Как отмечалось в конце $\mathrm{\$}2$, в быстроубывающем случае доказательство полной интегрируемости нашей модели проводится явно путем построения канонических переменных типа дейст. вие — угол. В следующем параграфе мы убедимся, что эти переменные строятся в терминах коэффициентов перехода некрерывного и дискретного спектра, введенных в § I.5-I.6. Здесь же мы получим вспомогательные формулы — вычислим скобки Пуассона этих коэффициентов перехода.

Напомним, что коэффициенты перехода непрерывного спектра определяются из приведенной матрицы монодромии
$$T(\lambda )=\underset{\begin{array}{c}x\to \mathrm{\infty }\\ j\to -\mathrm{\infty }\end{array}}{lim}E(-x,\lambda )T(x,y,\lambda )E(y,\lambda )=\left(\begin{array}{ll}a(\lambda )& \epsilon \overline{b}(\lambda )\\ \mathit{b}(\lambda )& \overline{a}(\lambda )\end{array}\right),$$

где $\epsilon =\mathrm{sign}x,\lambda$ вещественно и $E(x,\lambda )=\exp \left\{\frac{\lambda x}{2i}{\sigma }_3\right\}$. Коэффициенты перехода дискретного спектра появляются лишь в случае $\epsilon =-1$ и вводятся посредством соотношения
$$T_{-}^{(1)}(x,{\lambda }_j)={\gamma }_j{T}_{+}^{(2)}(x,{\lambda }_j),j=1,\dots ,n,$$

где ${\lambda }_j$ — нули функции $a(\lambda )$ в верхней полуплоскости переменной $\lambda$. Здесь $T_{-}^{(1^{\prime }}(x,\lambda )$ и $T_{+}^{(2)}(x,\lambda )$ обозначают, соответственно, первый и второй столбцы решений Иоста $T_{\pm }(x,\lambda )$, которые при вещественных $\lambda$ определяются как пределы
$$T_{\pm }(x,\lambda )=\underset{y\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}T(x,y,\lambda )E(y,\lambda ).$$

Именно указанные столбцы матриц $T_{\pm }(x,\lambda )$ допускают аналитическое продолжение в верхнюю полуплоскость (подробнее см. в § I.5-1.6).
Мы будем исходить из основной формулы, доказанной в $\mathrm{\S }1$ :
$$\begin{array}{l}\{T(x,y,\lambda )\oslash T(x,y,\mu )\}=\\ =[r(\lambda -\mu ),T(x,y,\lambda )\otimes T(x,y,\mu )],y<x,\end{array}$$

и перейдем в ней последовательно к пределам, возникающим в (6.1), (6.3). При этом наши рассуждения будут носить формальный характер. Их интерпретация в терминах алгебры наблюдаемых на фазовом пространстве ${\mathcal{M}}_0$ будет дана в следующем параграфе.

Начнем с вычисления скобок Пуассона решений Иоста $T_{-}(x,\lambda )$ при вещественных $\lambda$. Для этого умножим (6.4) справа на матрицу $E(y,\lambda )\otimes E(y,\mu )$ и перейдем к пределу при $y\to -\mathrm{\infty }$. В левой части мы получим искомую матрицу скобок Пуассона $\{T_{-}(x,{\hat{\lambda }}_{-})\otimes T_{-}(x,\mu )\}$. Для вычисления предела правой части разобьем коммутатор в (6.4) на два слагаемых. Заметим, что при этом каждое из них будет сингулярно при $\lambda =\mu$, и поэтому дия определенности зафиксируем выбор обобщенной функции $\frac{1}{\lambda -\mu }$ в виде v.p. $\frac{1}{\lambda -\mu }$. Поскольку выражение (6.4) несингулярно при $\lambda =\mu$, то ясно, что этот выбор не влияет на конечный результат.

