Уравнения движения модели имеют вид
\[
\frac{d^{2} q_{n}}{d t^{2}}=e^{q_{n+1}-q_{n}}-e^{q_{n}-q_{n-1}}, \quad n=1, \ldots, N,
\]

где
\[
q_{N+n}=q_{n}+c .
\]

Она является гамильтоновой с фазовым пространством $\mathscr{M}=\mathbb{R}^{2 N}$ с координатами ( $p_{1}, \ldots, p_{N}, q_{1}, \ldots, q_{N}$ ), стандартной пуассоновой структурой
\[
\left\{p_{i}, p_{j}\right\}=\left\{q_{i}, q_{j}\right\}=0, \quad\left\{p_{i}, q_{j}\right\}=\delta_{i j}, \quad i, j=1, \ldots, N,
\]

и гамильтонианом
\[
H=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{2} p_{n}^{2}+e^{q_{n+1}-q_{n}}\right)
\]
(см. § I.2).

Мы покажем, что наша модель является вполне интегрируемой в смысле классической гамильтоновой механики с конечным числом степеней свободы. Согласно теореме ЛиувилляАрнольда для этого достаточно предъявить набор из $N$ инволютивных интегралов движения $I_{n}$ :
\[
\left\{H, I_{n}\right\}=0, \quad\left\{I_{n}, I_{m}\right\}=0, \quad n, m=1, \ldots, N,
\]

функционально независимых:
\[
\operatorname{rank}\left(\frac{\partial I_{m}}{\partial p_{n}}, \frac{\partial I_{m}}{\partial q_{n}}\right)=N
\]

на множестве полной меры в $\mathscr{M}$. Здесь в левой части стоит матрица $N \times 2 N$, составленная из первых производных функций $I_{m}$.

Для доказательства рассмотрим вспомогательную линейную задачу для модели Тода
\[
F_{n+1}=L_{n}(\lambda) F_{n},
\]

где
\[
L_{n}(\lambda)=\left(\begin{array}{cc}
p_{n}+\lambda & e^{q_{n}} \\
-e^{-q_{n}} & 0
\end{array}\right)
\]
(см. § I.2), и применим к ней $r$-матричный подход. Естественным аналогом фундаментальных скобок Пуассона из гл. II будет соотношение
\[
\left\{L_{n}(\lambda) \otimes L_{m}(\mu)\right\}=\left[r(\lambda, \mu), L_{n}(\lambda) \otimes L_{n}(\mu)\right] \delta_{n m} .
\]

Действительно, матрицу $L_{n}(\lambda)$ можно рассматривать как матрицу перехода (на один узел решетки), и скобки Пуассона для нее надо моделировать по аналогии с соответствующими формулами для матрицы $T(x, y, \lambda)$.
Для вычисления $r$-матрицы представим $L_{n}(\lambda)$ в виде
\[
L_{n}(\lambda)=\left(p_{n}+\lambda\right) \sigma+\operatorname{sh} q_{n} \sigma_{1}+i \operatorname{ch} q_{n} \sigma_{2},
\]

где
\[
\sigma=\frac{l+\sigma_{3}}{2} .
\]

Из формул
получаем
\[
\begin{array}{l}
\left.L_{n}(\lambda) \otimes, L_{m}(\mu)\right\}=\left(i \operatorname{sh} q_{n}\left(\sigma \otimes \sigma_{2}-\sigma_{2} \otimes \sigma\right)+\right. \\
\left.\quad+\operatorname{ch} q_{n}\left(\sigma \otimes \sigma_{1}-\sigma_{1} \otimes \sigma\right)\right) \delta_{n m},
\end{array}
\]

так что левая часть (1.9) линейна по $\operatorname{sh} q_{n}$ и $\operatorname{ch} q_{n}$ и не зависит от $\lambda, \mu$ и $p_{n}$. В произведении $L_{n}(\lambda) \otimes L_{n}(\mu)$ линейные по $\operatorname{sh} q_{n}$ и

$\operatorname{ch} q_{n}$ члены имеют вид
\[
\operatorname{sh} q_{n}\left(\lambda \sigma \otimes \sigma_{1}+\mu \sigma_{1} \otimes \sigma\right)+i \operatorname{ch} q_{n}\left(\lambda \sigma \otimes \sigma_{2}+\mu \sigma_{2} \otimes \sigma\right),
\]

а оставшиеся слагаемые коммутируют с матрицей перестановки $P$. Поэтому будем искать $r$-матрицу в виде
\[
r(\lambda, \mu)=f(\lambda, \mu) P,
\]

