Как отмечалось в конце $\$ 2$, в быстроубывающем случае доказательство полной интегрируемости нашей модели проводится явно путем построения канонических переменных типа дейст. вие – угол. В следующем параграфе мы убедимся, что эти переменные строятся в терминах коэффициентов перехода некрерывного и дискретного спектра, введенных в § I.5-I.6. Здесь же мы получим вспомогательные формулы – вычислим скобки Пуассона этих коэффициентов перехода.

Напомним, что коэффициенты перехода непрерывного спектра определяются из приведенной матрицы монодромии
\[
T(\lambda)=\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\
j \rightarrow-\infty}} E(-x, \lambda) T(x, y, \lambda) E(y, \lambda)=\left(\begin{array}{ll}
a(\lambda) & \varepsilon \bar{b}(\lambda) \\
\boldsymbol{b}(\lambda) & \bar{a}(\lambda)
\end{array}\right),
\]

где $\varepsilon=\operatorname{sign} x, \lambda$ вещественно и $E(x, \lambda)=\exp \left\{\frac{\lambda x}{2 i} \sigma_{3}\right\}$. Коэффициенты перехода дискретного спектра появляются лишь в случае $\varepsilon=-1$ и вводятся посредством соотношения
\[
T_{-}^{(1)}\left(x, \lambda_{j}\right)=\gamma_{j} T_{+}^{(2)}\left(x, \lambda_{j}\right), \quad j=1, \ldots, n,
\]

где $\lambda_{j}$ – нули функции $a(\lambda)$ в верхней полуплоскости переменной $\lambda$. Здесь $T_{-}^{\left(1^{\prime}\right.}(x, \lambda)$ и $T_{+}^{(2)}(x, \lambda)$ обозначают, соответственно, первый и второй столбцы решений Иоста $T_{ \pm}(x, \lambda)$, которые при вещественных $\lambda$ определяются как пределы
\[
T_{ \pm}(x, \lambda)=\lim _{y \rightarrow \pm \infty} T(x, y, \lambda) E(y, \lambda) .
\]

Именно указанные столбцы матриц $T_{ \pm}(x, \lambda)$ допускают аналитическое продолжение в верхнюю полуплоскость (подробнее см. в § I.5-1.6).
Мы будем исходить из основной формулы, доказанной в $\S 1$ :
\[
\begin{array}{l}
\{T(x, y, \lambda) \oslash T(x, y, \mu)\}= \\
=[r(\lambda-\mu), T(x, y, \lambda) \otimes T(x, y, \mu)], \quad y<x,
\end{array}
\]

и перейдем в ней последовательно к пределам, возникающим в (6.1), (6.3). При этом наши рассуждения будут носить формальный характер. Их интерпретация в терминах алгебры наблюдаемых на фазовом пространстве $\mathscr{M}_{0}$ будет дана в следующем параграфе.

Начнем с вычисления скобок Пуассона решений Иоста $T_{-}(x, \lambda)$ при вещественных $\lambda$. Для этого умножим (6.4) справа на матрицу $E(y, \lambda) \otimes E(y, \mu)$ и перейдем к пределу при $y \rightarrow-\infty$. В левой части мы получим искомую матрицу скобок Пуассона $\left\{T_{-}\left(x, \hat{\lambda}_{-}\right) \otimes T_{-}(x, \mu)\right\}$. Для вычисления предела правой части разобьем коммутатор в (6.4) на два слагаемых. Заметим, что при этом каждое из них будет сингулярно при $\lambda=\mu$, и поэтому дия определенности зафиксируем выбор обобщенной функции $\frac{1}{\lambda-\mu}$ в виде v.p. $\frac{1}{\lambda-\mu}$. Поскольку выражение (6.4) несингулярно при $\lambda=\mu$, то ясно, что этот выбор не влияет на конечный результат.

