Модель Л – Л описывается уравнениями движения
\[
\frac{\partial \vec{S}}{\partial t}=\vec{S} \wedge \frac{\partial^{2} \vec{S}}{\partial x^{2}}+\vec{S} \wedge J \vec{S},
\]

где $J$ – диагональная матрица, $J=\operatorname{diag}\left(J_{1}, J_{2}, J_{3}\right), J_{1}<J_{2}<J_{3}$. Соответствующие матрицы $U$ и $V$ из представления нулевой кривизны имеют вид
\[
\begin{array}{l}
U(x, t, \lambda)=\frac{1}{i} \sum_{a=1}^{3} u_{a}(\lambda) S_{a} \sigma_{a}, \\
V(x, t, \lambda)=2 i u_{1}(\lambda) u_{2}(\lambda) u_{3}(\lambda) \sum_{a=1}^{3} \frac{S_{a}}{u_{a}(\lambda)} \sigma_{a}+ \\
+\frac{1}{i} \sum_{a, b, c=1}^{3} u_{a}(\lambda) \varepsilon_{a b c} S_{b} \frac{\partial S_{v}}{\partial x} \sigma_{a}, \\
\end{array}
\]

где
\[
u_{1}(\lambda)=\rho \frac{1}{\operatorname{sn}(\lambda, k)}, \quad u_{2}(\lambda)=\rho \frac{\operatorname{dn}(\lambda, k)}{\operatorname{sn}(\lambda, k)}, \quad u_{3}(\lambda)=\rho \frac{\operatorname{cn}(\lambda, k)}{\operatorname{sn}(\lambda, k)}
\]

и
\[
\rho=\frac{1}{2} \sqrt{J_{3}-J_{1}}>0, \quad 0<k=\sqrt{\frac{J_{2}-J_{1}}{J_{3}-J_{1}}}<1
\]
(см. § I.1).
В отличие от рассмотренных ранее примеров моделей НШ, MГ и SG, где спектральный параметр $\lambda$ пробегает всю комплексную плоскость С, для модели Л-Л естественной областью изменения $\lambda$ является эллиптическая кривая – тор $E=\mathbb{C} / \Gamma$, где $\Gamma$ – решетка с образующими $4 K$ и $4 i K^{\prime}$. Здесь $K$ и $K^{\prime}$ – полные эллиптические интегралы модулей $k$ и $k^{\prime}=\sqrt{1-k^{2}}$ соответственно, В результате исследование прямой и обратной задач для вспомогательной линейной задачи модели Л-Л оказывается технически более громоздким, и мы не будем его здесь приводить, а ограничимся лишь рядом замечаний кинематического характера. Именно, мы покажем, что модель Л-Л допускает $r$-матричную формулировку, и опишем предельные переходы, приводящие к моделям МГ, HШ и SG.

Начнем с гамильтоновой формулировки. Рассмотрим основные скобки Пуассона модели $Л-Л$
\[
\left\{S_{a}(x), S_{b}(y)\right\}=-\varepsilon_{a b c} S_{c}(x) \delta(x-y)
\]

и запишем их в терминах матрицы $U(x, \lambda)$
\[
\{U(x, \lambda) \otimes, U(y, \mu)\}=\sum_{a, b, c=1}^{3} \varepsilon_{a b c} l_{a}(\lambda) u_{b}(\mu) S_{c}(x)\left(\sigma_{a} \otimes \sigma_{b}\right) \delta(x-y) .
\]

Наша цель состоит в том, чтобы представить правую часть (8.7) в виде следующего коммутатора:
\[
[r(\lambda, \mu), U(x, \lambda) \otimes I+I \otimes U(x, \mu)] \delta(x-y) .
\]

Для этого воспользуемся теоремами сложения для эллиптических функций Якоби. В терминах функций $u_{a}(\lambda)$ они приводят к тождествам
\[
u_{a}(\lambda) u_{b}(\mu)=u_{a}(\lambda-\mu) u_{c}(\mu)-u_{b}(\lambda-\mu) u_{c}(\lambda),
\]

где набор $(a, b, c)$ является циклической перестановкой индексов $1,2,3$. Из формул (8.7) – (8.8) немедленно получаем фундаментальные скобки Пуассона модели Л-Л
\[
\{U(x, \lambda) \otimes U(y, \mu)\}=[r(\lambda-\mu), U(x, \lambda) \otimes I+I \otimes U(x, \mu)] \delta(x-y),
\]