В стагаемом $r(\lambda -\mu )(T(x,y,\lambda )\otimes T(x,y,\mu ))$ матрицы $E(y,\lambda )$ и $E(y,\mu )$ умножатся слева на соответствующие им матрицы перехода, и в пределе при $y\to -\mathrm{\infty }$ мы получим $r(\lambda -\mu )(T_{-}(x,\lambda )\otimes$ $\otimes T_{-}(x,\mu ))$. Однако в слагаемом $(T(x,y,\lambda )\otimes T(x,y,\mu ))r(\lambda -\mu )$ этого не происходит. и мы перепишем его вклад в виде произведения матрицы $T(x,y,\lambda )E(y,\lambda )\otimes T(x,y,\mu )E(y,\mu )$, которая сходится при $y\to -\mathrm{\infty }$ к $T_{-}(x,\lambda )\otimes T_{-}(x,\mu )$, и матрицы $(E(-y,\lambda )\otimes E(-y,\mu ))r(\lambda -\mu )(E(y,\lambda )\otimes E(y,\mu ))$. В силу явного вида (1.19) матрицы $r(\lambda )$ и свойства перестановки (1.10) ее можно переписать в виде $(E(y,\mu -\lambda )\otimes E(y,\lambda -\mu ))r(\lambda -\mu )$. При $y\to -\mathrm{\infty }$ эта матрица имеет предел в смысле обобщенных функций. Д.ля его вычисления воспользуемся известной формулой
$$\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{lim}\mathrm{v}\cdot \mathrm{p}\cdot \frac{e^{\pm i\hslash y}}{\lambda }=\mp \pi i\delta (\lambda )$$

и явным видом матриц $E(y,\lambda )$ и $r(\lambda )$. В результате для предельной матрицы $r_{-}(\lambda -\mu )$
$$r_{-}(\lambda -\mu )=\underset{y\to -\mathrm{\infty }}{lim}E(y,\mu -\lambda )\otimes E(y,\lambda -\mu )r(\lambda -\mu )$$

мы получим выражение
$$r_{-}(\lambda )=-x\left(\begin{array}{cccc}\text{ v. p. }\frac{1}{\lambda }& 0& 0& 0\\ 0& 0& -\pi i\delta (\lambda )& 0\\ 0& \pi i\delta (\lambda )& 0& 0\\ 0& 0& 0& \text{ v. p. }\frac{1}{\lambda }\end{array}\right).$$

Таким образом, имеем окончательное соотношение
$$\begin{array}{l}\{T_{-}(x,\lambda )\otimes T_{-}(x,\mu )\}=r(\lambda -\mu )T_{-}(x,\lambda )\otimes T_{-}(x,\mu )-\\ -T_{-}(x,\lambda )\otimes T_{-}(x,\mu )r_{-}(\lambda -\mu ).\end{array}$$

Аналогичным образом получаем, что
$$\begin{array}{l}\{T_{+}(x,\lambda )\otimes T_{+}(x,\mu )\}=T_{+}(x,\lambda )\otimes T_{+}(x,\mu )r_{+}(\lambda -\mu )-\\ -r(\lambda -\mu )T_{+}(x,\lambda )\otimes T_{+}(x,\mu ),\end{array}$$

где
$$r_{+}(\lambda -\mu )=\underset{y\to +\mathrm{\infty }}{lim}E(y,\mu -\lambda )\otimes E(y,\lambda -\mu )r(\lambda -\mu )$$

и матрица $r_{+}(\lambda )$ отличается от $r_{-}(\lambda )$ заменой $i$ на $-i$. И наконец, на основании свойства ультралокальности (см. §1) имеем соонношение
$$\{T_{-}(x,\lambda )\otimes T_{+}(x,\mu )\}=0.$$

Скобки Пуассона приведенной матрицы монодромии вычисляются на основании полученных формул. Так, умножая (6.8) на матрицу $E(-x,\lambda )\otimes E(-x,\mu )$ слева, переходя к пределу при $x\to +\mathrm{\infty }$ и используя (6.10), получаем, что
$$\{T(\lambda )\otimes T(\mu )\}=r_{+}(\lambda -\mu )T(\lambda )\otimes T(\mu )-T(\lambda )\otimes T(\mu )r_{-}(\lambda -\mu ).$$