В стагаемом $r(\lambda-\mu)(T(x, y, \lambda) \otimes T(x, y, \mu))$ матрицы $E(y, \lambda)$ и $E(y, \mu)$ умножатся слева на соответствующие им матрицы перехода, и в пределе при $y \rightarrow-\infty$ мы получим $r(\lambda-\mu)\left(T_{-}(x, \lambda) \otimes\right.$ $\left.\otimes T_{-}(x, \mu)\right)$. Однако в слагаемом $(T(x, y, \lambda) \otimes T(x, y, \mu)) r(\lambda-\mu)$ этого не происходит. и мы перепишем его вклад в виде произведения матрицы $T(x, y, \lambda) E(y, \lambda) \otimes T(x, y, \mu) E(y, \mu)$, которая сходится при $y \rightarrow-\infty$ к $T_{-}(x, \lambda) \otimes T_{-}(x, \mu)$, и матрицы $(E(-y, \lambda) \otimes E(-y, \mu)) r(\lambda-\mu)(E(y, \lambda) \otimes E(y, \mu))$. В силу явного вида (1.19) матрицы $r(\lambda)$ и свойства перестановки (1.10) ее можно переписать в виде $(E(y, \mu-\lambda) \otimes E(y, \lambda-\mu)) r(\lambda-\mu)$. При $y \rightarrow-\infty$ эта матрица имеет предел в смысле обобщенных функций. Д.ля его вычисления воспользуемся известной формулой
\[
\lim _{t \rightarrow-\infty} \mathrm{v} \cdot \mathrm{p} \cdot \frac{e^{ \pm i \hbar y}}{\lambda}=\mp \pi i \delta(\lambda)
\]

и явным видом матриц $E(y, \lambda)$ и $r(\lambda)$. В результате для предельной матрицы $r_{-}(\lambda-\mu)$
\[
r_{-}(\lambda-\mu)=\lim _{y \rightarrow-\infty} E(y, \mu-\lambda) \otimes E(y, \lambda-\mu) r(\lambda-\mu)
\]

мы получим выражение
\[
r_{-}(\lambda)=-x\left(\begin{array}{cccc}
\text { v. p. } \frac{1}{\lambda} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -\pi i \delta(\lambda) & 0 \\
0 & \pi i \delta(\lambda) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \text { v. p. } \frac{1}{\lambda}
\end{array}\right) .
\]

Таким образом, имеем окончательное соотношение
\[
\begin{array}{l}
\left\{T_{-}(x, \lambda) \otimes T_{-}(x, \mu)\right\}=r(\lambda-\mu) T_{-}(x, \lambda) \otimes T_{-}(x, \mu)- \\
-T_{-}(x, \lambda) \otimes T_{-}(x, \mu) r_{-}(\lambda-\mu) .
\end{array}
\]

Аналогичным образом получаем, что
\[
\begin{array}{l}
\left\{T_{+}(x, \lambda) \otimes T_{+}(x, \mu)\right\}=T_{+}(x, \lambda) \otimes T_{+}(x, \mu) r_{+}(\lambda-\mu)- \\
-r(\lambda-\mu) T_{+}(x, \lambda) \otimes T_{+}(x, \mu),
\end{array}
\]

где
\[
r_{+}(\lambda-\mu)=\lim _{y \rightarrow+\infty} E(y, \mu-\lambda) \otimes E(y, \lambda-\mu) r(\lambda-\mu)
\]

и матрица $r_{+}(\lambda)$ отличается от $r_{-}(\lambda)$ заменой $i$ на $-i$. И наконец, на основании свойства ультралокальности (см. §1) имеем соонношение
\[
\left\{T_{-}(x, \lambda) \otimes T_{+}(x, \mu)\right\}=0 .
\]

Скобки Пуассона приведенной матрицы монодромии вычисляются на основании полученных формул. Так, умножая (6.8) на матрицу $E(-x, \lambda) \otimes E(-x, \mu)$ слева, переходя к пределу при $x \rightarrow+\infty$ и используя (6.10), получаем, что
\[
\{T(\lambda) \otimes T(\mu)\}=r_{+}(\lambda-\mu) T(\lambda) \otimes T(\mu)-T(\lambda) \otimes T(\mu) r_{-}(\lambda-\mu) .
\]

