Солитонные решения модели SG, как и для моделей НШ и МГ, отвечают случаю
\[
b(\lambda)=0
\]

при всех $\lambda$. Для таких данных как задача Римана, так и уравнения Гельфанда – Левитана – Марченко сводятся к линейным

алгебраическим уравнениям и решаются явно. Для описания солитонных решений здесь мы используем задачу Римана, в которой следует положить
\[
G(x, \lambda)=I .
\]

Рассмотрим сначала простейший случай $n_{1}=1, n_{2}=0$. Данными являются чисто мнимое $\lambda_{0}=i \chi_{0}, x_{0}>0$, и вещественное $\gamma_{0}
eq 0$. Решение задачи Римана дается формулами
\[
\begin{array}{l}
G_{+}(x, \lambda)=B(x, \lambda) \mathscr{E}^{-1} \Omega^{-1}(x), \\
G_{-}(x, \lambda)=\Omega(x) \mathscr{E} B^{-1}(x, \lambda),
\end{array}
\]

где $B(x, \lambda)$ – множитель Бляшке – Потапова:
\[
B(x, \lambda)=I+\frac{\bar{\lambda}_{0}-\lambda_{0}}{\lambda-\bar{\lambda}_{0}} P(x)
\]
$P(x)$ – ортогональный проектор:
\[
\begin{array}{c}
P(x)=\frac{1}{1+\gamma_{0}^{2}(x)}\left(\begin{array}{cc}
\gamma_{0}^{2}(x) & \gamma_{0}(x) \\
\gamma_{0}(x) & 1
\end{array}\right), \\
\gamma_{0}(x)=e^{-\frac{m}{2}\left(x_{0}+\frac{1}{\chi_{0}}\right) x} \gamma_{0},
\end{array}
\]

а матрица $\Omega(x)$ однозначно определяется из уравнения
\[
\Omega^{2}(x)=-\mathscr{E} \sigma_{3} B(x, 0) \mathscr{E}^{-1}
\]

и условия
\[
\lim _{x \rightarrow-\infty} \Omega(x)=I .
\]

Функции $\varphi(x), \pi(x)$ вычисляются по формулам (4.23) и (5.65) и имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\varphi(x)=-\frac{4}{\beta} \operatorname{arctg} \frac{1}{\gamma_{0}(x)}, \\
\pi(x)=-\frac{2 m\left(x_{0}-\frac{1}{x_{0}}\right) \gamma_{0}(x)}{\beta\left(1+\gamma_{0}^{2}(x)\right)},
\end{array}
\]

где выбрана главная ветвь функции $\operatorname{arctg} x: \operatorname{arctg}( \pm \infty)=$ $= \pm \pi / 2$. Для топологического заряда $Q$ отсюда получаем
\[
Q=-\varepsilon_{0}, \quad \varepsilon_{0}=\operatorname{sign} \gamma_{0} .
\]

Вводя зависимость коэффициента $\gamma_{0}(x)$ от времени по формуле $\gamma_{0}(x, t)=e^{-\frac{m}{2}\left(x_{0}-\frac{1}{x_{0}}\right) t} \gamma_{0}(x) \quad$ (см. (4.73)), получаем, что $\varphi(x, t)=$

$=-\frac{4}{\beta} \operatorname{arctg} \frac{1}{\gamma_{0}(x, t)}$ удовлетворяет уравнению SG. При этом
\[
\pi(x, t)=\frac{\partial \varphi}{\partial t}(x, t) .
\]

Перепишем выражение для $\varphi(x, t)$ в виде:
\[
\varphi(x, t)=-\frac{4 \varepsilon_{0}}{\beta} \operatorname{arctg} \exp \left\{\frac{m\left(x-v t-x_{0}\right)}{\sqrt{1-v^{2}}}\right\},
\]

где
\[
\begin{array}{l}
v=\frac{1-x_{0}^{2}}{1+x_{0}^{2}}, \quad|v|<1, \\
x_{0}=\frac{\sqrt{1-v^{2}}}{m} \ln \left|\gamma_{0}\right| .
\end{array}
\]

Формула (5.133) дает наглядную интерпретацию полученного решения в терминах релятивистской частицы со скоростью $v$ и координатой центра инерции $x_{0}$ при $t=0$. Это решение соответствует солитону модели SG. Помимо непрерывных параметров $v$ и $x_{0}$, солитон модели SG имеет важную дискретную характеристику – топологический заряд $Q=-‘ \varepsilon_{0}$. Иногда решения с зарядом $Q=1$ называют (собственно) солитонами, а с зарядом $Q=-1$ – антисолитонами.

