Уравнения движения модели имеют вид
$$\frac{d^2{q}_n}{d{t}^2}=e^{q_{n+1}-q_n}-e^{q_n-q_{n-1}},n=1,\dots ,N,$$

где
$$q_{N+n}=q_n+c.$$

Она является гамильтоновой с фазовым пространством $\mathcal{M}={\mathbb{R}}^{2N}$ с координатами ( $p_1,\dots ,p_N,q_1,\dots ,q_N$ ), стандартной пуассоновой структурой
$$\{p_i,p_j\}=\{q_i,q_j\}=0,\{p_i,q_j\}={\delta }_{ij},i,j=1,\dots ,N,$$

и гамильтонианом
$$H=\sum _{n=1}^N(\frac{1}{2}{p}_n^2+e^{q_{n+1}-q_n})$$
(см. § I.2).

Мы покажем, что наша модель является вполне интегрируемой в смысле классической гамильтоновой механики с конечным числом степеней свободы. Согласно теореме ЛиувилляАрнольда для этого достаточно предъявить набор из $N$ инволютивных интегралов движения $I_n$ :
$$\{H,I_n\}=0,\{I_n,I_m\}=0,n,m=1,\dots ,N,$$

функционально независимых:
$$\mathrm{rank}(\frac{\partial I_m}{\partial p_n},\frac{\partial I_m}{\partial q_n})=N$$

на множестве полной меры в $\mathcal{M}$. Здесь в левой части стоит матрица $N\times 2N$, составленная из первых производных функций $I_m$.

Для доказательства рассмотрим вспомогательную линейную задачу для модели Тода
$$F_{n+1}=L_n(\lambda )F_n,$$

где
$$L_n(\lambda )=\left(\begin{array}{cc}{p}_n+\lambda & e^{q_n}\\ -e^{-q_n}& 0\end{array}\right)$$
(см. § I.2), и применим к ней $r$-матричный подход. Естественным аналогом фундаментальных скобок Пуассона из гл. II будет соотношение
$$\{L_n(\lambda )\otimes L_m(\mu )\}=[r(\lambda ,\mu ),L_n(\lambda )\otimes L_n(\mu )]{\delta }_{nm}.$$

Действительно, матрицу $L_n(\lambda )$ можно рассматривать как матрицу перехода (на один узел решетки), и скобки Пуассона для нее надо моделировать по аналогии с соответствующими формулами для матрицы $T(x,y,\lambda )$.
Для вычисления $r$-матрицы представим $L_n(\lambda )$ в виде
$$L_n(\lambda )=(p_n+\lambda )\sigma +\mathrm{sh}{q}_n{\sigma }_1+i\mathrm{ch}{q}_n{\sigma }_2,$$

где
$$\sigma =\frac{l+{\sigma }_3}{2}.$$

Из формул
получаем
$$\begin{array}{l}{L}_n(\lambda )\otimes ,L_m(\mu )\}=(i\mathrm{sh}{q}_n(\sigma \otimes {\sigma }_2-{\sigma }_2\otimes \sigma )+\\ +\mathrm{ch}{q}_n(\sigma \otimes {\sigma }_1-{\sigma }_1\otimes \sigma )){\delta }_{nm},\end{array}$$

так что левая часть (1.9) линейна по $\mathrm{sh}{q}_n$ и $\mathrm{ch}{q}_n$ и не зависит от $\lambda ,\mu$ и $p_n$. В произведении $L_n(\lambda )\otimes L_n(\mu )$ линейные по $\mathrm{sh}{q}_n$ и

$\mathrm{ch}{q}_n$ члены имеют вид
$$\mathrm{sh}{q}_n(\lambda \sigma \otimes {\sigma }_1+\mu {\sigma }_1\otimes \sigma )+i\mathrm{ch}{q}_n(\lambda \sigma \otimes {\sigma }_2+\mu {\sigma }_2\otimes \sigma ),$$

а оставшиеся слагаемые коммутируют с матрицей перестановки $P$. Поэтому будем искать $r$-матрицу в виде
$$r(\lambda ,\mu )=f(\lambda ,\mu )P,$$

