В § II. 8 мы убедились, что модель Л–Л является в определенном смысле универсальной для интегрируемых систем с двумерным фазовым пространством при фиксированном $x$, которые допускают представление нулевой кривизны с двумерным вспомогательным пространством. В частности, модели SG, НШ и МГ получались из нее различными предельными переходами. Здесь мы введем решеточный аналог модели Л-Л – модель РЛ-Л-и рассмотрим модели, получающиеся из нее соответствуюцими предельными переходами. В частности, помимо описанных в \$I. 2 моделей РМГ и РНШ , мы $^{2}$ молучим естественный решеточный аналог модели SG – модель LSG.

Қак мы уже отмечали в § I.2, при переходе от непрерывных моделей к решеточным наиболее просто выглядит матрица $L_{n}(\lambda)$ из представления нулевой кривизны. Она является более непосредственным обобщением своего непрерывного аналога – матрицы $U(x, \lambda)$ из вспомогательной линейной задачи, чем другие объекты: матрица $V_{n}(\lambda)$ и соответствующие уравнения движения, пуассонова структура и гамильтониан. Поэтому мы поступим здесь следующим образом: сначала, исходя из естественных условий, определим матрицу $L_{n}(\lambda)$, а затем опишем и саму модель РЛ-Л.

Основное условие на $L_{n}(\lambda)$ состоит в том, что эта матрица должна удовлетворять фундаментальным скобкам Пуассона на решетке
\[
\left\{L_{n}(\lambda) \otimes L_{m}(\mu)\right\}=\left[r(\lambda-\mu), L_{n}(\lambda) \otimes L_{n}(\mu)\right] \delta_{n m} .
\]

Важная роль этих соотношений была проиллюстрирована выше на примере модели Тода. В качестве матрицы $r(\lambda)$ мы возьмем $r$-матрицу модели Л-Л
\[
r(\lambda)=-\frac{1}{2} \sum_{a=1}^{3} u_{a}(\lambda) \sigma_{a} \otimes \sigma_{a},
\]

где
\[
u_{1}(\lambda)=\rho \frac{1}{\operatorname{sn1}(\lambda, k)}, \quad u_{2}(\lambda)=\rho \frac{\operatorname{dn}(\lambda, k)}{\operatorname{sn}(\lambda, k)}, \quad u_{3}(\lambda)=\rho \frac{\operatorname{cn}(\lambda, k)}{\operatorname{sn}(\lambda, k)},
\]
a
\[
\rho=\frac{1}{2} \sqrt{J_{3}-J_{1}}, \quad 0<k=\sqrt{\frac{J_{2}-J_{1}}{J_{3}-J_{1}}}<1
\]

и $J_{1}<J_{2}<J_{3}$ (см. § II.8). Это вполне естественно, поскольку (5.1) можно интерпретировать как соотношение для скобок Пуассона матрицы перехода на один узел решетки-на малый интервал

$\Delta$ для соответствующей непрерывной модели (см. § III. 1 части I и $\$ 1$ ).

Продолжая эту аналогию, для искомой матрицы $L_{n}(\lambda)$ нмеем приближенное выражение
\[
\begin{array}{l}
L_{n}(\lambda)=I+\int_{\Delta_{n}} U(x, \lambda) d x+O\left(\Delta^{2}\right)= \\
=I+\frac{1}{i} \sum_{a=1}^{3} u_{a}(\lambda) \int_{\Delta_{n}} S_{a}(x) d x+O\left(\Delta^{2}\right)
\end{array}
\]
(см. формулу (II.8.2) для $U(x, \lambda)$ ). Члены $O\left(\Delta^{2}\right)$ в (5.5) не фиксируются соответствующей непрерывной моделью. Опыт моделей РМГ и РНШ , рассмотренных в § I.2, показывает, что эти члены определяются из представления нулевой кривизны. Здесь мы убедимся, что они однозначно фиксируются и фундаментальными скобками Пуассона (5.1). Формула (5.5) показывает, что матрицу $L_{n}(\lambda)$ естественно искать в следующем виде:
\[
L_{i n}(\lambda)=\mathscr{Y}_{0}^{(n)} I+\frac{1}{i} \sum_{a=1}^{3} u_{a}(\lambda) \mathscr{S}_{a}^{(n)} \sigma_{a},
\]