Это соотношение играет основную роль, и мы его распишем подробнее через матричные элементы. В силу явного вида матрицы $T(\lambda) 16$ соотношений в (6.12) являются следствиями 6 основных:
\[
\begin{array}{c}
\{a(\lambda), a(\mu)\}=0, \\
\{a(\lambda), \bar{a}(\mu)\}=0, \\
\{a(\lambda), b(\mu)\}=\frac{\chi}{\lambda-\mu+i 0} a(\lambda) b(\mu), \\
\{a(\lambda), \bar{b}(\mu)\}=-\frac{\chi}{\lambda-\mu+i 0} a(\lambda) \bar{b}(\mu), \\
\{b(\lambda), b(\mu)\}=0, \\
\{b(\lambda), \bar{b}(\mu)\}=2 \pi i|\chi||a(\lambda)|^{2} \delta(\lambda-\mu) .
\end{array}
\]

Появление обобщенной функции $\frac{1}{\lambda+i 0}$ в этих формулах

Сохоцкого – Племеля
\[
\frac{1}{\lambda \pm i 0}=\mathrm{v} \cdot \mathrm{p} \cdot \frac{1}{\lambda} \mp \pi i \delta(\lambda) .
\]

Подчеркнем, что формулы (6.13) – (6.18) согласованы с условием аналитичности $a(\lambda)$ в верхней полуплоскости, так что первые четыре соотношения допускают аналитическое продолжение цо $\lambda$.

Перейдем теперь к вычислению скобок Пуассона характеристик дискретного спектра $\lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}, \gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j} ; j=1, \ldots, n$. Из соотношений (6.13) и (6.14) непосредственно следует, что
\[
\left\{a(\lambda), \lambda_{j}\right\}=\left\{a(\lambda), \bar{\lambda}_{j}\right\}=0
\]

и
\[
\left\{\lambda_{j}, \lambda_{k}\right\}=\left\{\lambda_{j}, \lambda_{k}\right\}=0, \quad j, k=1, \ldots, n .
\]

Для вычисления скобки Пуассона $\left\{\lambda_{j}, b(\mu)\right\}$ поступим следующим образом. Рассмотрим формулу (6.15)
\[
\{a(\lambda), b(\mu)\}=\frac{x}{\lambda-\mu} a(\lambda) b(\mu)
\]

где считается, что $\operatorname{Im} \lambda>0$, и представление
\[
a(\lambda)=\prod_{j=1}^{n} \frac{\lambda-\hat{\lambda}_{i}}{\lambda-\bar{\lambda}_{j}} \tilde{a}(\lambda) .
\]

Функция $\tilde{a}(\lambda)$ аналитична в верхней полуплоскости и уже не имеет нулей, так что $\ln \tilde{a}(\lambda)$ является аналитической функцией при $\operatorname{Im} \lambda>0$. Подставим теперь это представление в формулу (6.22) и перепишем ее в виде
\[
\begin{aligned}
\{\ln a(\lambda), b(\mu)\} & =\{\ln \tilde{a}(\lambda), b(\mu)\}+ \\
& +\sum_{j=\mathbf{1}}^{n}\left(\frac{\left\{\bar{\lambda}_{j}, b(\mu)\right\}}{\lambda-\bar{\lambda}_{j}}-\frac{\left\{\lambda_{j}, b(\mu)\right\}}{\lambda-\lambda_{j}}\right)=\frac{x}{\lambda-\mu} b(\mu) .
\end{aligned}
\]

Поскольку правая часть этого равенства аналитична при $\operatorname{Im} \lambda>$ $>0$, то отсюда получаем, что левая часть не имеет особенностей при $\lambda=\lambda_{j}$, так что
\[
\left\{b(\mu), \lambda_{j}\right\}=0 .
\]

Аналогичным образом, рассматривая скобку Пуассона $\{\bar{a}(\lambda)$, $\dot{b}(\mu)\}$, получаем, что
\[
\left\{b(\mu), \bar{\lambda}_{j}\right\}=0, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Для вычисления оставшихся скобок Пуассона, в которых участвуют коэффициенты $\gamma_{j}, \gamma_{j}$, приходится использовать и более общие соотношения (6.8), (6.9) и (6.11). Рассмотрим сначала наиболее интересную скобку Пуассона $\left\{a(\lambda), \gamma_{j}\right\}$.