Это соотношение играет основную роль, и мы его распишем подробнее через матричные элементы. В силу явного вида матрицы $T(\lambda )16$ соотношений в (6.12) являются следствиями 6 основных:
$$\begin{array}{c}\{a(\lambda ),a(\mu )\}=0,\\ \{a(\lambda ),\overline{a}(\mu )\}=0,\\ \{a(\lambda ),b(\mu )\}=\frac{\chi }{\lambda -\mu +i0}a(\lambda )b(\mu ),\\ \{a(\lambda ),\overline{b}(\mu )\}=-\frac{\chi }{\lambda -\mu +i0}a(\lambda )\overline{b}(\mu ),\\ \{b(\lambda ),b(\mu )\}=0,\\ \{b(\lambda ),\overline{b}(\mu )\}=2\pi i|\chi ||a(\lambda ){|}^2\delta (\lambda -\mu ).\end{array}$$

Появление обобщенной функции $\frac{1}{\lambda +i0}$ в этих формулах

Сохоцкого — Племеля
$$\frac{1}{\lambda \pm i0}=\mathrm{v}\cdot \mathrm{p}\cdot \frac{1}{\lambda }\mp \pi i\delta (\lambda ).$$

Подчеркнем, что формулы (6.13) — (6.18) согласованы с условием аналитичности $a(\lambda )$ в верхней полуплоскости, так что первые четыре соотношения допускают аналитическое продолжение цо $\lambda$.

Перейдем теперь к вычислению скобок Пуассона характеристик дискретного спектра ${\lambda }_j,{\overline{\lambda }}_j,{\gamma }_j,{\overline{\gamma }}_j;j=1,\dots ,n$. Из соотношений (6.13) и (6.14) непосредственно следует, что
$$\{a(\lambda ),{\lambda }_j\}=\{a(\lambda ),{\overline{\lambda }}_j\}=0$$

и
$$\{{\lambda }_j,{\lambda }_k\}=\{{\lambda }_j,{\lambda }_k\}=0,j,k=1,\dots ,n.$$

Для вычисления скобки Пуассона $\{{\lambda }_j,b(\mu )\}$ поступим следующим образом. Рассмотрим формулу (6.15)
$$\{a(\lambda ),b(\mu )\}=\frac{x}{\lambda -\mu }a(\lambda )b(\mu )$$

где считается, что $\mathrm{Im}\lambda >0$, и представление
$$a(\lambda )=\prod _{j=1}^n\frac{\lambda -{\hat{\lambda }}_i}{\lambda -{\overline{\lambda }}_j}\tilde{a}(\lambda ).$$

Функция $\tilde{a}(\lambda )$ аналитична в верхней полуплоскости и уже не имеет нулей, так что $\ln \tilde{a}(\lambda )$ является аналитической функцией при $\mathrm{Im}\lambda >0$. Подставим теперь это представление в формулу (6.22) и перепишем ее в виде
$$\begin{array}{rl}\{\ln a(\lambda ),b(\mu )\}& =\{\ln \tilde{a}(\lambda ),b(\mu )\}+\\ & +\sum _{j=\mathbf{1}}^n(\frac{\{{\overline{\lambda }}_j,b(\mu )\}}{\lambda -{\overline{\lambda }}_j}-\frac{\{{\lambda }_j,b(\mu )\}}{\lambda -{\lambda }_j})=\frac{x}{\lambda -\mu }b(\mu ).\end{array}$$

Поскольку правая часть этого равенства аналитична при $\mathrm{Im}\lambda >$ $>0$, то отсюда получаем, что левая часть не имеет особенностей при $\lambda ={\lambda }_j$, так что
$$\{b(\mu ),{\lambda }_j\}=0.$$

Аналогичным образом, рассматривая скобку Пуассона $\{\overline{a}(\lambda )$, $\dot{b}(\mu )\}$, получаем, что
$$\{b(\mu ),{\overline{\lambda }}_j\}=0,j=1,\dots ,n.$$

Для вычисления оставшихся скобок Пуассона, в которых участвуют коэффициенты ${\gamma }_j,{\gamma }_j$, приходится использовать и более общие соотношения (6.8), (6.9) и (6.11). Рассмотрим сначала наиболее интересную скобку Пуассона $\{a(\lambda ),{\gamma }_j\}$.