дде матрица $r(\lambda)$ имеет вид
\[
r(\lambda)=-\frac{1}{2} \sum_{a=1}^{3} u_{a}(\lambda) \sigma_{a} \otimes \sigma_{a} .
\]

Формулы (8.8) показывают также, что матрица $r(\lambda)$ удовлетворяет уравнениям
\[
r(-\lambda)=-\operatorname{Pr}(\lambda) P
\]

и
\[
\left[r_{12}(\lambda-\mu), r_{13}(\lambda)+r_{23}(\mu)\right]+\left[r_{13}(\lambda), r_{23}(\mu)\right]=0
\]
(см. § III.1 части I), которые обеспечивают совместность скобок Пуассона (8.9) со свойством антисимметрии и тождеством Якоби. На самом деле (8.10) представляет собой общее решение уравнений (8.11) – (8.12) для случая матриц $4 \times 4$. Более подробно об этом будет сказано в гл. IV, где будет показано, что фазовое пространство матриц $U(x, \lambda)$ интерпретируется как простейшая орбита подходящей бесконечномерной алгебры Ли.

Убедимся теперь, что рассмотренные выше интегрируемые модели с двумерным вспомогательным пространством и мини-

мальным дивизором полюсов получаются из модели Л-Л различными предельными переходами.

Простейший из них отвечает случаю $k \rightarrow 0$, при котором $K \rightarrow \infty, K^{\prime} \rightarrow \pi / 2$ и эллиптическая кривая $E$. вырождается в рациональную кривую-цилиндр $\mathbb{C} / \frac{\pi}{2} \mathbb{Z}$. При этом эллиптические функции Якоби переходят в тригонометрические:
\[
\operatorname{sn}(\lambda, k) \mapsto \sin \lambda, \quad \operatorname{cn}(\lambda, k) \mapsto \cos \lambda, \quad \mathrm{dn}(\lambda, k) \mapsto 1 .
\]

В результате приходим к частично анизотропной модели МГчастному случаю модели $Л-Л$, отвечающему условию $J_{1}=J_{2}<$ $<J_{3}$. Представление нулевой кривизны для этой модели и $r$-матрица получаются из формул (8.3) – (8.4) и (8.10) в результате замены (8.13). Полагая в полученной $r$-матрице $\lambda=i \alpha$ и $\rho=i \gamma$, приходим к выражению (6.14) для $r$-матрицы модели SG с точностью до несущественного слагаемого, пропорционального матрице $I \otimes I$.

Полностью изотропная модель Л – Л – модель МГ- появляется в результате предела $\rho \rightarrow 0$, при котором $J_{2} \rightarrow J_{3}$. Заменяя в соответствующих формулах для частично анизотропной модели $М Г \lambda$ на $2 \rho / \lambda$ и переходя к пределу $\rho \rightarrow 0$, получаем представление нулевой кривизны (I.1.14) и $r$-матрицу (3.9) для модели $М Г$.

Таким образом, модель $Л-J$ является наиболее общей моделью магнетика, допускающей $r$-матричную формулировку.

Теперь мы покажем, что модели SG и НШ также получаются предельными переходами из модели Л-Л. Тем самым эта модель действительно является универсальной для интегрируемых систем с двумерным фазовым пространством при фиксированном $x$. Мы не выбрали ее в качестве основной модели для этой книги только потому, что ее исследование технически сложнее по сравнению с моделью НШ.

При переходе к моделям SG и НШ, помимо вырождения эллиптической кривой $E$, участвует контракция фазового пространства модели Л-JI. Она основана на еще не использованной нами свободе в описании фазового пространства, состоящей в следующем: вместо сферы радиуса 1 в $\mathbb{R}^{3}$, на которой меняется вектор $\vec{S}(x)$, мы можем рассматривать сферу произвольного радиуса $R>0$; кроме того, в пуассоновой структуре (8.6) мы можем выбирать произвольную «константу связи» $\eta>0$
\[
\left\{S_{a}(x), S_{b}(y)\right\}=-\eta \varepsilon_{a t c} S_{c}(x) \delta(x-y) .
\]

Конечно, при фиксированных $R$ и $\eta$ этот произвол можно устранить растяжением $\vec{S}$ и заменой независимой переменной $x$. Однако в пределах $R \rightarrow \infty$, или $\eta \rightarrow 0$, которые мы будем использовать ниже, такая замена неестественна.