Введем обозначения для компонент столбцов $T_{-}^{(1)}(x, \lambda)$ и $T_{+}^{\prime 2:}(x, \lambda)$ решений Иоста:
\[
T_{-}^{1)}(x, \lambda)=\left(\begin{array}{l}
f_{-}(x, \lambda) \\
g_{-}(x, \lambda)
\end{array}\right), \quad T_{+}^{(2)}(x, \lambda)=\left(\begin{array}{l}
f_{+}(x, \lambda) \\
g_{+}(x, \lambda)
\end{array}\right),
\]

которыс аналитически продолжаются в верхнюю полуплоскость. Из соотношения
\[
T(\lambda)=T_{+}^{-1}(x, \lambda) T_{-}(x, \lambda)
\]

по.тучаем, что
\[
a(\lambda)=f_{-}(x, \lambda) g_{+}(x, \lambda)-f_{+}(x, \lambda) g_{-}(x, \lambda)
\]
(см. § I.5–I.6). В этих терминах формула (6.2) принимает вид
\[
\gamma_{j}=\left.\frac{f_{-}(x, \mu)}{f_{+}(x, \mu)}\right|_{\mu=\lambda_{i}}=\left.\frac{g_{-}(x, \mu)}{g_{+}(x, \mu)}\right|_{\mu=\lambda_{i j}} .
\]

Подставим эти представления в $\left\{a(\lambda), \gamma_{j}\right\}$, взяв для $\gamma_{j}$, например, первую формулу в (6.30). Возникающие при этом скобки Пуассона вычисляются на основании (6.8), (6.9) и (6.11) и имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\left\{f_{ \pm}(x, \lambda), f_{ \pm}(x, \mu)\right\}=0, \\
\left\{f_{-}(x, \lambda), f_{ \pm}(x, \mu)\right\}=0, \\
\left\{g_{ \pm}(x, \lambda), f_{\mp}(x, \mu)\right\}=0, \\
\left\{g_{ \pm}(x, \lambda), f_{ \pm}(x, \mu)\right\}=\mp \frac{x}{\lambda-\mu}\left(g_{ \pm}(x, \lambda) f_{ \pm}(x, \mu)-g_{ \pm}(x, \mu) f_{ \pm}(x, \lambda)\right),
\end{array}
\]

окуда ясно, что оии допускают аналитическое продолжение по $\mu$, так что мы можем положить $\mu=\lambda_{j}$. Собирая ненулевые вклады, получаем, что
\[
\begin{array}{l}
\left\{a(\lambda), \gamma_{j}\right\}= \\
=\frac{x}{\lambda_{-} \lambda_{j}}\left(\frac{f_{-}\left(x, \lambda_{)}\right) f_{-}\left(x, \lambda_{j}\right)}{f_{+}^{2}\left(x, \lambda_{j}\right)}\left(g_{+}(x, \lambda) f_{+}\left(x, \lambda_{j}\right)-g_{+}\left(x, \lambda_{j}\right) f_{+}(x, \lambda)\right)-\right. \\
\left.\quad-\frac{f_{+}\left(x, \lambda_{1}\right)}{f_{+}\left(x, \lambda_{j}\right)}\left(g_{-}(x, \lambda) f_{-}\left(x, \lambda_{j}\right)-g_{-}\left(x, \lambda_{j}\right) f_{-}(x, \lambda)\right)\right)= \\
=\frac{\gamma a(\lambda) \gamma_{j}}{\lambda-\lambda_{j}}+\frac{\alpha}{\lambda-\lambda_{j}} f_{+}(x, \lambda) f_{-}(x, \lambda)\left(\frac{g_{-}\left(x, \lambda_{j}\right)}{f_{+}\left(x, \lambda_{j}\right)}-\frac{g_{+}\left(x, \lambda_{j}\right) f_{-}\left(x, \lambda_{j}\right)}{f_{+}^{\prime}\left(x, \lambda_{j}\right)}\right) .
\end{array}
\]