Введем обозначения для компонент столбцов $T_{-}^{(1)}(x,\lambda )$ и $T_{+}^{\prime 2:}(x,\lambda )$ решений Иоста:
$$T_{-}^{1)}(x,\lambda )=\left(\begin{array}{l}{f}_{-}(x,\lambda )\\ g_{-}(x,\lambda )\end{array}\right),T_{+}^{(2)}(x,\lambda )=\left(\begin{array}{l}{f}_{+}(x,\lambda )\\ g_{+}(x,\lambda )\end{array}\right),$$

которыс аналитически продолжаются в верхнюю полуплоскость. Из соотношения
$$T(\lambda )=T_{+}^{-1}(x,\lambda )T_{-}(x,\lambda )$$

по.тучаем, что
$$a(\lambda )=f_{-}(x,\lambda )g_{+}(x,\lambda )-f_{+}(x,\lambda )g_{-}(x,\lambda )$$
(см. § I.5—I.6). В этих терминах формула (6.2) принимает вид
$${\gamma }_j={\frac{f_{-}(x,\mu )}{f_{+}(x,\mu )}|}_{\mu ={\lambda }_i}={\frac{g_{-}(x,\mu )}{g_{+}(x,\mu )}|}_{\mu ={\lambda }_{ij}}.$$

Подставим эти представления в $\{a(\lambda ),{\gamma }_j\}$, взяв для ${\gamma }_j$, например, первую формулу в (6.30). Возникающие при этом скобки Пуассона вычисляются на основании (6.8), (6.9) и (6.11) и имеют вид
$$\begin{array}{c}\{f_{\pm }(x,\lambda ),f_{\pm }(x,\mu )\}=0,\\ \{f_{-}(x,\lambda ),f_{\pm }(x,\mu )\}=0,\\ \{g_{\pm }(x,\lambda ),f_{\mp }(x,\mu )\}=0,\\ \{g_{\pm }(x,\lambda ),f_{\pm }(x,\mu )\}=\mp \frac{x}{\lambda -\mu }(g_{\pm }(x,\lambda )f_{\pm }(x,\mu )-g_{\pm }(x,\mu )f_{\pm }(x,\lambda )),\end{array}$$

окуда ясно, что оии допускают аналитическое продолжение по $\mu$, так что мы можем положить $\mu ={\lambda }_j$. Собирая ненулевые вклады, получаем, что
$$\begin{array}{l}\{a(\lambda ),{\gamma }_j\}=\\ =\frac{x}{{\lambda }_{-}{\lambda }_j}(\frac{f_{-}(x,{\lambda }_{)})f_{-}(x,{\lambda }_j)}{f_{+}^2(x,{\lambda }_j)}(g_{+}(x,\lambda )f_{+}(x,{\lambda }_j)-g_{+}(x,{\lambda }_j)f_{+}(x,\lambda ))-\\ -\frac{f_{+}(x,{\lambda }_1)}{f_{+}(x,{\lambda }_j)}(g_{-}(x,\lambda )f_{-}(x,{\lambda }_j)-g_{-}(x,{\lambda }_j)f_{-}(x,\lambda )))=\\ =\frac{\gamma a(\lambda ){\gamma }_j}{\lambda -{\lambda }_j}+\frac{\alpha }{\lambda -{\lambda }_j}{f}_{+}(x,\lambda )f_{-}(x,\lambda )(\frac{g_{-}(x,{\lambda }_j)}{f_{+}(x,{\lambda }_j)}-\frac{g_{+}(x,{\lambda }_j)f_{-}(x,{\lambda }_j)}{f_{+}^{\prime }(x,{\lambda }_j)}).\end{array}$$

Вторөе слагаемое в этой формуле исчезает в силу (6.30) и, таким образом, окончательно имеем
$$\{a(\lambda ),{\gamma }_i\}=\frac{\mathit{x}}{\lambda -{\lambda }_i}a(\lambda ){\gamma }_j.$$