Следующий по простоте случай получаем при $n_{1}=0$ и $n_{2}=1$; данными являются параметры $\lambda_{1}=-\bar{\lambda}_{2}, \operatorname{Im} \lambda_{1}, \operatorname{Re} \lambda_{1}>0$ и $\gamma_{1}=\bar{\gamma}_{2}
eq$ $
eq 0$. Решение задачи Римана имеет вид
\[
\begin{array}{c}
G_{+}(x, \lambda)=\Pi(x, \lambda) \mathscr{E}^{-1} \Omega^{-1}(x), \\
G_{-}(x, \lambda)=\Omega(x) \mathscr{E}^{-1}(x, \lambda) .
\end{array}
\]

Здесь $\Pi(x, \lambda)$ – произведение множителей Бляшке – Потапова:
\[
\Pi(x, \lambda)=B_{1}(x, \lambda) B_{2}(x, \lambda)
\]

с проекторами $P_{1}(x)$ и $P_{2}(x)$, определяемыми из уравнений
\[
\begin{array}{c}
\Pi^{*}\left(x, \lambda_{j}\right) \xi_{j}=0, \\
\xi_{i}^{*}(x)=\left(\begin{array}{c}
\bar{\gamma}_{j}(x) \\
1
\end{array}\right), \quad j=1,2,
\end{array}
\]

а матрица $\Omega(x)$ находится из равенства
и условия (5.128).
Решение уравнений (5.139) в общем случае было дано в § II. 5 первой части. После элементарных преобразований из

приведенных там формул и (4.23) получаем
\[
\varphi(x)=-\frac{4}{\beta} \operatorname{arctg} \frac{\lambda_{1}-\bar{\lambda}_{1}}{\lambda_{1}+\bar{\lambda}_{1}} \frac{\gamma_{1}(x)-\bar{\gamma}_{1}(x)}{1+\left|\gamma_{1}(x)\right|^{2}} .
\]

Вводя зависимость от времени заменой
\[
\gamma_{1}(x) \mapsto \exp \left\{\frac{m i}{2}\left(\lambda_{1}+\frac{1}{\lambda_{1}}\right) t\right\} \gamma_{1}(x),
\]

получаем решение $\varphi(x, t)$ уравнения $\mathrm{SG}$ :
\[
\varphi(x, t)=\frac{4}{\beta} \operatorname{arctg} \frac{
u}{\zeta} \frac{\sin \left(\frac{m \omega_{1}(t-v x)}{\sqrt{1-v^{2}}}+\varphi_{0}\right)}{\operatorname{ch}\left(\frac{m \omega_{2}\left(x-v t-x_{0}\right)}{\sqrt{1-v^{2}}}\right)},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\zeta=\operatorname{Re} \lambda_{1}, v=\operatorname{Im} \lambda_{1}, v=\frac{1-\left|\lambda_{1}\right|^{2}}{1+\left|\lambda_{1}\right|^{2}}, \varphi_{0}=\operatorname{atg} \gamma_{1}, \\
\omega_{1}=\frac{\zeta}{\left|\lambda_{1}\right|}, \quad \omega_{2}=\frac{v}{\left|\lambda_{1}\right|}, \quad x_{0}=\frac{\sqrt{1-v^{2}}}{m \omega_{2}} \ln \left|\gamma_{1}\right| .
\end{array}
\]

Қак всегда, $\pi(x, t)$ вычисляется по формуле (5.132).
Функция $\varphi(x, t)$ параметризуется четырьмя вещественными параметрами и описывает частицеподобное решение уравнения SG с внутренними степенями свободы. Оно называется двойным солитоном или бризером. Помимо движения, отвечающего релятивистской частице со скоростью $v$ и координатой центра инерции $x_{0}$ при $t=0$, двойной солитон осциллирует как в пространстве, так и во времени с частотами $\frac{m v \omega_{1}}{\sqrt{1-v^{2}}}$ и $\frac{m \omega_{1}}{\sqrt{1-v^{2}}}$ соответственно. Параметр фо играет роль начальной фазы. В частности, при $v=0$ двойной солитон является периодическим по $t$ решением уравнения SG. Двойной солитон имеет нулевой топологический заряд и его можно интерпретировать как релятивистское связанное состояние солитона и антисолитона.

