1) Регулярная задача Римана об аналитической фактөризации подробно изучена в математической литературе; см. монографии Н. И. Мусхелишвили [2.22] и Н. П. Векуа [2.1]. Основной аппарат состоит в сведении ее к сингулярным интегральным уравнениям. Последние исследуются в различных функцнональных классах, главным образом в гёльдеровских. Для наших целей более удобно работать с нормированными кольцами $\Re^{n \times n}$ и $\Re^{(n \times n)}$, в которых задача Римана естественно сводится к интегральному уравнению Винера-Хопфа. Такой подход был разработан в работе И. Ц. Гохберга и М. Г. Крейна [2.5]; там же содержится используемая нами теорема о разрешимости задачи Римана. Переход от матрицы рассеяния $S(i)$ к матрице $G(\lambda)=a(\lambda) S(\lambda)$, осуществленный в $\$ 1$, является важным шагом для применимости этой теоремы.
2) В теории солитонов метод задачи Римана был предложен в работе [2.10], в которой также была дана удобная формулировка для задачи с нулями. После этой работы метод задачи Римана приобрел большую популярность и стал активно использоваться (см., например, [2.49]). В работах [2.8], [2.32-2.33] задача Римана впервые была положена в основу решения обратной задачи для линейного матричного дифференцнального оператора первого порядка.
3) Матрица $B(\lambda)$, обобщающая скалярный множитель Бляшке, была, в общей ситуации, введена в работе [2.24]. Для сведения задачи Римана с нулями к регулярному случаю мы в $\$ 2$, как и в работе [2.10], умножаем матрицу $B(\lambda)$ на матрицу $G_{+}(\lambda)$ справа. При этом факторизуемая матрица $G(\lambda)$ не меняется. В других работах (например, в монографии [2.1I] и в [2.49]) принято умножгть $B(\lambda)$ на $G_{+}(\lambda)$ слева. При этом факторизуемая матрица преобразуется подобным образом.
4) Простой вывод дифференциального уравнения по $x$ в 2 и дифференциального уравнения по $t$ в $\$ 3$ является основным идейным достижением метода задачи Римана и основан практически только на теореме Лиувилля. Идея получения условия нулевой кривизны из задачи Римана с заданной явной зависимостью матрицы $G(x, t, \lambda)$ от параметров $x$ и $t$ была сформулнрована B. Е. Захаровым и А. Б. Шабатом и подробно нзложена в работе [2.10]. Сходные идеи содержались также в работе [2.17], где, по существу, рассматривалась специальная задача Римана на алгебраической кривой. После этого стало ясно, что вид матриц $U(x, t, \lambda)$ и $V(x, t, \lambda)$ из условия нулевой кривизны определяется только главнымн частями в существенно особых точках факторизующих матриц $F_{ \pm}(x, t, \lambda)$ (сравни с $\S 2-3$ ). При этом опять существенно используется теорема Лиувилля (см. [2.13], [2.43-2.45]).
5) При условии, что функция $\beta(s)$ принадлежит пространству $L_{2}(-\infty, \infty)$, операторы $\mathbf{K}_{x}$ и $\mathbf{L}_{x}$, введенные в $\$ 2$, определены и ограничены в пространстве $L_{2}(0, \infty)$. При этом в силу (2.64) для функции $f(s)$ из $L_{2}(0, \infty)$ имеем
\[
\left\langle\mathrm{K}_{x} f, f\right\rangle=\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} k_{x}\left(s, s^{\prime}\right) f\left(s^{\prime}\right) \overline{f(s)} d s d s^{\prime}=\int_{-x}^{\infty}\left|\int_{0}^{\infty} \beta(u-s) f(s) d s\right|^{2} d u \geqslant 0,
\]

так что оператор $\mathbf{K}_{x}$ (а также и $\mathbf{L}_{x}$ ) является положительным оператором, монотонно зависяцим от $x$. Более того, операторы $\mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{K}_{ \pm}$и $\mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{L}_{ \pm}$ограниченно обратимы как при $\varepsilon=1$ (по очевидной причине), так и при $\varepsilon=-1$ (в силу

условия (A)). Так просто доказывается равномерная по $x$ обратимость операторов $I+\varepsilon \mathbf{K}_{x}$ и $\mathbf{I}+\varepsilon \mathbf{L}_{x}$ в пространстве $L_{2}(0, \infty)$.