где $f(\lambda, \mu)$ – неизвестная функция. Имеем
\[
\begin{array}{c}
{\left[P, \lambda \sigma \otimes \sigma_{1}+\mu \sigma_{1} \otimes \sigma\right]=(\lambda-\mu) P\left(\sigma \otimes \sigma_{1}-\sigma_{1} \otimes \sigma\right)=} \\
=i(\lambda-\mu)\left(\sigma \otimes \sigma_{2}-\sigma_{2} \otimes \sigma\right), \\
\left\{P, \lambda \sigma \otimes \sigma_{2}+\mu \sigma_{2} \otimes \sigma\right]=(\lambda-\mu) P\left(\sigma \otimes \sigma_{2}-\sigma_{2} \otimes \sigma\right)= \\
=i(\lambda-\mu)\left(\sigma_{1} \otimes \sigma-\sigma \otimes \sigma_{1}\right),
\end{array}
\]

где мы использовали представление
\[
P=\frac{1}{2}\left(I \otimes I+\sum_{a=1}^{3} \dot{\sigma}_{a} \otimes \sigma_{a}\right)
\]

и формулы умножения для матриц Паули. Отсюда получаем, что соотношение (1.9) удовлетворяется при выборе функции $f(\lambda, \mu)$ в виде
\[
f(\lambda, \mu)=\frac{1}{\lambda-\mu} .
\]

В результате матрица $L_{n}(\lambda)$ удовлетворяет фундаментальным скобкам Пуассона на решетке (1.9) с г-матрицей
\[
r(\lambda, \mu)=r(\lambda-\mu)=\frac{P}{\lambda-\mu},
\]

которая уже встречалась в случае модели НШ в части I.
Вводя матрицу монодромии
\[
T_{N}(\lambda)=\prod_{n=1}^{\Uparrow} L_{n}(\lambda)
\]

для соответствующих скобок Пуассона из (1.9) получаем выражение
\[
\left\{T_{N}(\lambda) \otimes T_{N}(\mu)\right\}=\left[r(\lambda-\mu), T_{N}(\lambda) \otimes T_{N}(\mu)\right] .
\]

Как уже отмечалось в § I.7, в случае периодических граничных условий след матрицы монодромии является производящей функцией интегралов движения. В квазипериодическом случае
\[
L_{N+1}(\lambda)=Q(c) L_{1}(\lambda) Q^{-1}(c),
\]

где
\[
Q(c)=\exp \frac{c \sigma_{3}}{.2},
\]

аналогичную роль играет функция
\[
F_{N}(\lambda)=\operatorname{tr} T_{N}(\lambda) Q^{-1}(c)
\]
(сравни с моделью НШ в случае квазипериодических граничных условий в § I. 2 части I), которая представляет собой полином от $\lambda$ степени $N$
\[
F_{N}(\lambda)=e^{-c / 2} \lambda^{N}+\sum_{n=1}^{N} I_{n} \lambda^{N-n},
\]

где коэффициенты $I_{n}$, в свою очередь, являются полиномами от $p_{j}$ и $e^{ \pm q_{j}}$. В частности, имеем
\[
\begin{array}{c}
I_{1}=e^{-c / 2} \sum_{n=1}^{N} p_{n}, \\
I_{2}=e^{-c / 2}\left(\sum_{1 \leqslant k<n \leqslant N} p_{k} p_{n}-\sum_{n=1}^{N-1} e^{q_{n+1}-q_{n}}-e^{q_{1}+c-q_{N}}\right)= \\
=e^{-c / 2}\left(\sum_{1 \leqslant k<n \leqslant N} p_{k} p_{n}-\sum_{n=1}^{N} e^{q_{n+1}-q_{n}}\right),
\end{array}
\]

так что
\[
H=\frac{e^{c}}{2} I_{1}^{2}-e^{c / 2} I_{2} .
\]

В силу коммутативности матриц $r(\lambda)$ и $Q(c) \otimes Q(c)$ из (1.21) следует, что
\[
\left\{F_{N}(\lambda), F_{N}(\mu)\right\}=0,
\]

поэтому функции $I_{1}, \ldots, I_{N}$ образуют инволютивное семейство интегралов движения, содержащее гамильтониан модели.

Для завершения доказательства полной интегрируемости модели Тода нам осталось проверить функциональную независимость интегралов $I_{n}$. Очевидно, что
\[
I_{n}=e^{-\mathrm{c} / 2} S_{n}\left(p_{1}, \ldots, p_{N}\right)+I_{n}^{\prime},
\]

где $S_{n}\left(p_{1}, \ldots, p_{N}\right)$ – $n$-я элементарная симметрическая функция, а $I_{n}^{\prime}$ – полином от $p_{1}, \ldots, p_{N}$ степени не выше $n-1$. Поэтому соотношение (1.6) справедливо при больших $p_{n}$ и вследствие полиномиальности имеет место во всем фазовом пространстве $\mathscr{M}$, за исключением алгебраического подмногообразия (в координатах $p_{n}, e^{\boldsymbol{q}_{n}}$ ) размерности, меньшей $N$.

Для явного описания канонических переменных типа дейст. вие – угол требуется привлечение методов алгебраической геометрии, которые мы в этой книге не рассматриваем.