Қак и в § III. 7 части I, из приведенных выше формул получаем, что neременные
\[
\rho(\lambda)=-\frac{1}{\pi \lambda^{2}} \ln \left(1-|b(\lambda)|^{2}\right), \quad \varphi(\lambda)=-\arg b(\lambda)
\]
$u$
\[
\begin{array}{ll}
p_{j}=-\frac{4 \operatorname{Re} \lambda_{i}}{\mid \lambda_{j}{ }^{2}}, \quad q_{i}=\ln \left|\gamma_{j}\right|, \\
\rho_{j}=\frac{4 \operatorname{Im} \lambda_{j}}{\left|\lambda_{j}\right|^{2}}, \quad \varphi_{i}=-\arg \gamma_{j}
\end{array}
\]

являются каноническими, т. е. их неисчезающие скобки Пуассона имеют вид

и
\[
\{\rho(\lambda), \varphi(\mu)\}=\delta(\lambda-\mu)
\]
\[
\left\{p_{j}, q_{k}\right\}=\delta_{j k}, \quad\left\{\rho_{j}, \varphi_{k}\right\}=\delta_{j k}, \quad j, k=1, \ldots, n .
\]

Переменная $\rho(\lambda)$ неотрицательна и несингулярна в силу условия (А) и равенства $b(0)=0$.
Таким образом, отображение
\[
\mathscr{F}:(\vec{S}(x)) \mapsto\left(b(\lambda), \bar{b}(\lambda), \lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}, \gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j}\right)
\]

является каноническим преобразованием, тривиализующим динамику модели МГ. Локальные интегралы движения $I_{l}$ зависят только от переменных типа действие:
\[
I_{l}=-\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \lambda^{l+1} \rho(\lambda) d \lambda+\frac{(-1)^{l}}{i l} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{p_{j}^{2}+\rho_{j}^{2}}{4}\right)^{-l}\left(\left(p_{i}+i \rho_{j}\right)^{l}-\left(p_{j}-i \rho_{j}\right)^{l}\right),
\]

где $l=0,1, \ldots$ и при $l=0$ сумму по дискретному спектру следует понимать в смысле правила Лопиталя.

Формулы (3.36) – (3.37) и (3.49) показывают, что все высшие уравнения МГ
\[
\frac{\partial \vec{S}}{\partial t}=\left\{-2 I_{l}, \vec{S}\right\}
\]

являются вполне интегрируемыми гамильтоновыми системами и их временная динамика задается следующими простыми формулами:
\[
\begin{array}{c}
b(\lambda, t)=e^{-i \lambda^{l+1} t} b(\lambda, 0), \quad \lambda_{j}(t)=\lambda_{j}(0), \\
\gamma_{j}(t)=e^{-i \lambda_{j}^{l+1} t} \gamma_{j}(0), \quad j=1, \ldots, n .
\end{array}
\]

В частности, при $l=1$ мы узнаем в них формулы (1.64)-(1.65) для уравнения $М \Gamma$.

Формальные гамильтонианы $M_{1}$ и $M_{2}$ (см. (1.96)) зависят не только от переменных типа действие. Порождаемые ими уравнения движения, как нетрудно убедиться из (3.36) и (1.104), имеют вид
\[
\frac{\partial \rho(\lambda)}{\partial t}=\left\{M_{ \pm}, \rho(\lambda)\right\}= \pm i \delta(\lambda) M_{ \pm},
\]

где $M_{ \pm}=M_{1} \pm i M_{2}$. Очевидно, это уравнение выводит из класса функций $\rho(\lambda)$, гладких вплоть до $\lambda=0$, и, таким образом, функционалы $M_{ \pm}$являются недопустимыми.

