В этом параграфе мы вернемся к интегралам движения и рассмотрим их с гамильтоновой точки зрения для быстроубывающих граничных условий и случая конечной плотности.

Начнем с быстроубывающего случая. Как мы показали в $\$ 1.7$, локальные интегралы движения $I_{n}$ получаются из соответствующих функционалов для квазипериодического случая с $\theta=0$ предельным переходом $L \rightarrow \infty$. По построению функционалы $I_{n}$ соответствуют наблюдаемым на фазовом пространстве $\mathscr{A}_{0}$. Поэтому их скобки Пуассона также получаются предельным переходом $L \rightarrow \infty$, так что в силу рассуждений в § 2 интегралы движения $I_{n}$ находятся в инволюции:
\[
\left\{I_{n}, I_{m}\right\}=0 .
\]

Таким образом, и в рассматриваемом случае потоки на фазовом пространстве $\mathscr{A}_{0}$, порожденные высшими уравнениями НШ, коммутируют, а для самих уравнений справедливо пред-‘ ставление нулевой кривизны, где матрицы $U(x, \lambda)$ и $V_{n}(x, \lambda)$ даются теми же форлулами, что и в $\$ 3$.

Роль производящей функции интегралов движения $I_{n}$ играет $\frac{1}{i} \ln a(\lambda)$, где коэффициент перехода $a(\lambda)$ был введен в $\$$ I.5. При этом асимптотическое разложение $\frac{1}{l} \ln a(\lambda)$ по степеням $\lambda^{-1}$ получается из соответствующего разложения для $p_{L}(\lambda)+\lambda L$ при $L \rightarrow \infty$ (см. § I.7). Это наводит на предположение, что функционалы $\frac{1}{i} \ln \alpha\left(\lambda_{i}\right)$ являются инволютивными, так же как и $p_{L}(\lambda)$. В этом мы убедимся в $\$ 6-7$, где покажем, что функционалы $a(\lambda)$ при $\operatorname{Im} \lambda>0$ соответствуют наблюдаемым на фазовом пространстве $\mathscr{A}_{0}$, а скобки Пуассона $\{a(\lambda), a(\mu)\}$ и $\{a(\lambda), \bar{a}(\mu)\}$ исчезают.

Рассмотрим теперь граничные условия конечной плотности. Қак отмечалось в $\$$ I.10, функционалы $I_{n}$ для квазипериодического случая уже не имеют пределов при $L \rightarrow \infty$. Для их регуляризации следует использовать асимптотические разложения функции $p_{L}(\lambda)+k L$ по степеням $\lambda^{-1}$ или $k^{-1}$, где $k(\lambda)=\sqrt{\lambda^{2}-\omega^{2}}$ (см. § I.8). В этих разложениях уже возможен почленный предельный переход $L \rightarrow \infty$, в результате которого получаются функционалы на фазовом пространстве $\mathscr{M}_{\rho, \theta}$. Однако, как отмеча:ось в $\$ 1.10$, при этом могут возникать недопустимые функционалы на $\mathscr{M}_{\rho, \AA}$, т. е. функционалы, не соответствующие наблюдаемым. Там же указывалось, что допустимые функционалы получаются из асимптотического разложения $p_{L}(\lambda)+k L$ по степеням $k^{-1}$. Здесь мь докажем это утверждение, используя

полученное в предыдущем параграфе выражение для скобок Пуассона $\left\{p_{L}(\mu), U(x, \lambda)\right\}$.
Напомним, что справедливо разложение
\[
p_{L}(\lambda)=-k L+\frac{\theta}{2}+x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{J_{n}}{k^{n}}+O\left(|k|^{-\infty}\right),
\]

где $\lambda$ из $\mathbb{R}_{\omega}$ (т. е. $|\lambda| \geqslant \omega$ и $\lambda$ вещественно) и $|\lambda| \rightarrow \infty$. Функционалы $J_{n}$ имеют пределы при $L \rightarrow \infty$
\[
J_{n, p}=\lim _{L \rightarrow \infty} J_{n}
\]

в частности, $J_{1, \rho}=N_{\rho}, J_{2, \rho}=P, J_{3, \rho}=H_{\rho}$. Производящей функцией интегралов движения $J_{n, \rho}$ является функция $\frac{1}{i} \ln a_{\rho}(\lambda) e^{-i \theta / 2}$, асимптотическое разложение которой при $|\lambda| \rightarrow \infty, \lambda$ из $\mathbb{R}_{\omega}$ получается из (4.2) предельным переходом при $L \rightarrow \infty$ и имеет вид
\[
\frac{1}{i} \ln a_{p}(\lambda) e^{-\frac{i \theta}{2}}=x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{J_{n, 0}}{k^{n}}+O\left(|k|^{-\infty}\right)
\]
(см. § I.8-I.10). Мы докажем, что при $n>1$ вариационные производные $\frac{\delta J_{n, \rho}}{\delta \psi(x)}$ и $\frac{\delta J_{n, \rho}}{\delta \bar{\psi}(x)}$ исчезают при $|x| \rightarrow \infty$, так что функционалы $J_{n, p}, n>1$, в отличие от $J_{1, p}$ (см. § I.1), являются допустимыми на фазовом пространстве $\mathscr{A}_{\rho, \theta}$.