где $\mathscr{P}_{\alpha}^{(n)}, \alpha=0,1,2,3$ – новые динамические переменные. В непрерывном пределе к модели Л-Л они должны иметь аснмптотики
\[
\mathscr{S}_{0}^{(n)}=1+O\left(\Delta^{2}\right), \quad \mathscr{S}_{a}^{(n)}=\Delta S_{a}(x)+O\left(\Delta^{3}\right),
\]

где $\Delta n=x, \Delta \rightarrow 0$ и $S_{1}^{2}(x)+S_{2}^{2}(x)+S_{3}^{2}(x)=1$.
Замечательно, что фундаментальные скобки Пуассона (5.1) с г-матрицей (5.2)-(5.3) удовлетворяются для матрицы $L_{n}(\lambda)$ вида (5.6), если переменные $\mathscr{P}_{0}^{(n)}, \mathscr{S}_{a}^{(n)}$ подчиняются следующим скобкам Пуассона:
$u$
\[
\left\{\mathscr{S}_{a}^{(n)}, \mathscr{S}_{b}^{(m)}\right\}=-\mathscr{S}_{0}^{(n)} \mathscr{S}_{c}^{n)} \delta_{n m} .
\]

Здесь и ниже набор ( $a, b, c$ ) – циклическая перестановка индексов $1,2,3$, и мы положили
\[
J_{b c}=\frac{1}{4}\left(J_{c}-J_{b}\right) .
\]

При выводе (5.8)-(5.9) следует использовать соотношения (11.8.8) и тождества
\[
u_{a}(\lambda-\mu) u_{b}(\lambda) u_{a}(\mu)-u_{b}(\lambda-\mu) u_{a}(\lambda) u_{b}(\mu)=J_{a b} u_{c}(\lambda) \text {, }
\]

которые вытекают из теорем сложения для эллиптических функций Якоби. Их можно проверить и непосредственно, сравнивая

полюса по переменной $\lambda$ левой и правой частей и используя теорему Лиувилля.
Обсудим полученные скобки Пуассона (5.8) – (5.9).
1. Эти скобки Пуассона ультралокальны: переменные $\mathscr{P}_{\alpha}^{(n)}$, принадлежащие разным узлам решетки, находятся в инволюции. Поэтому мы рассмотрим сначала (5.8) – (5.9) в одном узле (опуская зависимость от $n$ ) как скобки Пуассона на $\mathbb{R}^{4}$
\[
\begin{array}{l}
\left\{\mathscr{P}_{a}, \mathscr{S}_{0}\right\}=J_{b c} \mathscr{P}_{b} \mathscr{P}_{c}, \\
\left\{\mathscr{T}_{a}, \mathscr{P}_{b}\right\}=-\mathscr{T}_{0} \mathscr{T}_{c} .
\end{array}
\]
2. Тождество Якоби для скобок Пуассона (5.8)-(5.9) и (5.12)-(5.13) гарантируется уравнением (II.8.12), которому удовлетворяет матрица $r(\lambda)$. Однако его легко проверить и непосредственно, используя очевидное соотношение
\[
J_{12}+J_{23}+J_{31}=0 .
\]
3. В отличие от скобок Ли – Пуассона, с которыми мы имели дело в случае моделей МГ и РМГ (см. § I.1-I.2), скобки Пуассона (5.12)-(5.13) квадратичны по образующим $\mathscr{P}_{0}, \mathscr{P}_{1}, \mathscr{P}_{2}, \mathscr{P}_{3}$. Они являются в некотором естественном смысле деформацией скобок Пуассона модели РМГ. В частности, в непрерывном пределе (5.7) они переходят в скобки Ли- Пуассона для модели Mг.
4. Пуассонова структура (5.12) – (5.13) вырожденна. Ее аннулятор порождается двумя полиномами
\[
\mathscr{C}_{0}=\sum_{a=1}^{3} \mathscr{y}_{a}^{?}
\]
$u$
\[
\mathscr{C}_{1}=\mathscr{Y}_{0}^{2}-\frac{1}{4} \sum_{a=1}^{3} J_{a} \mathscr{Y}_{a}^{\mathrm{a}} .
\]

Уравнения
\[
\mathscr{C}_{0}=c_{0}, \quad \mathscr{C}_{1}=c_{1},
\]

где $c_{0}$ и $c_{1}$ вещественны, выделяют симплектическое подмногообразие $\Gamma=\Gamma\left(J_{a}, c_{0}, c_{1}\right)$ в $\mathbb{R}^{4}$.
5. Многообразие $\Gamma$, вообще говоря, несвязно. При условии
\[
c_{1}>-\frac{J_{1}}{4} c_{0}
\]