Аналогичным образом получаем
$$\{a(\lambda ),{\overline{\gamma }}_j\}=-\frac{\mathrm{\%}}{\lambda -{\overline{\lambda }}_i}a(\lambda ){\overline{\gamma }}_j$$

и
$$\{b(\lambda ),{\gamma }_i\}=\{b(\lambda ),{\gamma }_i\}=0,j=1,\dots ,n.$$

Отметим, что формулы (6.15), (6.16) и (6.36), (6.37) согласованы с соотношениями
$${\gamma }_i=b\left({\lambda }_j\right),{\overline{\gamma }}_i=b^{\ast }\left({\lambda }_j\right),$$

имеющими смысл только для финитных функций $\psi (x),\overline{\psi }(x)$. В этом случае $b(\lambda )$ допускает аналитическое продолжение на всю плоскость, а $b^{\ast }(\lambda )$ аналитически продолжает функцию $\overrightarrow{b}(\lambda )$ с вещественной оси по формуле $b^{\ast }(\lambda )=\overline{b}(\overline{\lambda -)}$ (см. § I.6).

Далее, действуя, как при выводе соотношения (6.25), из формул (6.36)-(6.37) получаем скобки Пуассона
$$\begin{array}{l}\{{\gamma }_j,{\lambda }_k\}=x{\gamma }_j{\delta }_{jk},\\ \{{\gamma }_i,{\overline{\lambda }}_k\}=0,j,k=1,\dots ,n.\end{array}$$

Неисчезающая правая часть в (6.40) возникает при сравнении вычетов при $\lambda ={\lambda }_j$ в формуле типа (6.24).

Наконец, используя представления (6.30) и соотношения $(6.8),(6.9),(6.11)$, получаем равенства
$$\{{\gamma }_i,{\gamma }_k\}=\{{\gamma }_i,{\overline{\gamma }}_k\}=0,j,k=1,\dots n.$$

Вычисление скобок Пуассона коэффициентов перехода непрерывного и дискретного спектра на этом заканчивается.

Вспомним теперь, что исходными данными, участвующими в решении обратной задачи и, тем самым, однозначно параметрнзующими функции $\psi (x),\overline{\psi }(x)$, являются только коэффициенты перехода $b(\lambda ),\overrightarrow{b}(\lambda );{\gamma }_j,{\overline{\gamma }}_j$ и дискретный спектр ${\lambda }_j,{\overline{\lambda }}_j,j=1,\dots ,n$ вспомогательной линейной задачи (см. §II.1-II.2). Коэффициент $a(\lambda )$ однозначно определяется по ним при помощи дисперсионного соотношения
$$a(\lambda )=\prod _{j=1}^n\frac{\lambda -{\lambda }_j}{\lambda -{\overrightarrow{\lambda }}_j}\exp \left\{\frac{1}{2\pi i}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln (1+\epsilon |b(\mu ){|}^2)}{!-\lambda }du\right\},$$

где $\mathrm{Im}\lambda >0$ и при $\epsilon =1$ произведение по нулям отсутствует (см. § I.6).

Неисчезающие скобки Пуассона переменных $b(\lambda ),\overline{b}(\lambda );{\gamma }_{\text{, }}$, ${\overline{\gamma }}_{j}u{\lambda }_j,{\overline{\lambda }}_j$ имеют вид
$u$
$$\{b(\lambda ),\overline{b}(\mu )\}=2\pi i|x|(1+\epsilon |b(\lambda ){|}^2)\delta (\lambda -\mu )$$
$$\{{\gamma }_j,{\lambda }_k\}=x{\gamma }_j{\delta }_{jk},j,k=1,\dots ,n.$$

Нетрудно убедиться, что вычисленные скобки Пуассона, содержащие $a(\lambda )$, совместны с (6.44) — (6.45) и дисперсионным соотношением (6.43).

Окончательные формулы (6.44) — (6.45) имеют удивительно простой вид. В следующем параграфе мы дадим их строгую интерпретацию и приведем явные выражения для канонических переменных типа действие — угол.