В предыдущем параграфе д.ля произвольной полупростой алгебры Ли g мы ввели $r$-матрицу
\[
r(\lambda)=\frac{\Pi}{\lambda}=\frac{K^{a b} X_{a} \otimes X_{b}}{\lambda} .
\]
(Здесь мы, допуская известную вольность, используем термин $r$-матрица и для элемента $r(\lambda)$ из $g \otimes g$.) Она обобщает $r$-матрицы моделей НШ и МГ (см. § III. 1 части I и § II.3), которые отвечают алгебре Ли $g=\operatorname{su}(2)$ и имеют вид $P / \lambda$, где $P$ – матрица перестановки в $\mathbb{C}^{2} \otimes \mathbb{C}^{2}$. Однако для других примеров-моделей SG и Л-Л (см. § II. 6 и II.8) – мы имеем более сложные $r$-матрицы, которые зависят от спектрального параметра $\lambda$ посредством тригонометрических и эллиптических функций соответственно. Естественно называть $r$-матрицы вида (2.1) рациональными и считать $r$-матрицы для моделей SG и Л-Л примерами тригонометрических и эллиптических $r$-матриц. В $\$ 1$ мы убедились, что рациональные $r$-матрицы определяют структуру алгебры Ли $C_{0}(\mathrm{~g})$. Возникает вопрос об описании и геометрической интерпретации тригонометрических и эллиптических $r$-матриц, который мы и обсудим в этом параграфе.

Мы начнем с построения обширного семейства таких $r$-матриц. В основу положим функциональные уравнения
\[
r_{12}(-\lambda)=-r_{21}(\lambda)
\]

и
\[
\left[r_{12}(\lambda-\mu), r_{13}(\lambda)+r_{23}(\mu)\right]+\left[r_{13}(\lambda), r_{23}(\mu)\right]=0,
\]

которые обеспечивают свойство антисимметрии и тождество Якоби для фундаментальных скобок Пуассона (см. § III. 1 части I). Здесь индексы $12,21,13,23$ указывают на конкретное вложение элемента $r$ из $g \otimes g$ в $g \otimes g \otimes g$ (сравни с аналогичными обозначениями для матриц в § III.1 части I). Очевидно, что $r$-матрица вида (2.1) этим соотношениям удовлетворяет, причем равенство (2.3) эквивалентно тождеству Якоби для структурных констант $C_{a b}^{c}$.

Замечательное свойство соотношения (2.3) состоит в том, что оно допускает усреднение по решетке в комплексной плоскости переменной $\lambda$. Именно, пусть $\theta$ – автоморфизм полупростой алгебры Ли $g$ конечного порядка $q, \theta^{q}=\mathrm{I}$, и $\Lambda_{1}=\{n \omega, n=$

$=-\infty, \ldots, \infty\}$ – одномерная решетка в $\mathbb{C}$ с образующей $\omega$. Введем действие аддитивной группы сдвигов решетки $\Lambda_{1}$ на $r$-матрицу вида (2.1) по формуле
\[
r(\lambda) \mapsto r^{(n)}(\lambda)=\left(\theta^{n} \otimes I\right) r(\lambda-n \omega)=\left(I \otimes \theta^{-n}\right) r(\lambda-n \omega) .
\]

Здесь последнее равенство в (2.4) отражает инвариантность $r$-матрицы вида (2.1) относительно диагонального действия автоморфизма $\theta$
\[
(\theta \otimes \theta) r(\lambda)=r(\lambda),
\]

которая, очевидно, следует из формулы
Пусть
\[
(\theta \otimes \theta) \Pi=\Pi \text {. }
\]
\[
r^{\Lambda_{1}}(\lambda)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} r^{(n)}(\lambda)
\]
– результат усреднения $r$-матрицы вида (2.1) по решетке $\Lambda_{1}$. Усредненная $r$-матрица $r^{\Lambda_{1}}(\lambda)$ квазипериодична:
\[
r^{\Lambda_{1}}(\lambda+\omega)=(\theta \otimes I) r^{\Lambda_{1}}(\lambda)=\left(I \otimes \theta^{-1}\right) r^{\Lambda_{1}}(\lambda),
\]