Г гомеоморфно несвязному объединению двух сфер $\mathbb{S}^{2}$. Дополнительное условие $\mathscr{P}_{0}>0$ отбирает одну из них; соответствующее фазовое пространство будем обозначать через $\Gamma_{0}$. В случае
\[
-\frac{J_{3}}{4} c_{0}<c_{1}<-\frac{J_{2}}{4} c_{0}
\]

многообразие $\Gamma$ по-прежнему гомеоморфно объединению двух сфер. Однако при $-\frac{J_{2}}{4} c_{0}<c_{1}<-\frac{J_{1}}{4} c_{0}$ оно уже связно и гомеоморфно тору $\mathbb{g}^{2}=\mathbb{S}^{1} \times \dot{\mathbb{S}}^{1}$. (Фазовое пространство такого типа нам встретится ниже при описании модели LSG.) При условии $c_{1}<-\frac{J_{3}}{4} c_{0}$ уравнения (5.17) не имеют решений в $\mathbb{R}^{4}$.
6. Вернемся к скобкам Пуассона (5.8)-(5.9) на решетке. Они естественно заданы на произведении $\underbrace{\mathbb{R}^{4} \times \ldots \times \mathbb{R}^{4}}_{N}$, где $N-$ число узлов решетки. В качестве фазового пространства $\mathscr{M}$ модели РЛ-Л мы возьмем произведение фазовых пространств $\Gamma_{0}$, считая, что $c_{0}$ и $c_{1}$ не зависят от номера $n$. (Последнее означает пространственную однородность модели.) В непрерывном пределе при условии
\[
c_{0}=\Delta^{2}, \quad c_{1}=1
\]

фазовое пространство $\mathscr{M}$ переходит в фазовое пространство модели Л-Л.

Итак, мы определили фазовое пространство $\mathscr{\Lambda}$ модели РЛ-Л и матрицу $L_{n}(\lambda)$ из соответствующей вспомогательной линейной задачи
\[
F_{n+1}=L_{n}(\lambda) F_{n} .
\]

С последней связана матрица монодромии $T_{N}(\lambda)$,
\[
T_{N}(\lambda)=\prod_{n=1}^{\widehat{N}} L_{n}(\lambda),
\]

скобки Пуассона для которой имеют тот же вид, что и для матриц $L_{n}(\lambda)$ :
\[
\left\{T_{N}(\lambda) \otimes T_{N}(\mu)\right\}=\left[r(\lambda-\mu), T_{N}(\lambda) \otimes T_{N}(\mu)\right] .
\]

Отсюда следует, что функции
\[
F_{N}(\lambda)=\operatorname{tr} T_{N}(\lambda)
\]

порождают на $\mathscr{M}$ инволютивное семейство наблюдаемых:
\[
\left\{F_{N}(\lambda), F_{N}(\mu)\right\}=0 .
\]

Выбор семейства (5.24) соответствует периодическим граничным условиям
\[
\mathscr{L}_{\alpha}^{(n+N)}=\mathscr{Y}_{\alpha}^{(n)}, \quad \alpha=0,1,2,3 .
\]

Покажем, что в этом семействе содержатся локальные наблюдаемые, которые представляются в виде суммы по узлам

решетки
\[
G_{k}=\sum_{n=1}^{N} \dot{g}\left(\mathbb{S}_{\alpha}^{(n)}, \ldots, \mathbb{S}_{\alpha}^{n+k}\right),
\]

где $k<N$. Будем говорить, что $G_{k}$ описывает взаимодействие $k+1$ ближайших соседей на решетке. В частности, гамильтониан $H$ будет описывать взаимодействие двух ближайших соседей.