Итак, будем считать, что переменные $\vec{S}(x)$ меняются на сфере радиуса $R$ :
\[
\vec{S}^{2}(x)=R^{2},
\]

удовлетворяют уравнению
\[
\frac{\partial \vec{S}}{\partial t}=\frac{1}{R^{2}} \vec{S} \wedge \frac{\partial^{2} \vec{S}}{\partial x^{2}}+\vec{S} \wedge J \vec{S}
\]

и имеют скобки Пуассона (8.14). При этом $r$-матрица в (8.9) отличается от (8.10) на множитель $\eta$, и в представлении нулевой кривизны следует модифицировать матрицу $V$ : второе слагаемое в (8.3) следует поделить на $R^{2}$.

Рассмотрим переход к модели SG и начнем с уравнений движения. Совершим в (8.16) замену переменных $S(x, t) \mapsto \pi(x, t)$, $\varphi(x, t)$ по формулам
\[
S_{1}=-\frac{\beta \pi}{2}, S_{2}=\sqrt{R^{2}-\frac{\beta^{2} \pi^{2}}{4}} \sin \frac{\beta \varphi}{2}, \quad S_{3}=\sqrt{R^{2}-\frac{\beta^{2} \pi^{2}}{4}} \cos \frac{\beta \varphi}{2},
\]

где $\beta>0$, и выберем параметры $J_{1}, J_{2}, J_{3}$ в виде
\[
J_{2}=J_{1}+1, \quad J_{3}=J_{2}+m^{2} / R^{2} .
\]

После этого несложно убедиться, что в уравнении (8.16) в новых переменных можно перейти к пределу $R \rightarrow \infty$, и оно превращается в уравнение SG
\[
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+\frac{m^{2}}{\beta} \sin \beta \varphi=0
\]

и $\boldsymbol{\pi}=\frac{\partial \varphi}{\partial t}$.
Для осуществления предельного перехода $R \rightarrow \infty$ в представлении нулевой кривизны удобно сделать сдвиг спектрального параметра $\lambda=\alpha+K$, так что
\[
\begin{array}{l}
\tilde{u}_{1}(\alpha)=u_{1}(\alpha+K)=\rho \frac{\operatorname{dn}(\alpha, k)}{\operatorname{cn}(\alpha, k)}, \\
\tilde{u}_{2}(\alpha)=u_{2}(\alpha+K)=\rho \frac{k^{\prime}}{\operatorname{cn}(\alpha, k)}, \\
\tilde{u}_{3}(\alpha)=u_{3}(\alpha+K)=-\rho k^{\prime} \frac{\operatorname{sn}(\alpha, k)}{\operatorname{cn}(\alpha, k)} .
\end{array}
\]

Используя равенства
\[
\operatorname{sn}(\alpha, 1)=\text { th } \alpha, \quad \operatorname{cn}(\alpha, 1)=\operatorname{dn}(\alpha, 1)=\frac{1}{\operatorname{ch} \alpha}
\]

и вытекающие из (8.5), (8.18) формулы
\[
\rho=\frac{1}{2}+O\left(\frac{1}{R^{2}}\right), \quad k^{\prime}=\frac{m}{R}+O\left(\frac{1}{R^{3}}\right),
\]

для коэффициентов $\tilde{u}_{a}(\alpha)$ получаем следующие асимптотики при $R \rightarrow \infty(k \rightarrow 1)$ :
\[
\begin{array}{l}
\tilde{u}_{1}(\alpha)=\frac{1}{2}+O\left(\frac{1}{R^{2}}\right), \\
\tilde{u}_{2}(\alpha)=\frac{m}{2 R} \operatorname{ch} \alpha+O\left(\frac{1}{R^{3}}\right), \\
\tilde{u}_{3}(\alpha)=-\frac{m}{2 R} \operatorname{sh} \alpha+O\left(\frac{1}{R^{3}}\right) .
\end{array}
\]