удовлетворяет уравнению (2.2) и, на первый взгляд, уравнению (2.3). Действительно, заменим в (2.3) $\lambda$ на $\lambda-n \omega, \mu$ на $\mu-m \omega$ и применим к левой части автоморфизм $\theta^{n} \otimes \theta^{m} \otimes I$. Учитывая свойства (2.5), мы получим равенство
\[
\left[r_{12}^{(n-m)}(\lambda-\mu), r_{13}^{(n)}(\lambda)+r_{23}^{(m)}(\mu)\right]+\left[r_{13}^{(n)}(\lambda), r_{: 3}^{(m)}(\mu)\right]=0,
\]

откуда соотношение (2.3) для $r^{\Lambda_{1}}(\lambda)$ получается в результате суммирования по $n$ и $m$.

Однако это рассуждение слишком наивно и, вообще говоря, неверно. Дело в том, что ряд в (2.7) сходится лишь в смысле главного значения
\[
\text { v. p. } \sum_{n=-\infty}^{\infty}=\lim _{N \rightarrow \infty} \sum_{n=-N}^{N}
\]

и замена суммирования по $n$ и $m$ на суммирование по $n-m$ и $m$ или $n-m$ и $n$ незаконна.

Выясним, каким условиям должен удовлетворять автоморфизм $\theta$ для того, чтобы ряд (2.7) все-таки удовлетворял уравнению (2.3). Используя формулу
\[
\text { – v. p. } \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{\lambda-n \omega}=\frac{\pi}{\omega} \operatorname{ctg} \frac{\pi \lambda}{\omega} \text {, }
\]

для ряда (2.7) получаем выражение
\[
r^{\Lambda_{1}}(\lambda)=\frac{\pi}{q \omega} \sum_{k=0}^{q-1} \operatorname{ctg} \frac{\pi(\lambda-k \omega)}{q \omega}\left(\theta^{k} \otimes I\right) I I,
\]

так что функция $r^{\Lambda_{1}}(\lambda)$ действительно квазипериодична в смысле (2.8).

Обратимся теперь к уравнению (2.3) и обозначим его левую часть через $\Phi(\lambda, \mu)$ :
\[
\Phi(\lambda, \mu)=\left[r_{12}^{\Lambda_{1}}(\lambda-\mu), r_{13}^{\Lambda_{1}}(\lambda)+r_{23}^{A_{1}}(\mu)\right]+\left[r_{13}^{\Lambda_{1}}(\lambda), r_{23}^{\Lambda_{1}}(\mu)\right] .
\]

Рассмотрим $\Phi(\lambda, \mu)$ как функцию переменной $\lambda$ при фиксированном $\mu, \mu
eq 0\left(\bmod \Lambda_{1}\right)$. Она удовлетворяет условию квазипериодичности
\[
\Phi(\lambda+\omega, \mu)=(\theta \otimes I \otimes I) \Phi(\lambda, \mu)
\]

и может иметь лишь простые полюса в точках $\lambda \equiv \mu\left(\bmod \Lambda_{1}\right)$ и $\lambda \equiv 0\left(\bmod \Lambda_{\mathrm{f}}\right)$. Убедимся, что $\Phi(\lambda, \mu)$ является целой функцией $\lambda$. Действительно, ее вычет при $\lambda=\mu$ имеет вид [ $\Pi_{12}$, $\left.r_{13}^{\Lambda_{1}}(\mu)+r_{23}^{\Lambda_{1}}(\mu)\right]$ и исчезает в силу свойства
\[
[\Pi, A \otimes I+I \otimes A]=0
\]
(см. (1.30)). Аналогично рассматривается случай $\lambda=0$; при этом следует использовать и уравнение (2.2). Далее, функция $\Phi(\lambda, \mu)$ ограничена, так что по теореме Лиувилля получаем
$\Phi(\lambda, \mu)=\Phi( \pm i \infty, \mu)=$
\[
=-\frac{\pi^{2}}{\omega^{2}}\left[\mathscr{P}_{12}, \mathscr{P}_{23}\right] \pm \frac{\pi i}{\omega}\left[\mathscr{P}_{12}+\mathscr{P}_{13}, r_{23}^{\Lambda_{1}}(\mu)\right],
\]

