В предыдущем параграфе д.ля произвольной полупростой алгебры Ли g мы ввели $r$-матрицу
$$r(\lambda )=\frac{\mathrm{\Pi }}{\lambda }=\frac{K^{ab}{X}_a\otimes X_b}{\lambda }.$$
(Здесь мы, допуская известную вольность, используем термин $r$-матрица и для элемента $r(\lambda )$ из $g\otimes g$.) Она обобщает $r$-матрицы моделей НШ и МГ (см. § III. 1 части I и § II.3), которые отвечают алгебре Ли $g=\mathrm{su}(2)$ и имеют вид $P/\lambda$, где $P$ — матрица перестановки в ${\mathbb{C}}^2\otimes {\mathbb{C}}^2$. Однако для других примеров-моделей SG и Л-Л (см. § II. 6 и II.8) — мы имеем более сложные $r$-матрицы, которые зависят от спектрального параметра $\lambda$ посредством тригонометрических и эллиптических функций соответственно. Естественно называть $r$-матрицы вида (2.1) рациональными и считать $r$-матрицы для моделей SG и Л-Л примерами тригонометрических и эллиптических $r$-матриц. В $\mathrm{\$}1$ мы убедились, что рациональные $r$-матрицы определяют структуру алгебры Ли $C_0(\mathrm{g})$. Возникает вопрос об описании и геометрической интерпретации тригонометрических и эллиптических $r$-матриц, который мы и обсудим в этом параграфе.

Мы начнем с построения обширного семейства таких $r$-матриц. В основу положим функциональные уравнения
$$r_{12}(-\lambda )=-r_{21}(\lambda )$$

и
$$[r_{12}(\lambda -\mu ),r_{13}(\lambda )+r_{23}(\mu )]+[r_{13}(\lambda ),r_{23}(\mu )]=0,$$

которые обеспечивают свойство антисимметрии и тождество Якоби для фундаментальных скобок Пуассона (см. § III. 1 части I). Здесь индексы $12,21,13,23$ указывают на конкретное вложение элемента $r$ из $g\otimes g$ в $g\otimes g\otimes g$ (сравни с аналогичными обозначениями для матриц в § III.1 части I). Очевидно, что $r$-матрица вида (2.1) этим соотношениям удовлетворяет, причем равенство (2.3) эквивалентно тождеству Якоби для структурных констант $C_{ab}^c$.

Замечательное свойство соотношения (2.3) состоит в том, что оно допускает усреднение по решетке в комплексной плоскости переменной $\lambda$. Именно, пусть $\theta$ — автоморфизм полупростой алгебры Ли $g$ конечного порядка $q,{\theta }^q=\mathrm{I}$, и ${\mathrm{\Lambda }}_1=\{n\omega ,n=$

$=-\mathrm{\infty },\dots ,\mathrm{\infty }\}$ — одномерная решетка в $\mathbb{C}$ с образующей $\omega$. Введем действие аддитивной группы сдвигов решетки ${\mathrm{\Lambda }}_1$ на $r$-матрицу вида (2.1) по формуле
$$r(\lambda )\mapsto r^{(n)}(\lambda )=({\theta }^n\otimes I)r(\lambda -n\omega )=(I\otimes {\theta }^{-n})r(\lambda -n\omega ).$$

Здесь последнее равенство в (2.4) отражает инвариантность $r$-матрицы вида (2.1) относительно диагонального действия автоморфизма $\theta$
$$(\theta \otimes \theta )r(\lambda )=r(\lambda ),$$

которая, очевидно, следует из формулы
Пусть
$$(\theta \otimes \theta )\mathrm{\Pi }=\mathrm{\Pi }\text{. }$$
$$r^{{\mathrm{\Lambda }}_1}(\lambda )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{r}^{(n)}(\lambda )$$
— результат усреднения $r$-матрицы вида (2.1) по решетке ${\mathrm{\Lambda }}_1$. Усредненная $r$-матрица $r^{{\mathrm{\Lambda }}_1}(\lambda )$ квазипериодична:
$$r^{{\mathrm{\Lambda }}_1}(\lambda +\omega )=(\theta \otimes I)r^{{\mathrm{\Lambda }}_1}(\lambda )=(I\otimes {\theta }^{-1})r^{{\mathrm{\Lambda }}_1}(\lambda ),$$

удовлетворяет уравнению (2.2) и, на первый взгляд, уравнению (2.3). Действительно, заменим в (2.3) $\lambda$ на $\lambda -n\omega ,\mu$ на $\mu -m\omega$ и применим к левой части автоморфизм ${\theta }^n\otimes {\theta }^m\otimes I$. Учитывая свойства (2.5), мы получим равенство
$$[r_{12}^{(n-m)}(\lambda -\mu ),r_{13}^{(n)}(\lambda )+r_{23}^{(m)}(\mu )]+[r_{13}^{(n)}(\lambda ),r_{:3}^{(m)}(\mu )]=0,$$

откуда соотношение (2.3) для $r^{{\mathrm{\Lambda }}_1}(\lambda )$ получается в результате суммирования по $n$ и $m$.