Однако при нашем общем условии на функцию $\beta(s)$ эти операторы определены лишь в пространстве $L_{1}(0, \infty)$; поэтому нам приходится обращаться к теории Гохберга – Крейна и более подробно проводить исследование в п. $3 \S 2$.
6) При доказательстве асимптотик матриц $G_{ \pm}(x, \lambda)$ при $|x| \rightarrow \infty$ мы существенно использовали явную зависимость матрицы $G(x, \lambda)$ от параметра $x$ (см. (2.13)), которая приводила к явному виду (2.64)-(2.65) ядер $k_{x}\left(s, s^{\prime}\right)$ и $l_{x}\left(s, s^{\prime}\right)$. С другой стороны, для уравнения НШ матрица $G(x, t, \lambda)$ явным образом зависит и от переменной $t$ (см. формулу (3.9)). Поэтому естественно возникает вопрос: нельзя ли таким образом исследовать поведение матриц $G_{ \pm}(x, t, \lambda)$ при $t \rightarrow \pm \infty$ и вывести асимптотики решения уравнения НШ $\psi(x, t)$ при $t \rightarrow \pm \infty$ ? Впервые такие асимптотические формулы были получены в работе [2.9] и строго доказаны в работе [2.23].

Эта задача сложнее, чем разобранная в п. $3 \S 2$, и была решена в работе [2.12]. В этой работе было показано, что на прямых $x$-vt=const прі $t \rightarrow \pm \infty$ задача Римана упрощается и сводится к задаче, где факторизуемая матрица не зависит от $\lambda$. Такая задача уже решается явно в терминах специальных функций. При этом возникают интересные связи с так называемыми изомондромными решениями, автомодельными решениями и уравнениями типа Пенлеве. Эта обширная тематика не разбирается в нашей книге, и мы можем лишь отослать читателя к оригинальной литературе [2.35-2.37], [2.41], [2.43–2.45], [2.51-2.52]. Роль изомонодромных решений задачи Римана в теорни солитонов обсуждается в работе [2.14].
7) Формализм интегральных уравнений Гельфанда – Левитана – Марченко был развит в работах И. М. Гельфанда и Б. М. Левитана [2.3] и В. А. Марченко [2.19], в которых было дано полное решение обратной задачи для раднального уравнения Шредингера (оператора Шредингера на полуоси). Простое изложение этих методов и их связь с подходом М. Г. Крейна [2.152.16] дано в обзоре [2.28]. Уравнение Шредингера на всей оси (одномерный оператор Шредингера) было рассмотрено в работах И. Кэя и Г. Мозеса [2.46-2.48]. Полное математическое исследование задачи для потенциалоз $u(x)$, удовлетворяющих условию
\[
\int_{-\infty}^{\infty}(1+|x|)|u(x)| d x<\infty,
\]

было дано в работах $[2.27,2.29]$. Там впервые было показано, что следует использовать оба уравнения Гельфанда – Левитана – Марченко, и установлена связь их решений.

Для модели НШ в быстроубывающем случае решение обратной задачи на основе этого метода было дано в работе [2.6] для $\varepsilon=-1$ и в работе [2.25] для $\varepsilon=1$. Отметим также, что обратная задача для радиального оператора Дирака с ненулевой массой была решена в работе [2.2].
8) Солитонные решения для модели НШ в быстроубывающем случае впервые были описаны и исследованы в работе [2.6].
9) В § 6 мы уже отмечали технические трудности исследования задачи Римана для случая конечной плогности, связанные с наличием края у непрерывного спектра.