Сравнивая модель SG с уже рассмотренными выше, можно отметить, что солитон модели SG, как и солитон модели НШ в случае конечной плотности, не имеет внутренних степеней свободы. В то же время двойной солитон модели SG ближе по своей природе к солитону модели НШ в быстроубывающем случае и модели $М Г$.

Опишем теперь общее $n$-солитонное решение уравнения $\mathrm{SG}$. Оно параметризуется $n_{1}+n_{2}$ несовпадающими числами $\lambda_{j}=-\bar{\lambda}_{j}=$ $=i \varkappa_{j}, x_{j}>0, j=1, \ldots, n_{1} ; \lambda_{k+n_{2}}=-\overline{\lambda_{k}}, \operatorname{Im} \lambda_{k}, \operatorname{Re} \lambda_{k}>0, k=n_{1}+1, \ldots$ $\ldots, n_{1}+n_{2}$, где $n=n_{1}+2 n_{2}$, и неравными нулю величинами $\gamma_{j}=$

$=\overline{\gamma_{j}}, j=1, \ldots, n_{1} ; \gamma_{k+n_{2}}=\bar{\gamma}_{k}, k=n_{1}+1, \ldots, n_{1}+n_{2}$. Решение $\varphi(x, t)$ определяется из уравнения
\[
e^{\frac{i\left(\varphi^{\prime} x, t\right)}{2} \sigma_{3}}=\mathscr{E}\left(-\sigma_{3}\right)^{n_{1}} \Pi(x, t, 0) \mathscr{E}^{-1}
\]

и условия
\[
\lim _{x \rightarrow-\infty} \varphi(x, t)=0,
\]

где матрица $\Pi(x, t, \lambda)$ представляет собой упорядоченное произведение множителей Бляшке – Потапова:

Участвующие в $B_{j}(x, t, \lambda)$ проекторы $P_{j}(x, t)$ определяются из системы уравнений
\[
\Pi^{*}\left(x, t, \lambda_{j}\right) \xi_{j}=0,
\]

где
\[
\xi_{j}(x, t)=\left(\begin{array}{c}
\bar{\gamma}_{j}(x, t) \\
1
\end{array}\right)
\]

и
\[
\gamma_{i}(x, t)=e^{\frac{m t}{2}\left(\left(\lambda_{j}-\frac{1}{\lambda_{i}}\right) x+\left(\lambda_{i}+\frac{1}{\lambda_{i}}\right) t\right)} \gamma_{i}, \quad j=1, \ldots, n .
\]
$\rightarrow \pm \infty$ распадается в сумму пространственно разделенных солитонов и двойных солитонов:
\[
\varphi(x, t)=\sum_{j=1}^{n_{1}} \varphi_{s j}^{( \pm)}(x, t)+\sum_{k=n+1}^{n_{1}+n_{2}} \varphi_{b k}^{( \pm)}(x, t)+O\left(e^{-c|t|}\right),
\]

где $c=\min \left\{\min _{j} \frac{m}{\sqrt{1-v_{j}^{2}}} \min _{i
eq j}\left|v_{i}-v_{j}\right|, \min _{k} \frac{m \omega_{i k}}{\sqrt{1-v_{k}^{3}}} \min _{k
eq l}\left|v_{k}-v_{l}\right|\right\}$. Здесь $\varphi_{s j}^{( \pm)}(x, t)$ – солитоны с параметрами
\[
v_{j}=\frac{1-x_{j}^{2}}{1+x_{j}^{2}}, \quad x_{j i}^{( \pm)}=x_{0 j} \pm \Delta x_{0 j}, \quad \varepsilon_{i}=-\operatorname{sign} \gamma_{j},
\]

где
\[
x_{j i}=\frac{\sqrt{1-v_{j}^{*}}}{m} \ln \left|\gamma_{i}\right|
\]