Для его определения мы поступим следующим образом. Заметим, что выражение (5.24) для $F_{N}(\lambda)$ упрощается, если $\lambda=\lambda_{0}$, где $\lambda_{0}$ – значение, при котором матрица $L_{n}(\lambda)$ вырождается. Действительно, из представления
\[
L_{n}\left(\lambda_{0}\right)=\alpha_{n} \beta_{n}^{\tau},
\]

где $\alpha_{n}$ и $\beta_{n}$-векторы-столбцы, а $\tau$ означает транспонирование, следует, что
\[
F_{N}\left(\lambda_{0}\right)=\prod_{n=1}^{N} \beta_{n+1}^{\tau} \alpha_{n}, \quad \beta_{N+1}=\beta_{1},
\]

и, таким образом, $\ln F_{N}\left(\lambda_{0}\right)$ – локальная наблюдаемая, описывающая взаимодействие двух ближайших соседей. $\mathrm{K}$ сожалению, эта величина, вообще говоря, комплексна. Для построения вещественнозначной наблюдаемой следует использовать две инволюции, которым удовлетворяет матрица $L_{n}(\lambda)$ :
\[
\bar{L}_{n}(\lambda)=\sigma_{2} L_{n}(\bar{\lambda}) \sigma_{2}
\]

и
\[
L_{n}(-\lambda)=\sigma_{2} L_{n}^{\tau}(\lambda) \sigma_{2}
\]
(они непосредственно следуют из определений (5.3) и (5.6)). Первая из них означает, что $\bar{F}_{N}(\lambda)=F_{N}(\bar{\lambda})$, так что
\[
H=\ln \frac{\left|F_{N}\left(\lambda_{0}\right)\right|^{2}}{2}
\]

также принадлежит инволютивному семейству, порожденному $F_{N}(\lambda)$. Вторая инволюция позволяет вычислить величину $H$ явно.
Действительно, из уравнения
\[
\operatorname{det} L_{n}\left(\lambda_{0}\right)=c_{1}+c_{0}\left(u_{1}^{2}\left(\lambda_{0}\right)+J_{1} / 4\right)=0
\]

и условия (5.18) следует, что $\lambda_{0}$ можно выбрать чисто мнимым, что приводит к представлению

поэтому
\[
L_{n}\left(\bar{\lambda}_{0}\right)=\dot{L}_{n}\left(-\lambda_{0}\right)=\sigma_{2} \beta_{n} \alpha_{n}^{\tau} \sigma_{2},
\]
\[
F_{N}\left(\bar{\lambda}_{0}\right)=F_{N}\left(-\lambda_{0}\right)=\prod_{n=1}^{N} \alpha_{n+1}^{\tau} \beta_{n}, \quad \alpha_{N+1}=\alpha_{1} \text {. }
\]

Отсюда получаем
\[
H=\sum_{n=1}^{N} \ln \frac{\beta_{n+1}^{\tau} \alpha_{n} \alpha_{n+1}^{\tau} \beta_{n}}{2}=\sum_{n=1}^{N} \ln h\left(\mathscr{L}_{\alpha}^{(n)}, \mathscr{L}_{\alpha}^{(n+1)}\right),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
h\left(\mathscr{S}_{\alpha}^{(n)}, \mathscr{S}_{\alpha}^{n+1)}\right)=\frac{1}{2} \operatorname{tr} L_{n+1}\left(\lambda_{0}\right) L_{n}\left(\lambda_{0}\right)= \\
=\mathscr{L}_{0}^{(n)} \mathscr{U}_{0}^{(n+1)}+\sum_{a=1}^{3}\left(\frac{c_{1}}{c_{0}}+\frac{J_{a}}{4}\right) \mathscr{S}_{a}^{(n)} \mathscr{S}_{a}^{(n+1)} . \\
\end{array}
\]

При выводе последнего равенства следует использовать формулы (5.6), (5.15) – (5.17) и (5.33).

Величиу $H$ мы и возьмем в качестве самильтониана для модели $P Л-Л$. Порождаемые им уравнения движения
\[
\frac{d_{\alpha}^{(n)}}{d t}=\left\{H, \mathscr{y}_{\alpha}^{(n)}\right\}, \quad \alpha=0,1,2,3,
\]

не слишком поучительны, и мы не будем здесь их явно выписывать. Вместо этого обсудим их общие свойства.
1) В непрерывном пределе (5.7) при условиях (5.20) гамильтониан $Н$ переходит в гамильтониан модели Л-Л из § I.1:
\[
-2 H+2 N \ln 2=\frac{\Delta}{2} \int\left(\left(\frac{d \vec{S}}{d x}\right)^{2}-J(\vec{S})\right) d x+O\left(\Delta^{2}\right)
\]
и. из уравнений (5.38) получаем уравнение Л-Л.
2) Модель РЛ-Л является вполне интегрируеной гамильтоновой системой. Действительно, семейство из $N-1$ независимых, инволютивных интегралов движения, содержащее гамильтониан $H$, можно построить следующим образом:
\[
I_{k}=\left.\frac{d^{k}}{d \hbar_{\imath}^{k}} \ln \left|F_{N}(\lambda)\right|^{2}\right|_{\lambda=\lambda_{\omega_{0}}}, \quad k=0, \ldots, N-2 .
\]

