Солитонные решения модели Тода отвечают случаю
\[
b(z)=0
\]

при всех $z$ на окружности $|z|=1$. При этом условия на данные $\left\{c, z_{j}, m_{j}, \widetilde{m}_{j}, j=1, \ldots, N\right\}$ упрощаются и состоят в следующем.
1. Числа $z_{j}
eq 0$ лежат в интервале $-1<z_{j}<1$ и среди них нет совпадающих.
II. Справедливо условие (с):
\[
e^{-c}=\prod_{j=1}^{N} z_{j}^{n}
\]
III. Величины $m_{j}, \widetilde{m}_{j}$ положительны и связаны соотношением
\[
m_{j} \widetilde{m}_{j}=\frac{1}{\dot{a}^{2}\left(z_{j}\right)}, \quad j=1, \ldots, N,
\]

где
\[
a(z)=\prod_{j=1}^{N} \operatorname{sign} z_{i} \frac{z-z_{j}}{z z_{j}-1} .
\]

Для таких данных уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко (3.14) и (3.16) сводятся к линейным алгебрачческим уравнениям и решаются явно.

Рассмотрим сначала случай $N=1$. Ядро $K(n)$ уравнения (3.14) имеет вид
\[
K(n)=m_{1} z_{1}^{n}
\]

и является одномерным. Полагая
\[
X(n, m)=X(n) m_{1} z_{1}^{m},
\]

из (3.14) получаем
\[
X(n)+z_{1}^{n}+X(n) m_{1} \sum_{l=n+1}^{\infty} z_{1}^{2 l}=0,
\]

так что
\[
X(n)=-\frac{z_{1}^{n}}{1+\left|\gamma_{1}\right| z_{1}^{2 n+2}},
\]

где мы учли, что
\[
m_{1}=-\operatorname{sign} z_{1} \gamma_{1}\left(1-z_{1}^{2}\right)=\left|\gamma_{1}\right|\left(1-z_{1}^{2}\right) .
\]

Подставляя (3.44) и (3.46) в (3.15), приходим к выражению
\[
\frac{1}{(1+\Gamma(n, n))^{2}}=1+m_{1} z_{1}^{2 n}-\frac{m_{1}^{2} z_{1}^{2 n}}{1+\left|\gamma_{1}\right| z_{1}^{2 n+2}} \sum_{l=n+1}^{\infty} z_{1}^{2 l}=\frac{1+\left|\gamma_{1}\right| z_{1}^{2 n}}{1+\left|\gamma_{1}\right| z_{1}^{2 n+2}} \text {. }
\]

Теперь из формулы (3.8) получаем
\[
e^{q_{n}}=e^{c} \frac{1+\left|\gamma_{1}\right| z_{1}^{2 n+2}}{1+\left|\gamma_{1}\right| z_{1}^{: n}} .
\]
(Напомним, что в этом случае $e^{-c}=z_{1}^{2}$.)
Зависимость от времени $t$ вводится при помощи замены $\gamma_{1}$ на $\gamma_{1}(t)$ :

Полагая
\[
\gamma_{1}(t)=e^{-\left(z_{1}-\frac{1}{z_{1}}\right) t} \gamma_{1}
\]
\[
z_{1}=\varepsilon e^{-\alpha_{1}}, \quad \alpha_{1}>0, \quad \varepsilon= \pm 1,
\]

для решений $q_{n}(t)$ и $p_{n}(t)$ уравнений движения модели Тода получаем окончательные выражения
\[
q_{n}(t)=c+\ln \frac{1+\exp \left\{-2 \alpha_{1}\left(n+1-v_{1} t+n_{01}\right)\right\}}{1+\exp \left\{-2 \alpha_{1}\left(n-v_{1} t+n_{01}\right)\right\}}
\]

и
\[
p_{n}(t)=\frac{d q_{n}}{d t}(t)
\]

где
\[
v_{1}=\varepsilon_{1} \frac{\operatorname{sh} \alpha_{1}}{\alpha_{1}}, \quad n_{01}=-\frac{1}{2 \alpha_{1}} \ln \left|\gamma_{1}\right| .
\]

Решение (3.52) представляет собой волну, распространяющуюся вдоль решетки со скоростью $v_{1},\left|v_{1}\right|>1$, и положением $n_{01}$ центра инерции при $t=0$. Согласно общему определению из части 1, ее следует называть солитоном модели Тода. Солитон характеризуется двумя вещественными параметрами $v_{1}$ и $n_{01}$.

