Фазовое пространство модели образовано положительными переменными $u_{n}$. Уравнения движения имеют вид
\[
\frac{d u_{n}}{d t}=\left(u_{n+1}-u_{n-1}\right) u_{n}
\]

и впервые появились при описании эволюции популяций в иерархической системе конкурирующих особей. Они имеют и другие приложения. Типичными граничными условиями являются периодические

или быстроубывающие
\[
u_{n+N}=u_{n}
\]
\[
\lim _{|n| \rightarrow \infty} u_{n}=1 .
\]

Уравнения движения (2.13) представляются в гамильтоновом виде
\[
\frac{d u_{n}}{d t}=\left\{H, u_{n}\right\}
\]

с гамильтонианом
\[
H=\sum_{n} \ln u_{n}
\]

где суммирование ведется в соответствии с граничными условиями, и пуассоновой структурой, задаваемой скобками Пуассона
\[
\begin{aligned}
\left\{u_{n}, u_{m}\right\}=u_{n} u_{m}\left(\left(\delta_{n, m+1}-\delta_{n, m-1}\right)\right. & \left(\frac{u_{n}+u_{m}}{2}-2\right)+ \\
+ & \left.\frac{1}{2} \delta_{n, m+2} u_{n-1}-\frac{1}{2} \delta_{n, m-\varepsilon} u_{m-1}\right) .
\end{aligned}
\]

Отметим, что формула (2.18) имеет гораздо менее привычный вид, чем, скажем, (2.11). Однако она действительно задает скобку Пуассона; проверка тождества Якоби для нее элементарна, хотя и громоздка.

Уравнения движения (2.13) представляются в виде условия нулевой кривизны с матрицами $L_{n}(t, \lambda)$ и $V_{n}(t, \lambda)$ :
\[
L_{n}(\lambda)=\left(\begin{array}{cc}
\lambda & u_{n} \\
-1 & 0
\end{array}\right), \quad V_{n}(\lambda)=\left(\begin{array}{cc}
u_{n} & \lambda u_{n} \\
-\lambda & -\lambda^{2}+u_{n-1}
\end{array}\right) .
\]

Эта модель в дальнейшем рассматриваться не будет, и мы привели ее лишь как поучительный пример с интересной пуассоновой структурой.