Величины $I_{k}$ локальны и описывают взаимодействие $k+2$ ближайших соседей. Недостающий интеграл движения можно выбрать в виде $\arg F_{N}\left(\lambda_{0}\right)$.
3) Уравнения движения (5.38) предстаеляются в виде условия нулєвой кривизныь
\[
\frac{d L_{n}}{d t}(\lambda)=V_{n+1}(\lambda) L_{n}(\lambda)-L_{n}(\lambda) V_{n}(\lambda)
\]

Действительно, действуя совершенно аналогично рассуждениям в § III. 3 части I, получаем соотношение
\[
\left\{\ln F_{N}(\mu), L_{n}(\lambda)\right\}=V_{n+1}(\lambda, \mu) L_{n}(\lambda)-L_{n}(\lambda) V_{n}(\lambda, \mu),
\]

где
\[
V_{n}(\lambda, \mu)=\frac{1}{F_{N}(\mu)} \operatorname{tr}_{1}\left(\left(\prod_{k=n}^{\widehat{N}} L_{k}(\mu) \otimes I\right) r(\mu-\lambda)\left(\prod_{k=1}^{n-1} L_{k}(\mu) \otimes I\right)\right)
\]

и мы использовали введенное там обозначение $\operatorname{tr}_{1}$. Из формулы (5.32) следует, что $\left\{H, L_{n}(\lambda)\right\}$ совпадает с правой частью в (5.41), где
\[
V_{n}(\lambda)=\frac{1}{2}\left(V_{n}\left(\lambda, \lambda_{0}\right)+V_{n}\left(\lambda, \bar{\lambda}_{0}\right)\right) .
\]

Таким образом, уравнения движения
\[
\frac{d L_{n}}{d t}(\lambda)=\left\{H, L_{n}(\lambda)\right\}
\]

представляются в виде (5.41).
Выражение для матрицы $V_{n}(\lambda)$ можно упростить, используя формулы (5.29), (5.35) и (5.37). Имеем
\[
\begin{array}{l}
V_{n}(\lambda)= \frac{\operatorname{tr}_{1}\left(\alpha_{n-1} \beta_{n}^{\tau} \otimes I\right) r\left(\lambda_{0}-\lambda_{1}\right)}{4 \beta_{n}^{\tau} \alpha_{n-1}}-\frac{\operatorname{tr}_{1}\left(\sigma_{2} \beta_{n-1} \alpha_{n}^{\tau} \sigma_{2} \otimes I\right) r\left(\lambda_{0}+\lambda\right)}{2 \alpha_{n}^{\tau} \beta_{n-1}}= \\
=-\frac{1}{h\left(\mathscr{\varphi}_{\alpha}^{(n-1)}, \mathscr{Y}_{\alpha}^{n)}\right)} \operatorname{tr}_{1}\left(\left(L_{n-1}\left(\lambda_{0}\right) L_{n}\left(\lambda_{0}\right) \otimes I\right) r\left(\lambda-\lambda_{0}\right)+\right. \\
\left.\quad+\left(L_{n-1}\left(-\lambda_{0}\right) L_{n}\left(-\lambda_{0}\right) \otimes I\right) r\left(\lambda+\lambda_{0}\right)\right) . \quad
\end{array}
\]

Последняя формула показывает, что матрица $V_{n}(\lambda)$ зависит лишь от двух ближайших соседей.

Подчеркнем, что как и в непрерывном случае, фундаментальные скобки Пуассона на решетке заменяют представление нулевой кривизны. Это еще раз демонстрирует полезность и универсальность понятия $r$-матрицы.

На этом мы заканчиваем описание модели РЛ-Л. Рассмотрим теперь модели, получающиеся из нее вырождением эллиптической кривой $E$ (см. § II.8).

