Здесь мы будем параметризовать $n$-солитонное решение модели $\mathrm{SG}$ набором переменных $\left\{p_{j}, q_{j}, \varepsilon_{j}, j=1, \ldots, n_{i} ; \rho_{k}, \xi_{k}, \varphi_{k}, \eta_{k}, k=n_{1}+\right.$ $\left.+1, \ldots, n_{1}+n_{2}\right\}$, просто связанным с $\left\{v_{j}, x_{0 j}, \varepsilon_{j}, j=1, \ldots, n_{1}\right.$; $\left.v_{k}, \omega_{1 k}, \omega_{2 k}, x_{0 k}, \varphi_{0 k}, k=n_{1}+1, \ldots, n_{1}+n_{2}\right\} \quad$ (сравни формуль $(5.152)-(5.153),(5.155),(5.157)$ с $(6.36)-(6.38))$. В ситуации общего положения при $t \rightarrow \pm \infty$ оно распадается в сумму пространственно разделенных солитонов и двойных солитонов с параметрами $p_{i}^{( \pm)} q_{j}^{( \pm)}, \varepsilon_{i}$ и $\rho_{k}^{( \pm)}, \xi_{k}^{( \pm)}, \varphi_{k}^{( \pm)}, \eta_{k}^{( \pm)}$соответственно, где
\[
\begin{array}{ll}
p_{j}^{(+)}=p_{i}^{(-)}=p_{j}, \quad \xi_{k}^{(+)}=\xi_{k}^{(-)}=\xi_{k}, \quad \rho_{k}^{(+)}=\rho_{k}^{(-)}=\rho_{k}, \\
q_{i}^{( \pm)}=q_{i} \pm \Delta q_{i}, \quad \eta_{k}^{( \pm)}=\eta_{k} \pm \Delta \eta_{k}, \quad \varphi_{k}^{( \pm)}=\varphi_{k} \pm \Delta \varphi_{k},
\end{array}
\]
a
\[
\begin{array}{l}
\Delta q_{j}=\sum_{\left|\lambda_{l}\right|>\left|\lambda_{j}\right|} \ln \left|\frac{\lambda_{j}-\bar{\lambda}_{l}}{\lambda_{j}-\lambda_{l}}\right|-\sum_{\left|\lambda_{l}\right|<\left|\lambda_{j}\right|} \ln \left|\frac{\lambda_{j}-\bar{\lambda}_{l}}{\lambda_{j}-\lambda_{l}}\right|, \\
\Delta \eta_{k}=\sum_{\left|\lambda_{l}\right|>\left|\lambda_{k}\right|} \ln \left|\frac{\lambda_{k}-\bar{\lambda}_{l}}{\lambda_{k}-\lambda_{l}}\right|-\sum_{\left|\lambda_{l}\right|<\left|\lambda_{k}\right|} \ln \left|\frac{\lambda_{k}-\bar{\lambda}_{l}}{\lambda_{k}-\lambda_{l}}\right|, \\
\Delta \varphi_{k}=\sum_{\left|\lambda_{l}\right|>\left|\lambda_{k}\right|} \arg \frac{\lambda_{k}-\bar{\lambda}_{l}}{\lambda_{k}-\lambda_{l}}-\sum_{\left|\lambda_{l}\right|<\left|\lambda_{k}\right|} \arg \frac{\lambda_{k}-\bar{\lambda}_{l}}{\lambda_{k}-\lambda_{l}},
\end{array}
\]
$j=1, \ldots, n_{1}, k=n_{1}+1, \ldots, n_{1}+n_{2}$; числа $\lambda_{1}$ пробегают весь набор $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ с указанными ограничениями. Здесь
\[
\begin{array}{l}
\lambda_{j}=e^{-\gamma p_{j}}, \quad j=1, \ldots, n_{1}, \\
\lambda_{k}=-\bar{\lambda}_{k+n_{2}}=e^{-\frac{\gamma}{2}\left(\hat{\xi}_{k}-i \rho_{k}\right)}, \quad k=n_{1}+1, \ldots, n_{1}+n_{2}
\end{array}
\]
(см. п. 3 этого параграфа и §5).
Преобразования $W_{ \pm}$
\[
\begin{array}{l}
W_{ \pm}:\left\{p_{j}, q_{j}, \varepsilon_{j}, j=1, \ldots, n_{1} ; \xi_{k}, \rho_{k}, \eta_{k}, \varphi_{k},\right. \\
k=n_{1}+\left.1, \ldots, n_{1}+n_{2}\right\} \mapsto\left\{p_{j}^{( \pm)}, q_{j}^{( \pm)}, \varepsilon_{j}, j=1, \ldots, n_{1} ;\right. \\
\left.\xi_{k}^{( \pm)}, \rho_{k}^{( \pm)}, \eta_{k}^{( \pm)}, \varphi_{k}^{( \pm)}, k=n_{1}+1, \ldots, n_{1}+n_{2}\right\},
\end{array}
\]