где
\[
\mathscr{P}=\frac{1}{q} \sum_{k=0}^{q-1}\left(\theta^{k} \otimes I\right) \Pi .
\]

Отсюда заключаем, что
\[
\left[\mathscr{P}_{12}+\mathscr{P}_{13}, r_{23}^{\Lambda_{1}}(\mu)\right]=0
\]

H
\[
\Phi(\lambda, \mu)=-\frac{\pi^{2}}{\omega^{2}}\left[\mathscr{P}_{12}, \mathscr{P}_{23}\right] .
\]

Итак, мы доказали, что ряд (2.12) удовлетворяет уравнению (2.3), если
\[
\left[\mathscr{P}_{12}, \mathscr{P}_{23}\right]=0 .
\]

Это и есть необходимое условие на автоморфизм $\theta$. Нетрудно убедиться, что оно эквивалентно следующему:
\[
\left[\widetilde{X}_{a}, \widetilde{X}_{b}\right]=0,
\]

где для любого генератора $X_{a}$ через $\widetilde{X}_{a}$ мы обозначнли его усреднение $\widetilde{X}_{a}=q^{-1}\left(I+\theta+\ldots+\theta^{q-1}\right) X_{a}$, инвариантное относительно действия $\Theta$. Условие (2.21) означает, что подалгебра $\mathfrak{h}$ в $\mathfrak{g}$, состоящая из неподвижных точек автолорфизиа $\theta$, абелева.

Таким образом, мы получили новое семейство $r$-матриц вида (2.12), параметризованное одномерной решеткой $\Lambda_{1}$ п автоморфизмом $\theta$ конечного порядка, подалгебра неподвижных точек которого абелева. Формула (2.12) показывает, что такие $r$-матрицы естественно называть тригонометрическиии.

Еще одно семейство $r$-матриц получается при усредиении $r$-матрицы вида (2.1) по двумерной решетке $\Lambda_{2}=\left\{n_{1} \omega_{1}+n_{2} \omega_{2}\right.$; $\left.\operatorname{Im} \frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}>0, n_{1}, n_{2}=-\infty, \ldots, \infty\right\}$. Пусть $\theta_{1}$ и $\theta_{2}-$ автоморфизмы алгебры Ли g порядков $q_{1}$ и $q_{2}$ соответственно, а $r^{1}(\lambda)$-усредненная $r$-матрица
\[
\cdot r^{\Lambda_{2}}(\lambda)=\sum_{n_{1}=-\infty}^{\infty} \sum_{n_{2}=-\infty}^{\infty}\left(\theta_{1}^{n_{1}} \theta_{2}^{n_{2}} \otimes I\right) r\left(\lambda-n_{1} \omega_{1}-n_{2} \omega_{2}\right) .
\]

Для справедливости «наивного доказательства» уравнення (2.3), основанного на соотношении типа (2.9), необходимо, чтобы эти автоморфизмы коммутировали. Однако ряд (2.22) следует понимать в смысле (2.10); повторяя приведенный выше вывод уравнения (2.3), использующий теорему Лиувилля, можно убедиться, что автоморфизмы $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$ не должны иметь общих неподвижных точек. Такие пары автоморфизмов существуют лиш для алгебр Ли серии $A_{n-1}$, т. е. в с.тучае $\mathfrak{g}=\mathrm{sl}(n)$, при этом $q_{1}=q_{2}=n$. В фундаментальном представлени $\mathrm{sl}(n)$, с точностью до внутреннего автоморфизма, имеем
\[
\theta_{i} \xi=T_{i} T_{i}^{-\mathbf{1}}, \quad i=1,2,
\]