Однако это рассуждение слишком наивно и, вообще говоря, неверно. Дело в том, что ряд в (2.7) сходится лишь в смысле главного значения
$$\text{ v. p. }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{n=-N}^N$$

и замена суммирования по $n$ и $m$ на суммирование по $n-m$ и $m$ или $n-m$ и $n$ незаконна.

Выясним, каким условиям должен удовлетворять автоморфизм $\theta$ для того, чтобы ряд (2.7) все-таки удовлетворял уравнению (2.3). Используя формулу
$$\text{ — v. p. }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\lambda -n\omega }=\frac{\pi }{\omega }\mathrm{ctg}\frac{\pi \lambda }{\omega }\text{, }$$

для ряда (2.7) получаем выражение
$$r^{{\mathrm{\Lambda }}_1}(\lambda )=\frac{\pi }{q\omega }\sum _{k=0}^{q-1}\mathrm{ctg}\frac{\pi (\lambda -k\omega )}{q\omega }({\theta }^k\otimes I)II,$$

так что функция $r^{{\mathrm{\Lambda }}_1}(\lambda )$ действительно квазипериодична в смысле (2.8).

Обратимся теперь к уравнению (2.3) и обозначим его левую часть через $\mathrm{\Phi }(\lambda ,\mu )$ :
$$\mathrm{\Phi }(\lambda ,\mu )=[r_{12}^{{\mathrm{\Lambda }}_1}(\lambda -\mu ),r_{13}^{{\mathrm{\Lambda }}_1}(\lambda )+r_{23}^{A_1}(\mu )]+[r_{13}^{{\mathrm{\Lambda }}_1}(\lambda ),r_{23}^{{\mathrm{\Lambda }}_1}(\mu )].$$

Рассмотрим $\mathrm{\Phi }(\lambda ,\mu )$ как функцию переменной $\lambda$ при фиксированном $\mu ,\mu eq0(mod{\mathrm{\Lambda }}_1)$. Она удовлетворяет условию квазипериодичности
$$\mathrm{\Phi }(\lambda +\omega ,\mu )=(\theta \otimes I\otimes I)\mathrm{\Phi }(\lambda ,\mu )$$

и может иметь лишь простые полюса в точках $\lambda \equiv \mu (mod{\mathrm{\Lambda }}_1)$ и $\lambda \equiv 0(mod{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{f}})$. Убедимся, что $\mathrm{\Phi }(\lambda ,\mu )$ является целой функцией $\lambda$. Действительно, ее вычет при $\lambda =\mu$ имеет вид [ ${\mathrm{\Pi }}_{12}$, $r_{13}^{{\mathrm{\Lambda }}_1}(\mu )+r_{23}^{{\mathrm{\Lambda }}_1}(\mu )]$ и исчезает в силу свойства
$$[\mathrm{\Pi },A\otimes I+I\otimes A]=0$$
(см. (1.30)). Аналогично рассматривается случай $\lambda =0$; при этом следует использовать и уравнение (2.2). Далее, функция $\mathrm{\Phi }(\lambda ,\mu )$ ограничена, так что по теореме Лиувилля получаем
$\mathrm{\Phi }(\lambda ,\mu )=\mathrm{\Phi }(\pm i\mathrm{\infty },\mu )=$
$$=-\frac{{\pi }^2}{{\omega }^2}[{\mathcal{P}}_{12},{\mathcal{P}}_{23}]\pm \frac{\pi i}{\omega }[{\mathcal{P}}_{12}+{\mathcal{P}}_{13},r_{23}^{{\mathrm{\Lambda }}_1}(\mu )],$$

где
$$\mathcal{P}=\frac{1}{q}\sum _{k=0}^{q-1}({\theta }^k\otimes I)\mathrm{\Pi }.$$

Отсюда заключаем, что
$$[{\mathcal{P}}_{12}+{\mathcal{P}}_{13},r_{23}^{{\mathrm{\Lambda }}_1}(\mu )]=0$$

H
$$\mathrm{\Phi }(\lambda ,\mu )=-\frac{{\pi }^2}{{\omega }^2}[{\mathcal{P}}_{12},{\mathcal{P}}_{23}].$$