описанные формулами (6.83)-(6.87), являются каноническими. Действительно, формулы
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \Delta q_{j}}{\partial p_{l}}=\frac{\partial \Delta q_{l}}{\partial p_{j}}, \quad \frac{\partial \Delta q_{j}}{\partial \rho_{k}}=\frac{\partial \Delta \varphi_{k}}{\partial p_{j}}, \quad \frac{\partial \Delta q_{j}}{\partial \xi_{k}}=\frac{\partial \Delta \eta_{k}}{\partial p_{j}} \\
\frac{\partial \Delta \eta_{k}}{\partial \xi_{m}}=\frac{\partial \Delta \eta_{m}}{\partial \xi_{k}}, \quad \frac{\partial \Delta \eta_{k}}{\partial \rho_{m}}=\frac{\partial \Delta \varphi_{m}}{\partial \xi_{k}}, \quad \frac{\partial \Delta \varphi_{k}}{\partial \rho_{m}}=\frac{\partial \Delta \varphi_{m}}{\partial \rho_{k}} \\
j, l=1, \ldots, n_{1} ; k, m=n_{1}+1, \ldots, n_{1}+n_{2}
\end{array}
\]

проверяются непосредственно. Тем самым преобразования $W_{ \pm}$ задаются производящими функциями $\pm K\left(p_{1}, \ldots, p_{n_{3}} ; \xi_{n_{1}+1}, \ldots\right.$ $\left.\ldots, \xi_{n_{1}+n_{2}}, \rho_{n_{1}+1}, \ldots, \rho_{n_{1}+n_{2}}\right)$ :
\[
\begin{array}{c}
q_{i}^{( \pm)}=q_{j} \pm \frac{\partial K}{\partial p_{j}}, \quad \eta_{k}^{( \pm)}=\eta_{k} \pm \frac{\partial K}{\partial \xi_{k}}, \quad \varphi_{k}^{( \pm)}=\varphi_{k} \pm \frac{\partial K}{\partial \rho_{k}}, \\
j=1, \ldots, n_{1} ; \quad k=n_{1}+1, \ldots, n_{1}+n_{2} .
\end{array}
\]

Преобразование рассеяния $S$
\[
S:\left\{p_{i}^{(-)}, q_{j}^{(-)}, \varepsilon_{j} ; \xi_{k}^{(-)}, \rho_{k}^{(-)}, \eta_{k}^{(-)}, \varphi_{k}^{(-)}\right\} \rightarrow\left\{p_{j}^{(+)}, q_{j}^{(+)}, \varepsilon_{j} ; \xi_{k}^{(+)}, \rho_{k}^{(+)}, \eta_{k}^{(+)}, \varphi_{k}^{(+)}\right\}
\]

представляется в виде
\[
S=W_{+}^{+} W_{-}^{-1}
\]

и, очевидно, является каноническим с производящей функцией (классической $S$-матрицей)
\[
\begin{array}{l}
S\left(p_{1}, \ldots, p_{n_{1}} ; \xi_{n_{2}+1}, \ldots, \xi_{n_{1}+n_{2}}, \rho_{n_{1}+1}, \ldots, \rho_{n_{1}-n_{2}}\right)= \\
=2 K\left(p_{1}, \ldots, p_{n_{1}}, \xi_{n_{1}+1}, \ldots, \xi_{n_{1}+n_{2}}, \rho_{n_{1}+1}, \ldots, \rho_{n_{1}+n_{2}}\right) . \\
\end{array}
\]

В силу факторизованности рассеяния функция $K$ представляется в виде
\[
\begin{array}{l}
K\left(p_{1}, \ldots, p_{n_{1}} ; \xi_{n_{1}+1}, \ldots, \xi_{n_{1}+n_{2}}, \rho_{n_{1}+1}, \ldots, \rho_{n_{1}+n_{2}}\right)= \\
=\sum_{p_{j}>p_{l}} K_{s s}\left(p_{i}, p_{l}\right)+\sum_{2 p_{i}>\xi_{k}} K_{s^{\prime}}\left(p_{i}, \xi_{k}, \rho_{k}\right)+\sum_{\xi_{k}>2 p_{l}} K_{b s}\left(\xi_{k}, \rho_{k}, p_{l}\right)+ \\
+\sum_{\xi_{k}>\xi_{m}} K_{b b}\left(\xi_{k}, \rho_{k}, \xi_{m}, \rho_{m}\right) .
\end{array}
\]

Здесь $K_{s s}, K_{s b}, K_{b s}$ и $K_{b b}$ – соответственно производящие функции для рассеяния солитона на солитоне, солитона на двойном солитоне, двойного солитона на солитоне и двойного солитона на двойном солитоне.