где $T_{1}$ и $T_{2}$ – матрицы $n \times n$ с матричными элементами
\[
\left(T_{1}\right)_{k l}=\zeta^{k} \delta_{k l}, \quad\left(T_{2}\right)_{k l}=\delta_{k+1, l}
\]

и $\zeta$-примитивный корень $n$-й степени из $1, k, l=1, \ldots, n$, а $\delta_{k+n, l}=\delta_{k, l+n}=\delta_{k, l}$.

Итак, соответствующая $r$-матрица может быть полностью охарактеризована как мероморфная матрица-функция со значениями в $\mathrm{sl}(n) \otimes \mathrm{sl}(n)$, удовлетворяющая условиям квазипериодичности
\[
r^{\Lambda_{2}}\left(\lambda+\omega_{i}\right)=\left(T_{i} \otimes I\right) r^{\Lambda_{2}}(\lambda)\left(T_{i}^{-1} \otimes I\right), \quad i=1,2,
\]

и требованию
\[
r^{\Lambda}(\lambda)=\frac{\Pi}{\lambda}+O
\]

при $\lambda \rightarrow 0$. Ее матричные элементы являются эллиптическими функциями с решеткой периодов $n \Lambda_{2}$ и простыми полюсами в

точках решетки $\Lambda_{2}$. Такие $r$-матрицы естественно называть эллиптическими.

Рассмотрим простейшие примеры, отвечающие алгебре Ли sl(2) в фундаментальном представлении. В качестве образующей одномерной решетки $\Lambda_{1}$ возьмем $\omega=\pi$ и определим автоморфизм $\theta$ по формуле
\[
\theta \xi=\sigma_{3} \xi \sigma_{3} .
\]

Как следует из (2.12), соответствующая тригонометрическая $r$-матрица имеет вид
\[
r(\lambda)=\frac{1}{2 \sin \lambda}\left(\sigma_{1} \oslash \sigma_{1}+\sigma_{2} \otimes \sigma_{2}+\cos \lambda \sigma_{3} \otimes \sigma_{3}\right) .
\]

Такая $r$-матрица уже встречалась нам при описании частично анизотропной модели МГ и модели SG (см. § II. 8 и II.6; в последнем случае $\lambda$ следует заменить на $i \alpha$ ):

В качестве образующих двумерной решетки $\Lambda_{2}$ возьмем $\omega_{1}=2 K, \omega_{2}=2 i K^{\prime}$, где $K$ и $K^{\prime}$ – полные эллиптические интегралы модулей $k$ и $k^{\prime}=\sqrt{1-k^{2}}$ соответственно, и положим
\[
T_{1}=\sigma_{3}, \quad T_{2}=\sigma_{1} .
\]

Соответствующая эллиптическая $r$-матрица имеет вид
\[
r(\lambda)=\frac{1}{2 \operatorname{sn}(\lambda, k)}\left(\sigma_{1} \otimes \sigma_{1}+\operatorname{dn}(\lambda, k) \sigma_{2} \otimes \sigma_{2}+\operatorname{cn}(\lambda, k) \sigma_{3} \otimes \sigma_{3}\right),
\]

в чем можно убедиться, суммируя ряд (2.22). Конечно, условия (2.25) – (2.26) непосредственно следуют из приведенной формулы для $r(\lambda)$. Такая $r$-матрица участвовала при описании модели $Л-Л$ (см. § II.8).

Итак, мы убедились, что вса возникающие при рассмотрении конкретных моделей $r$-матрицы погружаются в одно из трех описанных семейств: рациональные $r$-матрицы, имеющие ли-алгебраическую интерпретацию, и тригонометрические и эллиптические, получающиеся из рациоғальных в результате усреднения.