Рассмотрим теперь более подробно основные интегралы движения: импульс $P$, гамильтониан $H$ и проекцию полного спина $M_{3}$. Выражения для них получаются из формул (1.103) и $(3.33)-(3.35),(3.39)$. Имеем
\[
\begin{array}{c}
-M_{3}=\int_{-\infty}^{\infty} \rho(\lambda) d \lambda+\sum_{i=1}^{n} \rho_{j}, \\
P=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda_{0} \rho(\lambda) d \lambda-4 \sum_{j=1}^{n} \operatorname{arctg} \frac{\rho_{j}}{p_{i}}
\end{array}
\]

и
\[
H=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda^{2} \rho(\lambda) d \lambda+16 \sum_{j=1}^{n} \frac{\rho_{i}}{p_{j}^{2}+\rho_{j}^{2}} .
\]

Эти формулы представляют собой суммы по независимым модам. Первые слагаемые соответствуют волновому пакету мод непрерывного спектра с плотностью $\rho(\lambda)$. Мода с параметром $\lambda$ описывает частицу с импульсом и энергией
\[
p(\lambda)=\lambda, \quad h(\lambda)=\lambda^{2},
\]

связанными нерелятивистским законом дисперсии
\[
h(p)=p^{2} .
\]

Она имеет массу $1 / 2$ и единичную проекцию спина на третью ось.
Моды дискретного спектра отвечают солитонам модели МГ. Импульс отдельной моды имеет вид
\[
P=-4 \operatorname{arctg} \frac{\rho}{p}
\]

и меняется в зоне Брнллюэна
\[
|P| \leqslant 2 \pi \text {. }
\]

Ее энергии дается формулой
\[
h=\frac{16 \rho}{p^{2}+\rho^{2}}
\]

и связана с импульсом $P$ и проекцией спина $-M_{3}=\rho$ законом дисперсии
\[
h(P)=-\frac{16}{M_{3}} \sin ^{2} \frac{P}{4} .
\]

Отметим, что импульс дискретной моды определен по $\bmod 4 \pi$ в соответствии с обсуждением в § I.1.

Қак и в случае модели НШ, дискретные моды модели МГ при сгущении $\lambda_{j}$ к вещественной оси переходят в непрерывные моды. При этом закон дисперсии (3.51) переходит в (3.47) при естественной линеаризации.

В заключение этого пункта рассмотрим калибровочное преобразование от модели МГ к модели НШ с гамильтоновой точки зрения. Используя формулы связи (1.53), (1.57), имеем
\[
\begin{aligned}
\rho^{\mathrm{Mr}}(\lambda) & =\frac{2}{\lambda^{2}} \rho^{\mathrm{H}}(\lambda), \varphi^{\mathrm{Mr}}(\lambda)=\varphi^{\mathrm{H}}(\lambda)+\arg \omega_{0}, \\
p_{j}^{\mathrm{Mr}} & =\frac{2}{\left|\lambda_{j}\right|^{2}} p_{j}^{\mathrm{H}}, q_{j}^{\mathrm{Mr}}=q_{j}^{\mathrm{H}}, \\
\rho_{j}^{\mathrm{Mr}} & =\frac{2}{\left|\lambda_{j}\right|^{2}} \rho_{j}^{\mathrm{H}}, \varphi_{j}^{\mathrm{Mr}}=\varphi_{j}^{\mathrm{H}}+\arg \omega_{0}, \quad j=1, \ldots, n,
\end{aligned}
\]

где
\[
\arg \omega_{0}=-\arg a^{\mathrm{H}}(0)=-\frac{1}{2} P^{\mathrm{M} \Gamma} .
\]

Это сравнение показывает, что при калибровочном преобразовании $\vec{S}(x) \mapsto(\psi(x), \bar{\psi}(x))$ стандартная пуассонова структура модели МГ переходит во вторую пуассонову структуру модели НШ из иерархии, описанной в § III.5 части I:
\[
\{,\}^{\mathrm{M \Gamma}}=\frac{1}{2}\{,\}_{2}^{\mathrm{H} \amalg} .
\]

При этом, конечно, в гамильтониане также происходит сдвиг по иерархии, так что
\[
H^{\mathrm{Mr}}=2 N^{\mathrm{HII}},
\]

где $N^{\text {нш }}$ – заряд (число частиц) модели НШ. Последняя формула согласована с локальным результатом
\[
\left(\frac{d \vec{S}(x)}{d x}\right)^{2}=4|\psi(x)|^{2},
\]

доказанным в § I.4.
Таким образом, модель МГ можно рассматривать как модель НШI, реализованную при помощи отличных от стандартной пуассоновой структуры и гамильтониана.