Простейший предельный переход отвечает случаю $k \rightarrow 0$, при котором $J_{1}=J_{2}<J_{3}$. Соответствующая матрица $L_{n}(\lambda)$ приобретает вид

где переменные $\mathscr{P}_{\alpha}^{(n)}$ удовлетворяют скобкам Пуассона (5.8)(5.9) с $J_{12}=0, J_{13}=J_{23}=\rho^{2}$. В этом случае для переменных $\mathscr{P}_{a}$

(в каждом узле) можно написать явное представление через обычные переменные $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ на сфере радиуса $R$ в $\mathbb{R}^{3}$
\[
S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{3}=R^{2}
\]

со скобками Ли – Пуассона
\[
\left\{S_{a}, S_{b}\right\}=-S_{c} .
\]

Именно, положим
\[
\begin{array}{ll}
\mathscr{S}_{0}=\operatorname{ch}\left(\rho S_{3}\right), & \mathscr{S}_{3}=\frac{1}{\rho} \operatorname{sh}\left(\rho S_{3}\right), \\
\mathscr{S}_{1}=\frac{1}{\rho} F\left(S_{3}\right) S_{1}, & \mathscr{S}_{2}=\frac{1}{\rho} F\left(S_{5}\right) S_{2},
\end{array}
\]

где
\[
F(x)=\sqrt{\frac{\operatorname{sh}^{2} \rho R-\operatorname{sh}^{2} \rho x}{R^{2}-x^{2}}} .
\]

Тогда переменные $\mathscr{P}_{\alpha}$ удовлетворяют скобкам Пуассона (5.12) (5.13), а значения инвариантов $\mathscr{C}_{0}$ и $\mathscr{C}_{1}$ имеют вид
\[
c_{0}=\frac{\operatorname{sh}^{2} \rho R}{\rho^{2}}, \quad c_{1}=1-\frac{J_{1}}{4} c_{0} .
\]

После подстановки формул (5.50)-(5.51) в (5.47) мы получим матрицу $L_{n}(\lambda)$ для модели, которую естественно называть частично анизотропной моделью РМГ; $r$-матрица для нее получается из (5.2)-(5.3) в пределе при $k \rightarrow 0$ и имеет вид
\[
r(\lambda)=-\frac{\rho}{2 \sin \lambda}\left(\sigma_{1} \otimes \sigma_{1}+\sigma_{2} \otimes \sigma_{2}+\cos \lambda \sigma_{3} \otimes \sigma_{3}\right) .
\]

Эта же $r$-матрица обслуживает и частично анизотропную модель МГ (см. § I.8), в которую наша модель переходит в непрерывном пределе при наивной замене
\[
S_{a}^{(n)}=\Delta S_{a}(x), \quad R=\Delta .
\]

Описанная частично анизотропная модель РМГ допускает дальнейшее вырождение. Именно, в пределе $\rho \rightarrow 0$ (заменяя $\lambda$ на $2 \rho / \lambda$ ) мы приходим к изотропному случаю $J_{1}=J_{2}=J_{3}$, отвечающему модели РМГ из § I.2. Соответствующая ей $r$-матрица получается из (5.53) в этом пределе и совпадает с $r$-матрицей для модели МГ из § II.3. Как было объяснено в § I.2, тем самым мы приходим и к модели РНШ . $^{\text {. }}$

Опишем теперь решеточный аналог модели SG-модель LSG. По существу, она является другой вещественной формой только что рассмотренной частично анизотропной модели РМГ. Именно, мы поменяем роль параметров $J_{1}, J_{2}, J_{3}$ и будем считать,

что $J_{1}=J_{2}>J_{3}$, оставляя представления (5.3)-(5.4) (где $k=0$ ) и вид (5.47) матрицы $L_{n}(\lambda)$ неизменными. Ограничения (5.19) превращаются в
\[
-\frac{J_{1}}{4} c_{0}<c_{1}<-\frac{j_{3}}{4} c_{0},
\]
\” фазовое пространство модели в одном узле решетке гомеоморфно тору T2. Переменные $\mathscr{P}_{\alpha}$ реалізуются как функции от канонических переменных $\pi$ и $\varphi$ на торе
\[
\{\pi, \varphi\}=1 \text {. }
\]

Именно, положим
\[
\begin{array}{ll}
\mathscr{S}_{0}=s \cos \frac{\beta \varphi}{2}, & \mathscr{I}_{3}=\frac{s}{\gamma} \sin \frac{\beta \varphi}{2}, \\
\mathscr{I}_{1}=-\frac{f(\varphi)}{\gamma} \sin \frac{\beta \pi}{4}, & \mathscr{I}_{2}=-\frac{f(\varphi)}{\gamma} \cos \frac{\beta \pi}{4},
\end{array}
\]