Итак, мы доказали, что ряд (2.12) удовлетворяет уравнению (2.3), если
$$[{\mathcal{P}}_{12},{\mathcal{P}}_{23}]=0.$$

Это и есть необходимое условие на автоморфизм $\theta$. Нетрудно убедиться, что оно эквивалентно следующему:
$$[{\tilde{X}}_a,{\tilde{X}}_b]=0,$$

где для любого генератора $X_a$ через ${\tilde{X}}_a$ мы обозначнли его усреднение ${\tilde{X}}_a=q^{-1}(I+\theta +\dots +{\theta }^{q-1})X_a$, инвариантное относительно действия $\mathrm{\Theta }$. Условие (2.21) означает, что подалгебра $\mathfrak{h}$ в $\mathfrak{g}$, состоящая из неподвижных точек автолорфизиа $\theta$, абелева.

Таким образом, мы получили новое семейство $r$-матриц вида (2.12), параметризованное одномерной решеткой ${\mathrm{\Lambda }}_1$ п автоморфизмом $\theta$ конечного порядка, подалгебра неподвижных точек которого абелева. Формула (2.12) показывает, что такие $r$-матрицы естественно называть тригонометрическиии.

Еще одно семейство $r$-матриц получается при усредиении $r$-матрицы вида (2.1) по двумерной решетке ${\mathrm{\Lambda }}_2=\{n_1{\omega }_1+n_2{\omega }_2$; $\mathrm{Im}\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}>0,n_1,n_2=-\mathrm{\infty },\dots ,\mathrm{\infty }\}$. Пусть ${\theta }_1$ и ${\theta }_2-$ автоморфизмы алгебры Ли g порядков $q_1$ и $q_2$ соответственно, а $r^1(\lambda )$-усредненная $r$-матрица
$$\cdot r^{{\mathrm{\Lambda }}_2}(\lambda )=\sum _{n_1=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n_2=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}({\theta }_1^{n_1}{\theta }_2^{n_2}\otimes I)r(\lambda -n_1{\omega }_1-n_2{\omega }_2).$$

Для справедливости «наивного доказательства» уравнення (2.3), основанного на соотношении типа (2.9), необходимо, чтобы эти автоморфизмы коммутировали. Однако ряд (2.22) следует понимать в смысле (2.10); повторяя приведенный выше вывод уравнения (2.3), использующий теорему Лиувилля, можно убедиться, что автоморфизмы ${\theta }_1$ и ${\theta }_2$ не должны иметь общих неподвижных точек. Такие пары автоморфизмов существуют лиш для алгебр Ли серии $A_{n-1}$, т. е. в с.тучае $\mathfrak{g}=\mathrm{sl}(n)$, при этом $q_1=q_2=n$. В фундаментальном представлени $\mathrm{sl}(n)$, с точностью до внутреннего автоморфизма, имеем
$${\theta }_i\xi =T_i{T}_i^{-\mathbf{1}},i=1,2,$$

где $T_1$ и $T_2$ — матрицы $n\times n$ с матричными элементами
$${\left(T_1\right)}_{kl}={\zeta }^k{\delta }_{kl},{\left(T_2\right)}_{kl}={\delta }_{k+1,l}$$

и $\zeta$-примитивный корень $n$-й степени из $1,k,l=1,\dots ,n$, а ${\delta }_{k+n,l}={\delta }_{k,l+n}={\delta }_{k,l}$.

Итак, соответствующая $r$-матрица может быть полностью охарактеризована как мероморфная матрица-функция со значениями в $\mathrm{sl}(n)\otimes \mathrm{sl}(n)$, удовлетворяющая условиям квазипериодичности
$$r^{{\mathrm{\Lambda }}_2}(\lambda +{\omega }_i)=(T_i\otimes I)r^{{\mathrm{\Lambda }}_2}(\lambda )(T_i^{-1}\otimes I),i=1,2,$$

и требованию
$$r^{\mathrm{\Lambda }}(\lambda )=\frac{\mathrm{\Pi }}{\lambda }+O$$

при $\lambda \to 0$. Ее матричные элементы являются эллиптическими функциями с решеткой периодов $n{\mathrm{\Lambda }}_2$ и простыми полюсами в

точках решетки ${\mathrm{\Lambda }}_2$. Такие $r$-матрицы естественно называть эллиптическими.