и
\[
\begin{array}{r}
\Delta x_{0 j}=\frac{\sqrt{1-v_{j}^{2}}}{m}\left(\sum_{\substack{1 \leqslant l \leqslant n,\left|\lambda_{l}\right|>\left|\lambda_{j}\right|}} \ln \left|\frac{\lambda_{j}-\bar{\lambda}_{l}}{\lambda_{j}-\lambda_{l}}\right|-\sum_{\substack{1 \leqslant l \leqslant n,\left|\lambda_{l}\right|<\left|\lambda_{j}\right|}} \ln \left|\frac{\lambda_{j}-\bar{\lambda}_{l}}{\lambda_{j}-\lambda_{l}}\right|\right), \\
j=1, \ldots, n_{1},
\end{array}
\]

а $\varphi_{b k}^{( \pm)}(x, t)$ – двойные солитоны с параметрами
\[
\begin{array}{c}
v_{k}=\frac{1-\left|\lambda_{k}\right|^{2}}{1+\left|\lambda_{k}\right|^{2}}, \quad \omega_{1 k}=\frac{\operatorname{Re} \lambda_{k}}{\left|\lambda_{k}\right|}, \quad \omega_{2 k}=\frac{\operatorname{Im} \lambda_{k}}{\left|\lambda_{k}\right|}, \\
x_{0 k}^{( \pm)}=x_{0 k} \pm \Delta x_{0 k}, \quad \varphi_{0 k}^{( \pm)}=\varphi_{0 k} \pm \Delta \varphi_{0 k},
\end{array}
\]

где
\[
x_{0 k}=\frac{\sqrt{1-v_{k}^{2}}}{m \omega_{2 k}} \ln \left|\gamma_{k}\right|, \quad \varphi_{0 k}=\arg \gamma_{k}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
\Delta x_{0 k}=\frac{\sqrt{1-v_{k}^{2}}}{m \omega_{2 k}}\left(\sum_{\substack{1 \leqslant l \leqslant n,\left|\lambda_{l}\right|>\left|\lambda_{k}\right|}} \ln \left|\frac{\lambda_{k}-\bar{\lambda}_{l}}{\lambda_{k}-\lambda_{l}}\right|-\sum_{\substack{1 \leqslant l \leqslant n,\left|\lambda_{l}\right|<\left|\lambda_{k}\right|}} \ln \left|\frac{\lambda_{k}-\bar{\lambda}_{l}}{\lambda_{k}-\lambda_{l}}\right|\right), \\
\Delta \varphi_{0 k}=\sum_{\substack{1 \leqslant l \leqslant n,\left|\lambda_{l}\right|>\left|\lambda_{k}\right|}} \arg \frac{\lambda_{k}-\bar{\lambda}_{l}}{\lambda_{k}-\lambda_{l}}-\sum_{\substack{1 \leqslant l \leqslant n \\
\left|\lambda_{l}\right|<\left|\lambda_{k}\right|}} \arg \frac{\lambda_{k}-\bar{\lambda}_{l}}{\lambda_{k}-\lambda_{l}}, \\
k=n_{1}+1, \ldots, n_{1}+n_{2} . \\
\end{array}
\]

Ситуация общего положения означает, что все скорости солитонов и двойных солитонов различны.

Для доказательства формул (5.151) – (5.159) достаточно воспользоваться результатами § II. 5 части I об асимптотическом поведении матрицы $\Pi(x, t, \lambda)$ при $t \rightarrow \pm \infty$ на прямых $x-v t=$ $=$ const.

Приведенные формулы показывают, что теория рассеяния солитонов в модели SG является факторизованной. В следующем параграфе мы опишем ее с гамильтоновой точки зрения.

В заключение укажем, что, как следует из (5.151), топологический заряд $Q$ п-солитонного решения равен сумме зарядов входящих в него солитонов:
\[
Q=-\sum_{j=1}^{n_{1}} \varepsilon_{j}
\]

На самом деле это соотношение верно и в случае, когда $b(\lambda)
eq$ $
eq 0$. Действительно, можно показать, что при фиксированных $\lambda_{j}, \gamma_{j}, j=1, \ldots, n$, решения обратной задачи – функции $\varphi(x)$ и $\pi(x)$ – непрерывно зависят от $b(\lambda)$. В силу целочисленности

топологического заряда $Q$ отсюда следует справедливость формулы (5.160) и в общем случае.

Описание динамики солитонов и результатов по обратной задаче для модели SG на этом заканчивается.