Для этого обратимся к основным формулам предыдущего параграфа
\[
\left\{p_{L}(\mu), U(x, \lambda)\right\}=\frac{\partial V}{\partial x}(x, \lambda, \mu)+[V(x, \lambda, \mu), U(x, \lambda)]
\]

и
\[
V(x, \lambda, \mu)=\frac{\gamma}{2 i(\lambda-\mu)}(I+W(x, \mu)) \sigma_{3}(I+W(x, \mu))^{-1} .
\]

Эти равенства, как и приводимые ниже, понимаются в асимптотическом смысле с точностью до $O\left(|\mu|^{-\infty}\right)$. В дальнейшем мы, как правило, не будет оговаривать это явно. Участвующая в (4.6) антидиагональная матрица $W(x, \mu)$ представляет собой асимптотический ряд
\[
W(x, \mu)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{W_{n}(x)}{\mu^{n}}+O\left(|\mu|^{-\infty}\right)
\]

и удовлетворяет уравнению Риккати из § I. 4
\[
\frac{d W}{d x}+i \mu \sigma_{3} W-U_{0}+W U_{0} W=0,
\]
a $U_{0}(x)=\sqrt{\bar{x}}\left(\bar{\psi}(x) \sigma_{+}+\psi(x) \sigma_{-}\right)$.

Вспоминая явное выражение для матрицы $U(x, \lambda)$ из $\S 1$, получаем, что левая часть формулы (4.5) имеет вид
\[
\left\{p_{L}(\mu), U(x, \lambda)\right\}=i \sqrt{x}\left(\frac{\delta p_{L}(\mu)}{\delta \psi(x)} \sigma_{+}-\frac{\delta p_{L}(\mu)}{\delta \bar{\psi}(x)} \sigma_{-}\right)
\]

и в пределе при $L \rightarrow \infty$ содержит интересующие нас вариационные производные $\frac{\delta J_{n, \rho}}{\delta \psi(x)}, \frac{\delta J_{n, \rho}}{\delta \bar{\psi}(x)}$. Сравнение формул (4.5),
и (4.6) показывает, что поведение этих вариационных производных при $x \rightarrow \pm \infty$ определяется матрицей $V(x, \lambda, \mu)$ и, в конечном итоге, матрицей $W(x, \mu)$. Таким образом, мы приходим к задаче об определении пределов матрицы $W(x, \mu)$ при $x \rightarrow \pm \infty$, $\mu$ из $\mathbb{R}_{\omega}$
\[
W_{ \pm}(\mu)=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} W(x, \mu)
\]

для граничных условий конечной плотности. В терминах матрицы $U_{0}(x)$ эти граничные условия имеют вид
\[
\lim _{x \rightarrow \pm \infty} U_{0}(x)=U_{ \pm}^{+}, \quad U_{+}=Q^{-1}(\theta) U_{-} Q(\theta),
\]
a $U_{-}=\frac{\omega}{2} \sigma_{1} \quad$ (cм. $\S$ I.8).
Существование пределов (4.10) непосредственно следует из выражения для матриц $W_{n}(x)$ в § I.4. Для их вычисления перейдем в уравнении (4.8) к пределу $x \rightarrow-\infty$. Обозначая $W(\mu)=$ $=W_{-}(\mu)$, получаем уравнение
\[
\frac{\omega}{2} W \sigma_{1} W+i \mu \sigma_{3} W-\frac{\omega}{2} \sigma_{1}=0 .
\]

Вводя диагональную матрицу $X=W \sigma_{1}$, перепишем его в виде
\[
\frac{\omega}{2} X^{2}+i \mu \sigma_{3} X-\frac{\omega}{2} I=0,
\]

или
\[
\left(X+\frac{i \mu \sigma_{3}}{\omega}\right)^{2}=-\frac{k^{2}(\mu)}{\omega^{2}} I .
\]

Для диагональной матрицы $X$ уравнение (4.14) имеет четыре решения. Однако только одно из них совместно с асимптотическим разложением (4.7) для $\mu$ из $\mathbb{R}_{\omega}$ в силу равенства
\[
k(\mu)=\mu-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{p_{n}}{\mu^{n}}+O\left(|\mu|^{-\infty}\right),
\]