Рассмотрим простейшие примеры, отвечающие алгебре Ли sl(2) в фундаментальном представлении. В качестве образующей одномерной решетки ${\mathrm{\Lambda }}_1$ возьмем $\omega =\pi$ и определим автоморфизм $\theta$ по формуле
$$\theta \xi ={\sigma }_3\xi {\sigma }_3.$$

Как следует из (2.12), соответствующая тригонометрическая $r$-матрица имеет вид
$$r(\lambda )=\frac{1}{2\sin \lambda }({\sigma }_1\oslash {\sigma }_1+{\sigma }_2\otimes {\sigma }_2+\cos \lambda {\sigma }_3\otimes {\sigma }_3).$$

Такая $r$-матрица уже встречалась нам при описании частично анизотропной модели МГ и модели SG (см. § II. 8 и II.6; в последнем случае $\lambda$ следует заменить на $i\alpha$ ):

В качестве образующих двумерной решетки ${\mathrm{\Lambda }}_2$ возьмем ${\omega }_1=2K,{\omega }_2=2i{K}^{\prime }$, где $K$ и $K^{\prime }$ — полные эллиптические интегралы модулей $k$ и $k^{\prime }=\sqrt{1-k^2}$ соответственно, и положим
$$T_1={\sigma }_3,T_2={\sigma }_1.$$

Соответствующая эллиптическая $r$-матрица имеет вид
$$r(\lambda )=\frac{1}{2\mathrm{sn}(\lambda ,k)}({\sigma }_1\otimes {\sigma }_1+\mathrm{dn}(\lambda ,k){\sigma }_2\otimes {\sigma }_2+\mathrm{cn}(\lambda ,k){\sigma }_3\otimes {\sigma }_3),$$

в чем можно убедиться, суммируя ряд (2.22). Конечно, условия (2.25) — (2.26) непосредственно следуют из приведенной формулы для $r(\lambda )$. Такая $r$-матрица участвовала при описании модели $Л-Л$ (см. § II.8).

Итак, мы убедились, что вса возникающие при рассмотрении конкретных моделей $r$-матрицы погружаются в одно из трех описанных семейств: рациональные $r$-матрицы, имеющие ли-алгебраическую интерпретацию, и тригонометрические и эллиптические, получающиеся из рациоғальных в результате усреднения.

Каждая из этих $r$-матриц порождает фундаментальные скобки Пуассона
$$\{U(\lambda )\otimes U(\mu )\}=[r(\lambda -\mu ),U(\lambda )\otimes I+I\otimes U(\mu )],$$

где мы опять опустили завискмость от $x$. Участвующий в них элемент $U(\lambda )$ из алгебры Ли $\mathfrak{g}$ должен удовлетворять условиям квазипериодичности:
$$U(\lambda +\omega )=\theta U(\lambda )$$

в тригонометрическом случае и
$$U(\lambda +{\omega }_i)={\theta }_{i}U(\lambda ),i=1,2,$$

в эллиптическом случае. Естественный способ́ построения таких $U(\lambda )$ состоит в применении процедуры усреднения $\kappa$ элементам $U(\lambda )$, определяющим конечнонерное фазовое пространство в рациональном случае. Большое количество примеров таких элементов приведено в $\mathrm{\$}1$. Однако устовие сходимости соответствующих рядов накладывает дополните.тьные ограничения на возможный выбор рациональных $U(\lambda )$.

Наиболее представительный пример доставляют элементы $U(\lambda )$ вида
$$U(\lambda )=\sum _{i=1}^N\sum _{k=0}^{n_i}\frac{S_{a,k}^{i)}{A}^a}{{(\lambda -c_i)}^{k+1}}.$$

Полагая для таких $U(\lambda )$
$$U^{{\mathrm{\Lambda }}_1}(\lambda )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\theta }^{n}U(\lambda -n\omega )$$

в тригонометрическом случае и
$$U^{{\mathrm{\Lambda }}_2}(\lambda )=\sum _{n_1=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n_2=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\theta }_1^{n_1}{\theta }_2^{n_2}U(\lambda -n_1{\omega }_1-n_2{\omega }_2)$$

в эллиптическом случае (с соглашениями о суммировании типа (2.10)), получаем, что $U^{{\mathrm{\Lambda }}_1}(\lambda )$ и $U^{{\mathrm{\Lambda }}_2}(\lambda )$ удовлетворяют фундаментальным скобкам Пуассона с $r$-матрицами $r^{{\mathrm{\Lambda }}_1}(\lambda )$ и $r^{{\mathrm{\Lambda }}_2}(\lambda )$ соответственно. Действительно, полагая

из’ (2.31) получаем
$$\{U^{(n)}(\lambda )\otimes U^{(m)}(\mu )\}=[r^{(n-m)}(\lambda -\mu ),U^{(n)}(\lambda )\otimes I+I\otimes U^{(m)}(\mu )],$$

откуда после суммирования по $n$ і $m$ заключаем, что $U^{{\mathrm{\Lambda }}_1}\left({\lambda }_2\right)$ удовлетворяет фундаментальным скобкам Пуассона с $r$-матрицей $r^{{\mathrm{\Lambda }}_1}(\lambda )$. Для строгого доказательства следует сравнить полюса левой и правой частей фундаментальных скобок Пуассона и использовать теорему Лиувнлля. Эллиптический случай рассматривается аналогично.