Каждая из этих $r$-матриц порождает фундаментальные скобки Пуассона
\[
\{U(\lambda) \otimes U(\mu)\}=[r(\lambda-\mu), U(\lambda) \otimes I+I \otimes U(\mu)],
\]

где мы опять опустили завискмость от $x$. Участвующий в них элемент $U(\lambda)$ из алгебры Ли $\mathfrak{g}$ должен удовлетворять условиям квазипериодичности:
\[
U(\lambda+\omega)=\theta U(\lambda)
\]

в тригонометрическом случае и
\[
U\left(\lambda+\omega_{i}\right)=\theta_{i} U(\lambda), \quad i=1,2,
\]

в эллиптическом случае. Естественный способ́ построения таких $U(\lambda)$ состоит в применении процедуры усреднения $\kappa$ элементам $U(\lambda)$, определяющим конечнонерное фазовое пространство в рациональном случае. Большое количество примеров таких элементов приведено в $\$ 1$. Однако устовие сходимости соответствующих рядов накладывает дополните.тьные ограничения на возможный выбор рациональных $U(\lambda)$.

Наиболее представительный пример доставляют элементы $U(\lambda)$ вида
\[
U(\lambda)=\sum_{i=1}^{N} \sum_{k=0}^{n_{i}} \frac{S_{a, k}^{i)} A^{a}}{\left(\lambda-c_{i}\right)^{k+1}} .
\]

Полагая для таких $U(\lambda)$
\[
U^{\Lambda_{1}}(\lambda)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \theta^{n} U(\lambda-n \omega)
\]

в тригонометрическом случае и
\[
U^{\Lambda_{2}}(\lambda)=\sum_{n_{1}=-\infty}^{\infty} \sum_{n_{2}=-\infty}^{\infty} \theta_{1}^{n_{1}} \theta_{2}^{n_{2}} U\left(\lambda-n_{1} \omega_{1}-n_{2} \omega_{2}\right)
\]

в эллиптическом случае (с соглашениями о суммировании типа (2.10)), получаем, что $U^{\Lambda_{1}}(\lambda)$ и $U^{\Lambda_{2}}(\lambda)$ удовлетворяют фундаментальным скобкам Пуассона с $r$-матрицами $r^{\Lambda_{1}}(\lambda)$ и $r^{\Lambda_{2}}(\lambda)$ соответственно. Действительно, полагая

из’ (2.31) получаем
\[
\left\{U^{(n)}(\lambda) \otimes U^{(m)}(\mu)\right\}=\left[r^{(n-m)}(\lambda-\mu), U^{(n)}(\lambda) \otimes I+I \otimes U^{(m)}(\mu)\right],
\]

откуда после суммирования по $n$ і $m$ заключаем, что $U^{\Lambda_{1}}\left(\lambda_{2}\right)$ удовлетворяет фундаментальным скобкам Пуассона с $r$-матрицей $r^{\Lambda_{1}}(\lambda)$. Для строгого доказательства следует сравнить полюса левой и правой частей фундаментальных скобок Пуассона и использовать теорему Лиувнлля. Эллиптический случай рассматривается аналогично.

Простейшим примером этой конструкции является матрица $U^{\pi-л}(\lambda)$ модели Л-Л, которая получается в результате эллиптического усреднения соответствующей матрицы $U^{\text {мГ }}(\lambda)$ модели MГ,
\[
U^{\mathrm{Mr}}(\lambda)=\frac{i S_{a} \sigma_{a}}{i}
\]