справедливого для таких $\mu$ (см. § I.10). Это решение имеет вид
\[
X=\frac{i(k-\mu)}{\omega} \sigma_{3},
\]

тaK что
\[
W_{-}(\mu)=\frac{\mu-k}{\omega} \sigma_{2} .
\]

Для матрицы $W_{+}(\mu)$ с помощью (4.11) отсюда сразу получаем
\[
W_{+}(\mu)=Q^{-1}(\theta) W_{-}(\mu) Q(\theta) .
\]

Подставляя полученные выражения в формулу (4.6), убеждаемся, что пределы матрицы $V(x, \lambda, \mu)$ при $x \rightarrow \pm \infty, \mu$ из $\mathbb{R}_{0}$ имеют вид
\[
\lim _{x \rightarrow \pm \infty} V(x, \lambda, \mu)=V_{ \pm}(\lambda, \mu)
\]

где
\[
V_{+}(\lambda, \mu)=Q^{-1}(\theta) V_{–}(\lambda, \mu) Q(\theta),
\]
a
\[
V_{-}(\lambda, \mu)=\frac{x\left(\left(1+\eta^{2}\right) \sigma_{3}+2 i \eta \sigma_{1}\right)}{2 i(\lambda-\mu)\left(1-\eta^{2}\right)}
\]

и введено обозначение $\eta=\frac{\mu-k(\mu)}{\omega}$. Отсюда получаем, что пределы правой части равенства (4.5) при $x \rightarrow \pm \infty$ имеют вид
\[
P_{ \pm}=\lim _{x \rightarrow \pm \infty}[V(x, \lambda, \mu), U(x, \lambda)]=\left[V_{ \pm}(\lambda, \mu), \frac{\lambda \sigma_{3}}{2 i}+U_{ \pm}\right],
\]

где
\[
P_{+}(\mu)=Q^{-1}(\theta) P_{-}(\mu) Q(\theta), \quad P_{-}(\mu)=-\frac{\varkappa \omega \sigma_{2}}{2 k(\mu)} .
\]

Итак, мы показали, что в нашем случае существуют пределы
\[
\lim _{x \rightarrow \pm \infty}\left\{\frac{1}{i} \ln a_{0}(\mu) e^{-i \mathrm{e} / 2}, U(x, \lambda)\right\}=P_{ \pm}(\mu) .
\]

Сравнивая это равенство с асимптотическим разложением (4.4), выражением для вариационных производных
\[
\frac{\delta J_{1, \rho}}{\delta \psi(x)}=\bar{\psi}(x), \quad \frac{\delta J_{1, \rho}}{\delta \bar{\psi}(x)}=\psi(x)
\]
(см. § I.1) и с формулой (4.23), убеждаемся в справедливости соотношений
\[
\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{\delta J_{n, \rho}}{\delta \psi(x)}=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{\delta J_{n, \rho}}{\delta \bar{\psi}(x)}=0
\]

Таким образом, мы показали, что функционалы $J_{n, \rho}, n>1$, являются допустимыми на фазовом пространстве $\mathfrak{M}_{\rho, \theta}$. Соотношение (4.3) означает, что они находятся в инволюции:
\[
\left\{J_{n, \rho}, J_{m, \rho}\right\}=0 .
\]

Поэтому в случае конечной плотности именно с этими функционалами естественно связывать высшие уравнения НШ
\[
\frac{\partial \psi}{\partial t}=\left\{J_{n, \rho}, \psi\right\}, \quad \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial t}=\left\{J_{n, \rho}, \bar{\psi}\right\} .
\]

Эти уравнения допускают представление нулевой кривизны $c$ матрицами $U(x, \lambda)$ и $V_{n, p}(x, \lambda), n>1$, которые определяются из асимптотического разложения
\[
V(x, \lambda, \mu)=x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{V_{n, o}(x, \lambda)}{k^{n}(\mu)}+O\left(|k(\mu)|^{-\infty}\right)
\]

для $\mu и з \mathbb{R}_{\omega}$. Оно получается переразложением асимптотиеского ряда (3.36) по степеням $k^{-1}(\mu)$ (сравни с аналогичной операцией в § I.10). В частности, $V_{2, \rho}(x, \lambda)=V_{2}(x, \lambda)$, а $V_{3}(x, \lambda)=$ $=V_{\rho}(x, \lambda)$, где матрица $V_{\rho}(x, \lambda)$ была введена в $\$$ I.2.

В этом параграфе мы еще раз убедились в полезности понятия $r$-матрицы. На основании обшего представления нулевой кривизны (3.3), доказанного в $\S 3$ исходя из фундаментальных скобок Пуассона, мы смогли исследовать локальные интегралы движения в случае конечной плотности и выделить из них допустимые функционалы. В следующем параграфе будет лано еще одно приложение основных формул из $§ 3$.