Вычислим сначала функцию $K_{s s .}$. Полагая $n_{1}=2, n_{2}=0$, из (6.87) и (6.88) имеем при $p_{1}>p_{2}$
\[
\Delta q_{1}=-\Delta q_{2}=\ln \text { cth } \frac{\gamma}{2}\left(p_{1}-p_{2}\right)
\]

так что
\[
K_{s 3}\left(p_{1}, p_{2}\right)=K_{s s}\left(p_{1}-p_{2}\right)
\]

где
\[
\frac{d K_{s s}(p)}{d p}=\ln \operatorname{cth} \frac{\gamma}{2} p
\]

при $p>0$. Выражение (6.98) не интегрируется в элементарных функциях, однако для $K_{s s}(p)$ легко получить представление
\[
K_{s s}(p)=\frac{i}{2 \gamma} \int_{\theta}^{\pi} \ln \frac{e^{\gamma p} e^{-i \theta}+1}{e^{\gamma p}+e^{-i \theta}} d \theta-\frac{\pi^{2}}{4 \gamma},
\]

где константа интегрирования выбрана из естественного условия
\[
\lim _{p \rightarrow+\infty} K_{s s}(p)=0
\]

Аналогичным образом, рассматривая случай $n_{1}=n_{2}=1$, получаем
\[
\begin{array}{l}
K_{s b}(p, \xi, \rho)=K_{s s}\left(p-\frac{\pi i}{2 \gamma}-\frac{\xi}{2}+\frac{i \rho}{2}\right)+K_{s s}\left(p+\frac{\pi i}{2 \gamma}-\frac{\xi}{2}-\frac{i \rho}{2}\right), \\
K_{b s}(\xi, \rho, p)=K_{s s}\left(\frac{\xi}{2}+\frac{i \rho}{2}-p-\frac{\pi i}{2 \gamma}\right)+ \\
+K_{s s}\left(\frac{\xi}{2}-\frac{i \rho}{2}-p+\frac{\pi i}{2 \gamma}\right) .
\end{array}
\]

И, наконец, полагая $n_{1}=0, n_{2}=2$, имеем
\[
\begin{array}{l}
K_{b b}\left(\xi_{1}, \rho_{A}, \xi_{2}, \rho_{2}\right)=K_{s b}\left(\frac{\xi_{1}-i \rho_{1}}{2}+\frac{\pi i}{2 \gamma}, \xi_{2}, \rho_{2}\right)+ \\
\quad+K_{s b}\left(\frac{\xi_{1}+i \rho_{1}}{2}-\frac{\pi i}{2 \gamma}, \xi_{2}, \rho_{2}\right)=K_{s s}\left(\frac{\xi_{1}-\xi_{2}-i \rho_{1}+i \rho_{2}}{2}\right)+ \\
\quad+K_{s s}\left(\frac{\xi_{1}-\xi_{2}+i \rho_{1}-i \rho_{2}}{2}\right)+K_{s s}\left(\frac{\xi_{1}-\xi_{2}+i \rho_{1}+i \rho_{2}}{2}-\frac{\pi i}{\gamma}\right)+ \\
\quad+K_{s s}\left(\frac{\xi_{1}-\xi_{2}-i \rho_{1}-i \rho_{2}}{2}+\frac{\pi i}{\gamma}\right) \cdot
\end{array}
\]

Формулы (6.102) – (6.103) подтверждают, что двойной солитон является связанным состоянием солитона и антисолитона. Действительно, они согласованы с тем, что двойной солитон получается из двухсолитонного решения с нулевым топологическим зарядом и параметрами $\lambda_{1}=i \kappa_{1}, \lambda_{2}=i \kappa_{2}, \gamma_{1}=\bar{\gamma}_{1}, \gamma_{2}=\bar{\gamma}_{2}, \gamma_{1} \gamma_{2}<$ $<0$ аналитическим продолжением $\lambda_{1}=-\bar{\lambda}_{2}, \gamma_{1}=\bar{\gamma}_{2}$.

Разумеется, рассеяние солитонов можно описывать и в терминах параметров $P_{s j}, Q_{s j}, P_{b k}, Q_{b k}, \rho_{k}$, $\varphi_{k}$. Имеем
\[
\begin{array}{c}
Q_{s j}^{(+)}=Q_{s j}^{(-)}+\frac{\partial S}{\partial P_{s j}}, \quad j=1, \ldots, n_{1} ; \\
Q_{b k}^{(+)}=Q_{b k}^{(-)}+\frac{\partial S}{\partial P_{b k}}, \quad \varphi_{k}^{(+)}=\varphi_{k}^{(-)}+\frac{\partial S}{\partial \rho_{k}}, \quad k=n_{1}+1, \ldots, n_{\mathbf{1}}+n_{\mathbf{2}},
\end{array}
\]

где производящая функция $S$ получается из (6.94)-(6.95) заменой переменных (6.49) – (6.50).

На этом мы заканчиваем изложение модели SG в лабораторных координатах $x, t$
\[
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+\frac{m^{2}}{\beta} \sin \beta \varphi=0 .
\]

Она представляет собой уникальный пример вполне интегрируемой модели релятивистской теории поля, имеющей богатый спектр возбуждений и содержательную факторизованную теорию рассеяния.