Уравнение движения имеет вид
\[
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+\frac{m^{2}}{\beta} \sin \beta \varphi=0,
\]
где $\varphi(x, t)$ – вещественнозначная функция, а $\beta$ и $m$-положительные параметры. При этом функции $\varphi(x, t)$ и $\varphi(x, t)+2 \pi / \beta$ считаются эквивалентными.
Типичные граничные условия для начальных данных
\[
\varphi(x)=\left.\varphi(x, t)\right|_{t=0}, \quad \pi(x)=\left.\frac{\partial \varphi}{\partial t}(x, t)\right|_{t=j}
\]
имеют вид:
a) Периодические граничные условия:
\[
\begin{array}{l}
\varphi(x+2 L) \equiv \varphi(x)(\bmod 2 \pi / \beta), \\
\pi(x+2 L)=\pi(x) .
\end{array}
\]
б) Быстроубывающие граничные условия:
\[
\begin{array}{l}
\lim _{|x| \rightarrow \infty} \varphi(x) \equiv 0(\bmod 2 \pi / \beta), \\
\lim _{|x| \rightarrow \infty} \pi(x)=0 .
\end{array}
\]
При этом граничные значения принимаются достаточно быстро, например, в смысле Шварца.
С физической точки зрения уравнение (1.19) описывает модель релятивистской теории поля в двумерном пространствевремени. Параметры $m$ и $\beta$ играют роль массы и константы взаимодействия соответственно. Поле $\varphi(x, t)$ – массивное вещественное скалярное поле – имеет важную характеристику – топологический заряд
\[
Q=\frac{\beta}{2 \pi} \int \frac{\partial \varphi}{\partial x} d x
\]
где интегрирование ведется по фундаментальной области в случае а) и по всей оси в случае б). Эта величина сохраняется в силу граничных условий и является целочисленной. С математической точки зрения $Q$ представляет собой число вращения (степень отображения) функции $\chi(x)=\exp \{i \beta \varphi(x)\}$.
Фазовое пространство модели образовано начальными данными – парами функций $(\pi(x), \varphi(x)$ ), где $\varphi(x)$ принимает значения по $\bmod \frac{2 \pi}{\beta}$, удовлетворяющими граничным условиям а) или б). Пуассонова структура на нем задается скобками Пуассона
\[
\{\varphi(x), \varphi(y)\}=\{\pi(x), \pi(y)\}=0, \quad\{\pi(x), \varphi(y)\}=\delta(x-y)
\]
и очевидно является невырожденной. Уравнение (1.19) записывается в гамильтоновом виде
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial t}=\{H, \varphi\}, \quad \frac{\partial \pi}{\partial t}=\{H, \pi\}
\]
с гамильтонианом
\[
H=\int\left(\frac{1}{2} \pi^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^{2}+\frac{m^{2}}{\beta^{2}}(1-\cos \beta \varphi)\right) d x,
\]
где интегрирование ведется в соответствии с граничными условиями. Гамильтониан $H$, импульс $P$
\[
P=-\int \pi \frac{\partial \varphi}{\partial x} d x
\]
и генератор лоренцевых вращений $K$
\[
K=\int x\left(\frac{1}{2} \pi^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^{2}+\frac{m^{2}}{\beta^{2}}(1-\cos \beta \varphi)\right) d x
\]
задают гамильтоново действие алгебры Ли группы Пуанкаре двумерного пространства-времени. Их скобки Пуассона имеют вид
\[
\{H, P\}=0,\{H, K\}=P,\{K, P\}=-H .
\]
Уравнение (1.19) представляется в виде условия нулевой кривизны для связности ( $U(x, t, \lambda), V(x, t, \lambda)$ ) следующего вида:
\[
\begin{aligned}
U(\lambda) & =\frac{\beta}{4 i} \pi \sigma_{3}+\frac{k_{0}}{i} \sin \frac{\beta \varphi}{2} \sigma_{1}+\frac{k_{1}}{i} \cos \frac{\beta \varphi}{2} \sigma_{2}, \\
V(\lambda) & =\frac{\beta}{4 i} \frac{\partial \varphi}{\partial x} \sigma_{3}+\frac{k_{1}}{i} \sin \frac{\beta \varphi}{2} \sigma_{1}+\frac{k_{0}}{i} \cos \frac{\beta \varphi}{2} \sigma_{2},
\end{aligned}
\]
где $\sigma_{a}$, как обычно,-матрицы Паули и
\[
k_{0}=\frac{m}{4}\left(\lambda+\frac{1}{\lambda}\right), \quad k_{1}=\frac{m}{4}\left(\lambda-\frac{1}{\lambda}\right) .
\]
Ковариантные производные $X_{\mu}, \mu=0,1$, где
\[
X_{0}=\frac{\partial}{\partial x_{0}}-V, \quad X_{1}=\frac{\partial}{\partial x_{1}}-U ; \quad x_{0}=t, x_{1}=x,
\]
имеют явно лоренц-инвариантный вид. Для этого заметим, что $\pi=\frac{\partial \varphi}{\partial v_{0}}$, и объединим $k_{0}, k_{1}$ в лоренцев вектор длины $m / 2: k^{2}=$ $=k_{\mu} k_{\mu}=k_{0}^{2}-k_{1}^{2}=m^{2} / 4$, а также используем дуальный вектор $k_{\mu}=\varepsilon_{\mu v} k_{v}$ с компонентами $k_{1}, k_{0}$.