Вторөе слагаемое в этой формуле исчезает в силу (6.30) и, таким образом, окончательно имеем
\[
\left\{a(\lambda), \gamma_{i}\right\}=\frac{\boldsymbol{x}}{\lambda-\lambda_{i}} a(\lambda) \gamma_{j} .
\]

Аналогичным образом получаем
\[
\left\{a(\lambda), \bar{\gamma}_{j}\right\}=-\frac{\%}{\lambda-\bar{\lambda}_{i}} a(\lambda) \bar{\gamma}_{j}
\]

и
\[
\left\{b(\lambda), \gamma_{i}\right\}=\left\{b(\lambda), \gamma_{i}\right\}=0, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Отметим, что формулы (6.15), (6.16) и (6.36), (6.37) согласованы с соотношениями
\[
\gamma_{i}=b\left(\lambda_{j}\right), \quad \bar{\gamma}_{i}=b^{*}\left(\lambda_{j}\right),
\]

имеющими смысл только для финитных функций $\psi(x), \bar{\psi}(x)$. В этом случае $b(\lambda)$ допускает аналитическое продолжение на всю плоскость, а $b^{*}(\lambda)$ аналитически продолжает функцию $\vec{b}(\lambda)$ с вещественной оси по формуле $b^{*}(\lambda)=\bar{b}(\overline{\lambda-)}$ (см. § I.6).

Далее, действуя, как при выводе соотношения (6.25), из формул (6.36)-(6.37) получаем скобки Пуассона
\[
\begin{array}{l}
\left\{\gamma_{j}, \lambda_{k}\right\}=x \gamma_{j} \delta_{j k}, \\
\left\{\gamma_{i}, \bar{\lambda}_{k}\right\}=0, \quad j, k=1, \ldots, n .
\end{array}
\]

Неисчезающая правая часть в (6.40) возникает при сравнении вычетов при $\lambda=\lambda_{j}$ в формуле типа (6.24).

Наконец, используя представления (6.30) и соотношения $(6.8),(6.9),(6.11)$, получаем равенства
\[
\left\{\gamma_{i}, \gamma_{k}\right\}=\left\{\gamma_{i}, \bar{\gamma}_{k}\right\}=0, \quad j, k=1, \ldots n .
\]

Вычисление скобок Пуассона коэффициентов перехода непрерывного и дискретного спектра на этом заканчивается.

Вспомним теперь, что исходными данными, участвующими в решении обратной задачи и, тем самым, однозначно параметрнзующими функции $\psi(x), \bar{\psi}(x)$, являются только коэффициенты перехода $b(\lambda), \vec{b}(\lambda) ; \gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j}$ и дискретный спектр $\lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}, j=1, \ldots, n$ вспомогательной линейной задачи (см. §II.1-II.2). Коэффициент $a(\lambda)$ однозначно определяется по ним при помощи дисперсионного соотношения
\[
a(\lambda)=\prod_{j=1}^{n} \frac{\lambda-\lambda_{j}}{\lambda-\vec{\lambda}_{j}} \exp \left\{\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln \left(1+\varepsilon|b(\mu)|^{2}\right)}{!-\lambda} d u\right\},
\]

где $\operatorname{Im} \lambda>0$ и при $\varepsilon=1$ произведение по нулям отсутствует (см. § I.6).

Неисчезающие скобки Пуассона переменных $b(\lambda), \bar{b}(\lambda) ; \gamma_{\text {, }}$, $\bar{\gamma}_{j} u \lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}$ имеют вид
$u$
\[
\{b(\lambda), \bar{b}(\mu)\}=2 \pi i|x|\left(1+\varepsilon|b(\lambda)|^{2}\right) \delta(\lambda-\mu)
\]
\[
\left\{\gamma_{j}, \lambda_{k}\right\}=x \gamma_{j} \delta_{j k}, \quad j, k=1, \ldots, n .
\]

Нетрудно убедиться, что вычисленные скобки Пуассона, содержащие $a(\lambda)$, совместны с (6.44) – (6.45) и дисперсионным соотношением (6.43).

Окончательные формулы (6.44) – (6.45) имеют удивительно простой вид. В следующем параграфе мы дадим их строгую интерпретацию и приведем явные выражения для канонических переменных типа действие – угол.