Подставим теперь эти формулы и выражения (8.17) для $S_{a}$ в (8.2) и модифицированную формулу (8.3) и перейдем к пределу $R \rightarrow \infty$. В результате мы получим представление нулевой кривизны для модели SG, которое после автоморфизма матриц Паули
\[
\sigma_{1} \mapsto-\sigma_{3}, \quad \sigma_{2} \mapsto \sigma_{1}, \quad \sigma_{3} \mapsto-\sigma_{2}
\]

и замены $\lambda=e^{\alpha}$ совпадает с формулами (I.1.30)-(I.1.32).
Стандартная пуассонова структура модели SG получается из скобок Пуассона (8.14) с $\eta=\beta^{2 / 4}$ в результате замены переменных (8.17) и предельного перехода $R \rightarrow \infty$. Қак отмечалось выше, множитель $\beta^{2} / 4$ появляется и в $r$-матрице; используя формулу (8.23) и автоморфизм (8.28), мы получаем из нее $r$-матрицу модели SG (с точностью до несущественного слагаемого, пропорционального матрице $I \otimes I)$.

Рассмотрим теперь переход к уравнению НШ. Будем считать, что $R=1$, и использовать предельный переход $\eta \rightarrow 0$. Положим
\[
\begin{array}{c}
\left(S_{1}+i S_{2}\right)(x, t)=\sqrt{2 \eta} e^{2 i x t / \eta} \Psi(x, t), \\
S_{3}(x, t)=\sqrt{1-2 \eta|\psi(x, t)|^{2}}, \\
J_{1}=J_{2}, \quad J_{3}=J_{1}-2 \chi / \eta,
\end{array}
\]

где $x>0$ – новый параметр. Подставляя эти формулы в уравнение (8.1) и переходя к пределу $\eta \rightarrow 0$, мы получим, что функция $\psi(x, t)$ удовлетворяет уравнению НШ
\[
i \frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}+2 \chi|\psi|^{2} \psi .
\]

Для предельного перехода в представлении нулевой кривизны частично анизотропной модели МГ удобно положить $\lambda=\alpha+$ $+\pi / 2$, так что
\[
\begin{array}{c}
\tilde{u}_{1}(\alpha)=\tilde{u}_{2}(\alpha)=u_{1}\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=u_{2}\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=\sqrt{-\frac{x}{2 \eta}} / \cos \alpha,(8,3 \\
\tilde{u}_{3}(\alpha)=u_{3}\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=-\sqrt{-\frac{x}{2 \eta}} \operatorname{tg} \alpha .
\end{array}
\]

Еще раз полагая $\alpha=-\sqrt{\frac{\eta}{-2 x}} \lambda$, подставим формулы $(8.29)$ – (8.30) и (8.33)-(8.34) в (8.2)- (8.3), совершим калибровочное преобразование с матрицей $\exp \frac{i \varkappa t}{\eta} \sigma_{3}$ и перейдем к пределу $\eta \rightarrow 0$. Как нетрудно убедиться, в результате мы получим представление нулевой кривизны для модели НШ из § I. 2 части I.

Стандартная пуассонова структура модели НШ получается, с использованием формул (8.29) – (8.30), из скобок Пуассона (8.14) при $\eta \rightarrow 0$. В этом же пределе мы получим $r$-матрицу модели НШ из § III.1 части I (с точностью до несущественного единичного слагаемого).

Геометрический смысл приведенных контракций фазового пространства модели Л-Л очевиден. При фиксированном $x$ динамические переменные модели Л-Л лежат на сфере $\mathbb{S}^{2}$ и скобки Пуассона (8.6) порождаются симплектической структурой – формой площади на $\mathbb{S}^{2}$. Соответствующие фазовые пространства моделей $\mathrm{SG}$ и НШ суть цилиндр $\mathbb{S}^{1} \times \mathbb{R}^{1}$ и плоскость $\mathbb{R}^{2}$. Эти многообразия получаются контракцией сферы $\mathbb{S}^{2}$ при растяжении полосы вдоль выделенного меридиана и круговой шапочки на северном полюсе соответственно. Формы площади на $\mathbb{S}^{1} \times \mathbb{R}^{1}$ и $\mathbb{R}^{2}$ и определяют симплектические структуры для моделей SG и НШ.

На этом мы заканчиваем конкретное описание непрерывных интегрируемых моделей. В гл. IV мы еще вернемся к их общему рассмотрению и классификации с ли-алгебраической точки зрения.