В идейном плане похожие осложнения возникают и при исследовании задачи Римана для одномерного оператора Шредингера. Роль поверхности $\Gamma$ здесь играет риманова поверхность функции $k=\sqrt{\bar{\lambda}}$; в точке ветвления $\lambda=0$ при этом может возникнуть виртуальный уровень. В этой связи представляет интерес общая задача о построении аналога теории Гохберга- Қрейна для задачи Римана на произвольной римановой поверхности.
10) Уравнения Гельфанда – Левитана – Марченко для случая конечной плотности, полученные в $\S 7$, были выведены в работе [2.7] (см. также ра-

боты [2.4], [2.31], [2.39]). Здесь мы гсследуем эти уравнения по схеме, впервые проведенной для одномерного оператора Шредингера в работах $[2.27,2.29]$ (см. также обзор [2.30]). Доказательство однозначной разрешимости интегральных уравнений (7.37) и (7.44), основанное на положительности соответствующих операторов, аналогично подходу из комментария 5).

Исследование уравнений Гельфанда – Левитана – Марченко в быстроубывающем случае может быть проведено по изложенной в § 7 схеме, которая в этом случае технически упрощается.
11) Мы предполагали в § 7, для простоты изложения, что граничные значения в случае конечной плотности принииаются в смысле Щварца, В § I.11 отмечалось, в какой степени эти требования можно ослабить. При этом условия на коэффициенты $a_{\rho}(\hat{\lambda})$ и $b_{\rho}(\lambda)$ в тсчках $\lambda= \pm \omega$ следует записывать в виде
\[
k b_{\varphi}(\lambda)=b_{ \pm}+o(1), \quad k a_{p}(\lambda)=a_{ \pm}+o(1)
\]

при $k \rightarrow 0$. Тогда изложенный формализм решения обратной задачи проходит и для этого случая.

Для одномерного олератора Шредингера в прямой и обратной задачах рассеяния естественным является условие (9.2) на потенциал $u(x)$. Именно это условие и было использовано в работах [2.27, 2.29]. Однако поведение коэффициентов перехода на краю непрерывного спектра там было записано неаккуратно. Это послужило поводом для критики в работе [2.40], после которой сложилось впечатление, что на функцию $u(x)$ следует накладывать более сильное условие
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\left(1+x^{2}\right)|u(x)| d x<\infty .
\]

Однако, как было показано в монографии [2.20] и в работе [2.18], после необходимого уточнения поведения коэффициентов перехода при $k=0$ схема из работ $[2.27,2.29]$ для потенциалов, удовлетворяющих только условию (9.2), остается в силе.
12) Солитонные решения для случая конечной плотности были изучены в работе [2.7]. Отметим предложенный там метод исследования взаимодействия солитонов. Он основан на предположении, что при $t \rightarrow \pm \infty$ многосолитонное решение $\psi(x, t)$ представляется в виде суммы пространственно разделенных солитонов. Для таких функций $\psi(x, t), \bar{\psi}(x, t)$ вспомогательная линейная задача решается явно и коэффнциенты перехода дискретного спектра, а вместе с ними и параметры $x_{0 j}^{( \pm)}$, явно вычисляются.

Применительно к быстроубывающему случаю такой способ вычисления изложен в монографии [2.11].

Способ, избранный нами в $\S 8$, основан на непосредственном исследовании явных формул (8.33)-(8.36) для многосолитонного решения. Выражение для определителя матрицы вида (8.49), играющее важную роль при вычисленин, можно найти в задачнике [2.26].
13) В тексте книги мы педантично употребляли обозначения $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ (а также $b(\lambda), \bar{b}(\lambda)$ ), хотя эти пары функций и являются комплексно-сопряженными. Мы делаем это по аналогии с комплексными координатами $z=x+i y$ и $\bar{z}=x-i y$ вещественного пространства $\mathbb{R}^{2}$, что особенно удобно в гамильтоновом формализме. Однако эта запись позволяет также легко перейти к более общему случаю, когда функции $\boldsymbol{\Psi}(x)$ и $\overline{\boldsymbol{\psi}}(x)$ полностью независимы, так что черта уже не означает комплексное сопряжение. Вместо уравнения НШ при этом следует рассматривать систему уравнений
\[
\begin{aligned}
i \frac{\partial \psi}{\partial t} & =-\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}+2 \varkappa \psi^{2} \bar{\psi}, \\
i \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial t} & =\frac{\partial^{2} \bar{\psi}}{\partial x^{2}}-2 \varkappa \bar{\psi}^{2} \psi .
\end{aligned}
\]

