Задача, упомянутая в заглавии, имеет вид (см. § I.1)
$$\frac{dF}{dx}=\frac{\lambda }{2i}S(x)F$$

где $S(x)$ — эрмитова бесследовая матрица $2\times 2$, удовлетворяющая условию
$$S^2(x)=I\text{. }$$

Мы будем рассматривать только быстроубывающий случай
$$\underset{|x|\to \mathrm{\infty }}{lim}S(x)={\sigma }_3,$$

где граничные значения принимаются в смысле Шварца.
в § I. 4 было показано, что модели МГ и НШ являются калибровочно эквивалентными. Именно, вспомогательная линейная задача (1.1) с помощью калибровочного преобразования
$$\tilde{F}(x,\lambda )=\mathrm{\Omega }(x)F(x,\lambda )$$

ириводится к виду, характерному для модели НШ:
$$\frac{\widetilde{dF}}{dx}=(\frac{\lambda }{2i}{\sigma }_3+U_0(x))F$$

где
$$U_0(x)=\frac{d\mathrm{\Omega }}{dx}(x){\mathrm{\Omega }}^{-1}(x).$$

Унитарная матрица $\mathrm{\Omega }(x)$ определяется из представления
$$S(x)={\mathrm{\Omega }}^{-1}(x){\sigma }_3\mathrm{\Omega }(x)$$

и условия антидиагональности матрицы $U_0(x)$ в (1.6):
$$U_0(x)=i\left(\begin{array}{cc}0& \overline{\psi }(x)\\ \psi (x)& 0\end{array}\right),$$

что соответствует модели НШ в быстроубывающем случае при $x=-1$ (cм. § I.4).

Таким образом, результаты по поводу вспомогательной линейной задачи (1.1) можно получить из исследования задачи (1.5), данного в гл. I части I. Однако, ввиду важности самой модели МГ, мы проведем независимое исследование задачи (1.1). При этом, разумеется, мы будем сравнивать соответствующие результаты.

В этом случае рассматриваемые объекты будем снабжать индексами НШ и МГ соответственно.