delta\left(z z^{\prime-1}\right)$ определяется естественным образом:
\[
\int_{\left|z^{\prime}\right|=1} \delta\left(z z^{\prime^{-1}}\right) f\left(z^{\prime}\right) \frac{d z^{\prime}}{z^{\prime}}=f(z) .
\]

При выводе формул (4.10) – (4.11) мы также использовали соотношение
\[
\lim _{n \rightarrow \pm \infty} \text { v. p. } \frac{\left(z z^{-1}\right)^{n}}{1-z z^{\prime-1}}=\mp \pi i \delta\left(z z^{\prime-1}\right),
\]

где $|z|=\left|z^{\prime}\right|=1$.

Из формулы Сохоцкого – Племеля
\[
\frac{1}{z-z^{\prime} e^{-0}}=\lim _{\substack{\tilde{z} \rightarrow z^{\prime} \\|z|<1}} \frac{1}{z-\widetilde{z}}=\mathrm{v} \cdot \mathrm{p} \cdot \frac{1}{z-z^{\prime}}+\pi i \frac{\delta\left(z z^{\prime-1}\right)}{z}
\]

и (4.7) – (4.11) получаем следующие выражения для скобок Пуассона коэффициентов перехода и дискретного спектра:
\[
\begin{array}{l}
\left\{a(z), a\left(z^{\prime}\right)\right\}=\left\{a(z), \bar{a}\left(z^{\prime}\right)\right\}=0 \\
\left\{b(z), b\left(z^{\prime}\right)\right\}=0 \\
\left\{b(z), \bar{b}\left(z^{\prime}\right)\right\}=2 \pi i \frac{z|a(z)|^{2}}{1-z^{2}} \delta\left(z z^{\prime-1}\right), \\
\left\{a(z), b\left(z^{\prime}\right)\right\}=\frac{z z^{\prime}\left(\left(1-z z^{\prime}\right)^{2}+\left(z-z^{\prime}\right)^{2}\right) a(z) b\left(z^{\prime}\right)}{\left(z e^{-0}-z^{\prime}\right)\left(1-z z^{\prime}\right)\left(1-z^{2}\right)\left(1-z^{\prime 2}\right)} \\
\left\{a(z), \bar{b}\left(z^{\prime}\right)\right\}=-\frac{z z^{\prime}\left(\left(1-z z^{\prime}\right)^{2}+\left(z \cdots z^{\prime}\right)^{2}\right) a(z) \bar{b}\left(z^{\prime}\right)}{\left(z e^{-0}-z^{\prime}\right)\left(1-z z^{\prime}\right)\left(1-z^{2}\right)\left(1-{z^{\prime}}^{\prime}\right)}
\end{array}
\]

и
\[
\begin{aligned}
\left\{a(z), \gamma_{j}\right\} & =\frac{z z_{j}\left(\left(1-z z_{j}\right)^{2}+\left(z-z_{j}\right)^{2}\right) a(z) \gamma_{j}}{\left(z-z_{j}\right)\left(1-z z_{j}\right)\left(1-z^{2}\right)\left(1-z_{j}^{2}\right)}, \\
\left\{b(z), z_{j}\right\} & =\left\{b(z), \gamma_{j}\right\}=0 \\
\left\{z_{i}, z_{j}\right\} & =\left\{\gamma_{i}, \gamma_{j}\right\}=0, \\
\left\{z_{i}, \gamma_{j}\right\} & =-\frac{z_{i}^{\prime}}{1-z_{i}^{*}} \gamma_{j} \delta_{i j}, \quad i, j=1, \ldots, N .
\end{aligned}
\]

При этом, благодаря аналитичности функции $a(z)$, формулы (4.19) – (4.21) справедливы и при $|z|<1$.

Қак и в случае модели НШ, получим отсюда набор независимых переменных с простыми скобкали Пуассона. Именно, рассмотрим формулы (4.19) и (4.21) для $|z|<1$, устремим $|z|$ к 1 и отделим в них соответственно мнимую и вещественную части. Мы получим, что при $|z|=\left|z^{\prime}\right|=1, \operatorname{Im} z \geqslant 0, \operatorname{Im} z^{\prime}>0$,
\[
\left\{\ln |a(z)|, \arg b\left(z^{\prime}\right)\right\}=-\frac{\pi \delta\left(z z^{\prime-1}\right) z}{1-z^{2}}+\frac{\pi z^{\prime \prime}}{1-{z^{\prime 2}}^{2}}(\delta(z)+\delta(-z))
\]

и
\[
\left\{\ln |a(z)|, \ln \left|\gamma_{j}\right|\right\}=\frac{\pi i z}{1-z_{j}^{2}}(\delta(z)+\delta(-z)) .
\]

Слагаемые с $\delta( \pm z)$ в этих формулах порождаются сингулярным знаменателем $\left(1-z^{2}\right)^{-1}$, присутствующим в (4.19) и (4.21);

$\delta$-функция $\delta( \pm z)$ понимается следующим образом:
\[
\int_{C} \delta( \pm z) f(z) \frac{d z}{z}=\frac{1}{2} f( \pm 1),
\]

где $C$ – полуокружность $|z|=1,0 \leqslant \arg z \leqslant \pi$. (Сравни с аналогичными формулами в § III. 9 части I.)
Введем набор переменных
\[
\begin{array}{c}
\rho(\theta)=\frac{\sin \theta}{\pi} \ln \left(1+\left|b\left(e^{i \theta}\right)\right|^{2}\right), \quad \varphi(\theta)=-\arg b\left(e^{i \theta}\right), \quad 0 \leqslant \theta \leqslant \pi, \\
\tilde{p}_{j}=\lambda_{j}=z_{i}+\frac{1}{z_{j}}, \quad \tilde{q}_{i}=\ln \left|\gamma_{j}\right|, \quad j=1, \ldots, N,
\end{array}
\]

со следующими областями значений:
\[
\begin{array}{c}
0 \leqslant \rho(\theta)<\infty, \quad 0 \leqslant \varphi(\theta)<2 \pi, \\
\left|\tilde{p}_{j}\right|>2, \quad-\infty<\tilde{q}_{j}<\infty .
\end{array}
\]

Используя формулы (4.24) – (4.26), убеждаемся, что эти переменные имеют следующие неисчезающие скобки Пуассона:
\[
\begin{array}{c}
\left\{\rho(\theta), \varphi\left(\theta^{\prime}\right)\right\}=\delta\left(\theta-\theta^{\prime}\right)-\frac{\sin \theta}{\sin \theta^{\prime}}(\delta(\theta)+\delta(\theta-\pi)), \\
\left\{\rho(\theta), \widetilde{q}_{i}\right\}=-\frac{2 \sin \theta z_{j}}{z_{j}^{2}-1}(\delta(\theta)+\delta(\theta-\pi)), \\
\left\{\widetilde{p}_{i}, \widetilde{q}_{i}\right\}=\delta_{i j}, \quad i, j=1, \ldots, N .
\end{array}
\]

Эти скобки Пуассона имели бы канонический вид, если бы в правых частях (4.32) – (4.33) отсутствовали слагаемые, пропорциональные $\sin \theta(\delta(\theta)+\delta(\theta-\pi))$. Эти дополнительные слагаемые следует интерпретировать в том же смысле, что и в § III. 9 части I. Их необходимо учитывать каждый раз, когда мы имеем дело с функционалами вида
\[
F(\rho)=\int_{0}^{\pi} \frac{\rho(\theta}{\sin \theta} f(\theta) d \theta,
\]
кими функционалами мы встретимся в следующем пункте.