Простейшим примером этой конструкции является матрица $U^{\pi -л}(\lambda )$ модели Л-Л, которая получается в результате эллиптического усреднения соответствующей матрицы $U^{\text{мГ }}(\lambda )$ модели MГ,
$$U^{\mathrm{Mr}}(\lambda )=\frac{i{S}_a{\sigma }_a}{i}$$

(см. формулу (1.42)). Имеем
$$\begin{array}{rl}{U}^{\pi }\pi (\lambda )=& \sum _{n_1=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n_2=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_3^{n_1}{\sigma }_1^{n_2}{U}^{\mathrm{Mr}}(\lambda -2n_{1}K-2i{n}_2{K}^{\prime }){\sigma }_1^{n_2}{\sigma }_3^{n_1}=\\ & =i\sum _{n_1=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n_2=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n_1}}{\lambda -2n_{1}K-2i{n}_2{K}^{\prime }}{S}_1{\sigma }_1+\\ & +i\sum _{n_1=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n_2=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n_1+n_2}}{\lambda -2n_{1}K-2i{n}_2{K}^{\prime }}{S}_2{\sigma }_2+\\ & +i\sum _{n_1=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n_2=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n_2}}{\lambda -2n_{1}K-2i{n}_2{K}^{\prime }}{S}_3{\sigma }_3=\\ =& \frac{i}{\mathrm{sn}(\lambda ,k)}(S_1{\sigma }_1+\mathrm{dn}(\lambda ,k)S_2{\sigma }_2+\mathrm{cn}(\lambda ,k)S_3{\sigma }_3).\end{array}$$

В тригонометрическом случае, очевидно, получаем матрицу $U(\lambda )$ для частнчно анизотропной модели МГ.
Матрица $U(\alpha )$ модели SG
$$U(\alpha )=\mathrm{ch}\alpha S_1{\sigma }_1+\mathrm{sh}\alpha S_2{\sigma }_2+S_3{\sigma }_3,$$

где
$$S_1=\frac{m}{2i}\sin \frac{\beta \phi }{2},S_2=\frac{m}{2i}\cos \frac{\beta \mathrm{\Phi }}{2},S_3=\frac{\beta \pi }{4i},$$

дает пример квазипериодической матрицы $U(\alpha )$ (где $\omega =i\pi$, а $\theta$ дается формулой (2.27)), удовлетворяющей фундаментальным скобкам Пуассона с $r$-матрицей вида (2.28) (где $\lambda =i\alpha$ ), которую нельзя непосредственно получить процедурой усреднения. Однако ее можно получить при помощи контракции из матрицы $U^{{\mathrm{\Lambda }}_1}(\lambda )$, возникающей при усреднении двухполюсной матрицы $U(\lambda )$
$$U(\lambda )=\frac{S_a^{(1)}{\sigma }_a}{\lambda -c}+\frac{S_a^{(2)}{\sigma }_a}{\lambda +c}.$$

Поэтому мы можем утверждать, что процедура усреднения гозволяет дать классификацию непрерывных моделей с конечным числом степеней свободы при фиксированном $x$, допускающих тригонометрические или эллиптические $r$-матрицы, если разрешить себе использовать также и контракции фазового пространства.

Итак, мы получили схему построения матриц $U(x,\lambda )$ вспомогательной линейной задачи, удовлетворяющих фундаментальным скобкам Пуассона с $r$-матрицей из рационального, тригонометрического или эллиптического семейств. В рациональном случае матрицы $U(x,\lambda )$ представляют собой орбиты, конечномерные при фиксированном $x$, коприсоединенного действия алгебры Ли

$\mathcal{C}((\mathrm{g}))$. Поэтому изложенную схему можно рассматривать как способ класснфикации соответствующих интегрируемых моделей. В тригонометрическом и эллиптическом случаях мы ввели процедуру усреднения, позволяющую стронть богатое семейство квазипериодических матриц $U(x,\lambda )$.

В следующем параграфе мы обобщим эти соображения на случай моделей на решетке.