(см. формулу (1.42)). Имеем
\[
\begin{aligned}
U^{\pi} \pi(\lambda)= & \sum_{n_{1}=-\infty}^{\infty} \sum_{n_{2}=-\infty}^{\infty} \sigma_{3}^{n_{1}} \sigma_{1}^{n_{2}} U^{\mathrm{Mr}}\left(\lambda-2 n_{1} K-2 i n_{2} K^{\prime}\right) \sigma_{1}^{n_{2}} \sigma_{3}^{n_{1}}= \\
& =i \sum_{n_{1}=-\infty}^{\infty} \sum_{n_{2}=-\infty}^{\infty} \frac{(-1)^{n_{1}}}{\lambda-2 n_{1} K-2 i n_{2} K^{\prime}} S_{1} \sigma_{1}+ \\
& +i \sum_{n_{1}=-\infty}^{\infty} \sum_{n_{2}=-\infty}^{\infty} \frac{(-1)^{n_{1}+n_{2}}}{\lambda-2 n_{1} K-2 i n_{2} K^{\prime}} S_{2} \sigma_{2}+ \\
& +i \sum_{n_{1}=-\infty}^{\infty} \sum_{n_{2}=-\infty}^{\infty} \frac{(-1)^{n_{2}}}{\lambda-2 n_{1} K-2 i n_{2} K^{\prime}} S_{3} \sigma_{3}= \\
= & \frac{i}{\operatorname{sn}(\lambda, k)}\left(S_{1} \sigma_{1}+\operatorname{dn}(\lambda, k) S_{2} \sigma_{2}+\operatorname{cn}(\lambda, k) S_{3} \sigma_{3}\right) .
\end{aligned}
\]

В тригонометрическом случае, очевидно, получаем матрицу $U(\lambda)$ для частнчно анизотропной модели МГ.
Матрица $U(\alpha)$ модели SG
\[
U(\alpha)=\operatorname{ch} \alpha S_{1} \sigma_{1}+\operatorname{sh} \alpha S_{2} \sigma_{2}+S_{3} \sigma_{3},
\]

где
\[
S_{1}=\frac{m}{2 i} \sin \frac{\beta \varphi}{2}, \quad S_{2}=\frac{m}{2 i} \cos \frac{\beta \Phi}{2}, \quad S_{3}=\frac{\beta \pi}{4 i},
\]

дает пример квазипериодической матрицы $U(\alpha)$ (где $\omega=i \pi$, а $\theta$ дается формулой (2.27)), удовлетворяющей фундаментальным скобкам Пуассона с $r$-матрицей вида (2.28) (где $\lambda=i \alpha$ ), которую нельзя непосредственно получить процедурой усреднения. Однако ее можно получить при помощи контракции из матрицы $U^{\Lambda_{1}}(\lambda)$, возникающей при усреднении двухполюсной матрицы $U(\lambda)$
\[
U(\lambda)=\frac{S_{a}^{(1)} \sigma_{a}}{\lambda-c}+\frac{S_{a}^{(2)} \sigma_{a}}{\lambda+c} .
\]

Поэтому мы можем утверждать, что процедура усреднения гозволяет дать классификацию непрерывных моделей с конечным числом степеней свободы при фиксированном $x$, допускающих тригонометрические или эллиптические $r$-матрицы, если разрешить себе использовать также и контракции фазового пространства.

Итак, мы получили схему построения матриц $U(x, \lambda)$ вспомогательной линейной задачи, удовлетворяющих фундаментальным скобкам Пуассона с $r$-матрицей из рационального, тригонометрического или эллиптического семейств. В рациональном случае матрицы $U(x, \lambda)$ представляют собой орбиты, конечномерные при фиксированном $x$, коприсоединенного действия алгебры Ли

$\mathscr{C}((\mathrm{g}))$. Поэтому изложенную схему можно рассматривать как способ класснфикации соответствующих интегрируемых моделей. В тригонометрическом и эллиптическом случаях мы ввели процедуру усреднения, позволяющую стронть богатое семейство квазипериодических матриц $U(x, \lambda)$.

В следующем параграфе мы обобщим эти соображения на случай моделей на решетке.