Все результаты гл. I, включая представление нулевой кривизны и исследование отображения $\mathscr{F}$, в принципе остаются в силе и для такой системы. При этом, разумеется, различные инволюции для решений Иоста уже не имеют места, так что, например, приведенная матрица монодромии $T(\lambda)$ для быстроубывающего случая имеет вид
\[
T(\lambda)=\left(\begin{array}{ll}
a(\hat{\lambda}) & \varepsilon \bar{b}(\lambda) \\
b\left(\lambda_{)}\right. & \bar{a}\left(\lambda_{.}\right)
\end{array}\right) .
\]

Здесь функции $\bar{a}(\lambda)$ и $\bar{b}(\lambda)$ уже не являются комплексно-сопряженными к $a(\lambda)$ и $b(\lambda)$ соответственно. То же верно и для дискретного спектра $\lambda_{j}, \overline{\lambda_{j}}$ и его коэффнциентов перехода $\gamma_{i}, \bar{\gamma}_{j}$. В случае конечной плотности соответствую. щие граничные условия теперь имеют вид
\[
\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \psi(x)=\rho_{1}^{( \pm)}, \lim _{x \rightarrow \pm \infty} \bar{\psi}(x)=\rho_{2}^{( \pm)},
\]

где уже, вообще говоря, $\left|\rho_{1}^{ \pm}\right|
eq\left|\rho_{2}^{ \pm}\right|$и лишь требуется, чтобы $\rho_{1}^{(-)} \rho_{2}^{(-)}=\rho_{1}^{(+)} \times$ $\times \rho_{2}^{(+)}$.

Что же касается пуассоновых структур, введенных в § I.1, то формулы (1.1.18) и связанные с ними следует понимать в формально-комплексном смысле. Так, например, гамильтониан $H$ (см. (1.1.24)) принимает вид
\[
H=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial x}+x \bar{\psi}^{2} \dot{\psi}^{2}\right) d x
\]

и является уже комплекснозначным функционалом.
Все результаты гл. II также допускают обобщение, за исключением одного важного обстоятельства. Матрица
\[
G\left(x, \lambda_{0}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & \varepsilon \bar{b}(\lambda) e^{-i \lambda . x} \\
-b(\lambda) e^{i \lambda x} & 1
\end{array}\right)
\]

из задачи Римана (2.1) уже не подпадает под действие использованной нами теоремы Гохберга – Крейна, поскольку теперь $b(\lambda)$ и $\bar{b}(\lambda)$ полностью независимы. Поэтому для разрешимости задачи Римана приходится требовать, чтобы частные индексы матрицы $G(x, \lambda)$ исчезали при всех $x$. Таким образом, возникают сильные дополнительные ограничения на данные обратной задачи, сформулированные весьма неявно. Более того, класс таких данных уже не является, очевидным образом, инвариантным при динамике по $t$.

Аналогичным образом в формализме Гельфанда – Левитана – Марченко в качестве условий на исходные данные приходится включать требование разрешимости соответствующих интегральных уравнений.

Общий случай для быстроубывающих граничных условий был подробно рассмотрен в работе [2.34]. С общим случаем граничных условий типа конечной плотности (9.7) можно ознакомиться по работам [2.4] и [2.38, 2.39].

Учитывая, что в физических приложениях в первую очередь возникает обычное уравнение НШ, мы ограничились в книге рассмотрением только этой модели, которая допускает инволюцию комплексного сопряжения.
14) Помимо задачи Римана и уравнений Гельфанда – Левитана – Марченко, существуют и другие схемы построения решений для широкого класса нелинейных уравнений. Мы имеем в виду, например, схемы, изложенные в работах [2.21], [2.42], [2.50]. Однако нам представляется, что они не так естественны с математической точки зрения. Вопрос о выделении решений, принадлежащих заданным функциональным классам, в рамках этих схем исследован менее подробно, чем в методе задачи Римана или в формализме Гельфанда – Левитана – Марченко.