В предыдущем пункте мы выразили генераторы сдвигов по $x$ и $t$ – импульс $P$ и гамильтониан $H$ – через канонические переменные типа действие угол. Здесь мы выразим через них генератор лоренцевых вращений $K$ (см. § I.1). С этой целью вычислим все вариационные производные генератора $K$ по отношению к переменным (6.35) – (6.38). Ясно, что для этого достаточно вычислить скобки Пуассона коэффициентов перехода и дискретного спектра с функционалом $K$.
Для любого функционала $F$ положим
\[
\delta F=\{K, F\}
\]

вводя тем самым вариацню вдоль $K$. Имеем (см. § I.1)
\[
\begin{array}{c}
\delta \varphi(x)=x \pi(x), \\
\delta \pi(x)=x\left(\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}-\frac{m^{2}}{\beta} \sin \beta \varphi\right)+\frac{\partial \varphi}{\partial x} .
\end{array}
\]

Отсюда и из явного вида матриц $U$ и $V$ в представлении нулевой кривизны из $§ 1.1$ получаем
\[
\delta U(x, \lambda)=x \frac{\partial V}{\partial x}-x[U, V]+\frac{\beta}{4 i} \frac{\partial \varphi}{\partial x} \sigma_{3} .
\]

Вычислим теперь вариацию $\delta T(x, y, \lambda)$ матрицы перехода вспомогательной линейной задачи модели SG. Имеем, используя (4.1) и (6.61):
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial x} \delta T=U(x, \lambda) \delta T+\delta U(x, \lambda) T= \\
=U \delta T+x \frac{\partial V}{\partial x} T-x U V T+x V U T+\frac{\beta}{4 i} \frac{\partial \varphi}{\partial x} \sigma_{3} T= \\
=U \delta T+x \frac{\partial V}{\partial x} T+x V \frac{\partial T}{\partial x}-x U V T+\frac{\beta}{4 i} \frac{\partial \varphi}{\partial x} \sigma_{3} T= \\
=U \delta T+x \frac{\partial}{\partial x}(V T)-x U V T+\frac{\beta}{4 i} \frac{\partial \varphi}{\partial x} \sigma_{3} T
\end{array}
\]

или
\[
\frac{\partial}{\partial x}(\delta T-x V T)=U(\delta T-x V T)-\left(V-\frac{\beta}{4 i} \frac{\partial \varphi}{\partial x} \sigma_{3}\right) T .
\]

Далее, дифференцируя уравнение (4.1) по $\lambda$ и опять используя явный вид матриц $U$ и $V$, получаем
\[
\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial \lambda} T=U \frac{\partial T}{\partial \lambda}+\frac{\partial U}{\partial \lambda} T=U \frac{\partial T}{\partial \lambda}+\frac{1}{\lambda}\left(V-\frac{\beta}{4 i} \frac{\partial \varphi}{\partial x} \sigma_{3}\right) T,
\]

благодаря чему уравнение (6.63) переписывается в виде
\[
\frac{\partial}{\partial x}\left(\delta T-x V T+\lambda \frac{\partial T}{\partial \lambda}\right)=U(x, \lambda)\left(\delta T-x V T+\lambda \frac{\partial T}{\partial \lambda}\right) .
\]

Это уравнение совпадает с уравненнем вспомогательной линейной задачи для нашей модели, и таким образом,
\[
\delta T-x V(x, \lambda) T+\lambda \frac{\partial T}{\partial \lambda}=T C(y, \lambda) .
\]

Используя граничное условие $\left.T(x, y, \lambda)\right|_{x=y}=1$, получаем, что
\[
C(y, \lambda)=-y V(y, \lambda),
\]

и окончательное выражение для $\delta T$ имеет вид
\[
\delta T(x, y, \lambda)=x V(x, \lambda) T(x, y, \lambda)-y T(x, y, \lambda) V(y, \lambda)-\lambda \frac{\partial T}{\partial \lambda}(x, y, \lambda) .
\]

Переходя к соответствующим пределам, получаем выражения для вариаций решений Иоста
\[
\delta T_{ \pm}(x, \lambda)=x V(x, \lambda) T_{ \pm}(x, \lambda)-\lambda \frac{\partial T_{ \pm}(x, \lambda)}{\partial \lambda}
\]

и приведенной матрицы монодромии
\[
\delta T(\lambda)=-\lambda \frac{\partial T}{\partial \lambda}(\lambda) .
\]

Отсюда получаем формулы
\[
\delta a(\lambda)=-\lambda \frac{d a}{d \lambda}(\lambda), \quad \delta b(\lambda)=-\lambda \frac{d b}{d \lambda}
\]

и
\[
\delta \lambda_{j}=\lambda_{j}, \quad \delta \gamma_{j}=0, \quad j=1, \ldots, n,
\]

из которых следует, что
\[
\begin{array}{c}
\delta \varphi(\lambda)=-\lambda \frac{d \varphi}{d \lambda}(\lambda)=\frac{\delta K}{\delta \rho(\lambda)}, \\
\delta \cap(\lambda)=-\rho(\lambda)-\lambda \frac{d \rho(\lambda)}{d \lambda}=-\frac{\delta K}{\delta \varphi(\lambda)}, \\
\delta p_{i}=-\frac{1}{\gamma}=-\frac{\partial K}{\partial q_{j}} \\
0=\frac{\partial K}{\partial p_{i}}, \quad i=1, \ldots, n_{1},
\end{array}
\]
и
\[
\begin{array}{c}
\delta \xi_{k}=-\frac{2}{\gamma}=-\frac{\partial K}{\partial \eta_{k}}, \\
\delta \eta_{k}=0=\frac{\partial K}{\partial \xi_{k}}, \\
\delta \rho_{k}=0=-\frac{\partial K}{\partial \Phi_{k}}, \\
\delta \varphi_{k}=0=\frac{\partial K}{\partial \rho_{k}}, \quad k=n_{1}+1, \ldots, n_{1}+n_{2} .
\end{array}
\]

Здесь на последнем этапе мы вспомнили, что вариация (6.58) представляет собой скобку Пуассона, и учли канонический характер переменных $\rho(\lambda), \varphi(\lambda), p_{j}, q_{j}, \rho_{k}, \varphi_{k}, \xi_{k}, \eta_{k}$.

Интегрируя эти формулы, приходим к искомому выражению для функционала $K$ в терминах канонических переменных типа действие – угол:
\[
K=-\int_{0}^{\infty} \lambda \frac{d \varphi(\lambda)}{d \lambda} \rho(\lambda) d \lambda+\frac{1}{\gamma} \sum_{i=1}^{n_{1}} q_{i}+\frac{2}{\gamma} \sum_{k=n_{1}+1}^{n_{1}+n_{2}} \eta_{k} .
\]

В переменных (6.46) – (6.50) выражение для $K$ принимает явно релятивистски-ковариантный вид:
\[
\begin{aligned}
K=\int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{k^{2}+m^{2}} \frac{d \Phi(k)}{d k} \rho(k) d k^{2} & +\sum_{i=1}^{n_{1}} \sqrt{P_{s i}^{2}+M_{s}^{2}} Q_{s i}+ \\
& +\sum_{k=n_{1}+1}^{n_{t}+n_{2}} \sqrt{P_{b k}^{2}+M_{b k}^{2}} Q_{b k},
\end{aligned}
\]

в котором $K$ представляется в виде суммы по независимым модам.