где $f(\lambda ,\mu )$ — неизвестная функция. Имеем
$$\begin{array}{c}[P,\lambda \sigma \otimes {\sigma }_1+\mu {\sigma }_1\otimes \sigma ]=(\lambda -\mu )P(\sigma \otimes {\sigma }_1-{\sigma }_1\otimes \sigma )=\\ =i(\lambda -\mu )(\sigma \otimes {\sigma }_2-{\sigma }_2\otimes \sigma ),\\ \{P,\lambda \sigma \otimes {\sigma }_2+\mu {\sigma }_2\otimes \sigma ]=(\lambda -\mu )P(\sigma \otimes {\sigma }_2-{\sigma }_2\otimes \sigma )=\\ =i(\lambda -\mu )({\sigma }_1\otimes \sigma -\sigma \otimes {\sigma }_1),\end{array}$$

где мы использовали представление
$$P=\frac{1}{2}(I\otimes I+\sum _{a=1}^3{\dot{\sigma }}_a\otimes {\sigma }_a)$$

и формулы умножения для матриц Паули. Отсюда получаем, что соотношение (1.9) удовлетворяется при выборе функции $f(\lambda ,\mu )$ в виде
$$f(\lambda ,\mu )=\frac{1}{\lambda -\mu }.$$

В результате матрица $L_n(\lambda )$ удовлетворяет фундаментальным скобкам Пуассона на решетке (1.9) с г-матрицей
$$r(\lambda ,\mu )=r(\lambda -\mu )=\frac{P}{\lambda -\mu },$$

которая уже встречалась в случае модели НШ в части I.
Вводя матрицу монодромии
$$T_N(\lambda )=\prod _{n=1}^{\Uparrow }{L}_n(\lambda )$$

для соответствующих скобок Пуассона из (1.9) получаем выражение
$$\{T_N(\lambda )\otimes T_N(\mu )\}=[r(\lambda -\mu ),T_N(\lambda )\otimes T_N(\mu )].$$

Как уже отмечалось в § I.7, в случае периодических граничных условий след матрицы монодромии является производящей функцией интегралов движения. В квазипериодическом случае
$$L_{N+1}(\lambda )=Q(c)L_1(\lambda )Q^{-1}(c),$$

где
$$Q(c)=\exp \frac{c{\sigma }_3}{.2},$$

аналогичную роль играет функция
$$F_N(\lambda )=\mathrm{tr}{T}_N(\lambda )Q^{-1}(c)$$
(сравни с моделью НШ в случае квазипериодических граничных условий в § I. 2 части I), которая представляет собой полином от $\lambda$ степени $N$
$$F_N(\lambda )=e^{-c/2}{\lambda }^N+\sum _{n=1}^N{I}_n{\lambda }^{N-n},$$

где коэффициенты $I_n$, в свою очередь, являются полиномами от $p_j$ и $e^{\pm q_j}$. В частности, имеем
$$\begin{array}{c}{I}_1=e^{-c/2}\sum _{n=1}^N{p}_n,\\ I_2=e^{-c/2}(\sum _{1⩽k<n⩽N}{p}_k{p}_n-\sum _{n=1}^{N-1}{e}^{q_{n+1}-q_n}-e^{q_1+c-q_N})=\\ =e^{-c/2}(\sum _{1⩽k<n⩽N}{p}_k{p}_n-\sum _{n=1}^N{e}^{q_{n+1}-q_n}),\end{array}$$

так что
$$H=\frac{e^c}{2}{I}_1^2-e^{c/2}{I}_2.$$

В силу коммутативности матриц $r(\lambda )$ и $Q(c)\otimes Q(c)$ из (1.21) следует, что
$$\{F_N(\lambda ),F_N(\mu )\}=0,$$

поэтому функции $I_1,\dots ,I_N$ образуют инволютивное семейство интегралов движения, содержащее гамильтониан модели.

Для завершения доказательства полной интегрируемости модели Тода нам осталось проверить функциональную независимость интегралов $I_n$. Очевидно, что
$$I_n=e^{-\mathrm{c}/2}{S}_n(p_1,\dots ,p_N)+I_n^{\prime },$$

где $S_n(p_1,\dots ,p_N)$ — $n$-я элементарная симметрическая функция, а $I_n^{\prime }$ — полином от $p_1,\dots ,p_N$ степени не выше $n-1$. Поэтому соотношение (1.6) справедливо при больших $p_n$ и вследствие полиномиальности имеет место во всем фазовом пространстве $\mathcal{M}$, за исключением алгебраического подмногообразия (в координатах $p_n,e^{{\mathit{q}}_n}$ ) размерности, меньшей $N$.

Для явного описания канонических переменных типа дейст. вие — угол требуется привлечение методов алгебраической геометрии, которые мы в этой книге не рассматриваем.