где
\[
f(x)=\sqrt{1+s^{2} \cos \beta x / 2},
\]

а $\gamma=\beta^{2} / 8>0$ и $s>0$-произвольные параметры. Тогда переменные $\mathscr{P}_{\alpha}$ удовлетворяют скобкам Пуассона (5.12) – (5.13) с параметрами
\[
J_{12}=0, \quad J_{13}=J_{23}=-\gamma^{2},
\]

где $J_{1}=J_{2}=4 \gamma^{2}, J_{3}=0$, а инварианты $\mathscr{C}_{0}$ и $\mathscr{C}_{1}$ имеют значения
\[
c_{0}=\frac{s^{2}+2}{2 \gamma^{2}}, \quad c_{1}=\frac{s^{2}-2}{2} .
\]

Рассмотрим теперь матрицу $L_{n}^{\mathrm{SG}}(\alpha)$ вида
\[
L_{n}^{\mathrm{SG}}(\alpha)=-i \mathrm{sh} \alpha \sigma_{2} L_{n}(i \alpha),
\]

где матрица $L_{n}(\lambda)$ дается формулой (5.47) с $\rho=i \gamma$. Подставляя вместо $\mathscr{P}_{\alpha}^{(n)}$ их выражения (5.57)-(5.58) через $\pi_{n}$ и $\varphi_{n}$, получаем
\[
\begin{aligned}
L_{n}^{S G}(\alpha)=f\left(\varphi_{n}\right) \cos \frac{\beta \pi_{n}}{4} I & +\frac{1}{i} f\left(\varphi_{n}\right) \sin \frac{\beta \pi_{n}}{4} \sigma_{3}+ \\
& \quad+\frac{s}{i}\left(\operatorname{ch} \alpha \sin \frac{\beta \varphi_{n}}{2} \sigma_{1}+\operatorname{sh} \alpha \cos \frac{\beta \varphi_{n}}{2} \sigma_{2}\right)
\end{aligned}
\]

Матрица $L_{n}^{\text {SG }}(\alpha)$ удовлетворяет фундаментальным скобкам Пуассона (5.1) с $r$-матрицей вида (5.53) при $\lambda=i \alpha, \rho=i \gamma$. Матрица $r(\alpha)$ совпадает (с точностью до несущественного слагаемого, пропорционального $I \otimes I$ ) с $r$-матрицей модели SG из $\$$ II. 6 .

Гамильтониан $H$ модели LSG имеет вид

где вместо $\mathscr{S}_{\alpha}^{(n)}$ следует подставить их выражения (5.57) – (5.58) через $\pi_{n}$, $\varphi_{n}$, и получается из формул (5.36)-(5.37) при учете $(5.60)$ – (5.61). Отметим, что изменение знака у слагаемых мулой (5.61), которая может быть интерпретирована как операция альтернирования знака
(сравни с рассуждениями в § I.2).
Вспомогательная линейная задача (после замены $\lambda=e^{\alpha}$ ), гамильтониан $H$ и прочие характеристики модели LSG в непрерывном пределе
\[
\pi_{n}=\Delta \pi(x), \quad \varphi_{n}=\varphi(x), \quad s=m \Delta / 2
\]

переходят в соответствующие объекты для модели SG из § I.1. Это оправдывает название описанной вполне интегрируемой модели на решетке решеточной моделью SG.

Отметим, что в то время как на решетке модель LSG и частично анизотропная модель РМГ, по существу, совпадают, их непрерывные модели весьма далеки, так как они получаются в результате различных непрерывных пределов.

Список моделей, порождаемых моделью РЛ-Л, отнюдь не исчерпывается приведенными выше примерами. Мы можем рассматривать высшие аналоги модели РЛ-Л с гамильтонианами $I_{k}$, их контракции, а также другие значения параметров $J_{a}$ и инвариантов $\mathscr{C}_{0}, \mathscr{C}_{1}$. Более того, мы можем изменять вид матрицы $L_{n}(\lambda)$ по формуле
\[
L_{n}(\lambda) \mapsto A L_{n}(\lambda),
\]

где матрица $A \otimes A$ коммутирует с $r$-матрицей. На этом пути можно получить и модель Тода.

Однако мы выбрали именно модель Тода в качестве основного примера модели на решетке, поскольку ее исследование технически более просто. В то же время она вполне удовлетворительно иллюстрирует основные особенности формализма метода обратной задачи для решеточных моделей.