Рассмотрим теперь общий случай, когда число $N$ произвольно. Ядро $K(n+m)$ по-прежнему является вырожденным:
\[
K(n+m)=\sum_{j=1}^{N} \sqrt{m_{j}} z_{j}^{n} \sqrt{m_{j}} z_{j}^{m},
\]

где $\sqrt{m_{j}}>0$; решение уравнения (3.14) ищем в виде
\[
X(n, m)=\sum_{j=1}^{N} X_{i}(n) \sqrt{m_{j}} z_{j}^{m} .
\]

Подставляя (3.56) в (3.14), приходим к системе уравнений
\[
M(n) X(n)=-Y(n),
\]

где $X(n)$ – вектор-столбец с компонентами $X_{j}(n), Y(n)$ – с компонентами $\sqrt{m_{j}} z_{j}^{n}, \quad j=1, \ldots, N$, а $M(n)$ – матрица $N \times N$

с матричными элементами
\[
M(n)_{i j}=\delta_{i j}+\frac{\sqrt{m_{i} m_{j}}\left(z_{i} z_{j}\right)^{n+1}}{1-z_{i} z_{j}}, \quad i, j=1, \ldots, N .
\]

Из (3.56) – (3.57) получаем, что
\[
X(n, m)=-Y^{\tau}(n) M^{-1}(n) Y(m) .
\]

Подставляя это выражение в (3.15), имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{(1+\Gamma(n, n))^{2}}= 1+Y^{\tau}(n) Y(n)+Y^{\tau}(n)(M(n)-I) X(n)= \\
=1-Y^{\tau}(n) X(n)=1+Y^{\tau}(n) M^{-1}(n) Y(n) .
\end{array}
\]

Последнюю формулу можно упростить. Заметим, что из следует
\[
M(n-1)-M(n)=Y(n) Y^{\tau}(n),
\]

или
\[
M(n-1) M^{-1}(n)=I+Y(n) Y^{\tau}(n) M^{-1}(n) .
\]

Матрица $B(n)=Y(n) Y^{\tau}(n) M^{-1}(n)$ одномерна и
\[
B^{2}(n)=\alpha(n) B(n), \quad \alpha(n)=Y^{\tau}(n) M^{-1}(n) Y(n) .
\]

Сравнивая формулы (3.60) и (3.62)-(3.63), получаем, что
\[
(1+\Gamma(n, n))^{2}=\frac{\operatorname{det} M(n)}{\operatorname{det} M(n-1)} \text {. }
\]

Вводя зависимость от $t$ посредством формул
\[
\gamma_{j}(t)=e^{-\left(z_{j}-\frac{1}{z_{j}}\right) t} \gamma_{i}, \quad j=1, \ldots, N,
\]

из (3.64) получаем выражение для $N$-солитонного решения модели Тода
\[
q_{n}(t)=c+\ln \frac{\operatorname{det} M(n, t)}{\operatorname{det} M(n-1, t)} .
\]

Выражение для $p_{n}(t)$, как всегда, дается формулой (3.53).
Қак и в рассмотренных ранее примерах, $N$-солитонное решение описывает процесс рассеяния $N$ солитонов. Именно, при больших $|t|$ решение $q_{n}(t)$ представляется в виде следуюшей суммы односолитонных решений:
\[
q_{n}(t)=\sum_{i=1}^{N} q_{n}^{+i}(t)+O\left(e^{-a t}\right)
\]
$n p u t \rightarrow+\infty u$
\[
q_{n}(t)=\sum_{i=1}^{N} q_{n}^{\prime-i \prime}(t)+O\left(e^{a t}\right)
\]

при $t \rightarrow-\infty$. Здесь $a=\min \alpha_{j} \min _{i
eq j}\left|v_{i}-v_{j}\right|, a q_{n}^{( \pm j)}(t)-$ солитоны $c$ параметрами $c_{j}, v_{j}, n_{0 j}^{\prime \text { (4) }}$ :
\[
q_{n}^{( \pm f)}(t)=q_{c_{j}}\left(n-v_{j} t+n_{\mathrm{v} j}^{( \pm)}\right),
\]

где
\[
c_{i}=-\ln z_{j}^{2}, v_{j}=2 \operatorname{sign} z_{j} \frac{\operatorname{sh} \frac{c_{i}}{2}}{c_{j}}
\]
$u$
\[
\begin{array}{l}
n_{j j}^{(+)}=n_{j j}+\frac{1}{c_{j}}\left(\sum_{v_{k}<v_{j}} \ln \left|\frac{1-z_{j} z_{k}}{z_{j}-z_{k}}\right|-\sum_{v_{k}>v_{j}} \ln \left|\frac{1-z_{j} z_{k}}{z_{j}-z_{k}}\right|\right), \\
n_{j}^{(-)}=n_{j}-\frac{1}{c_{j}}\left(\sum_{v_{k}<v_{j}} \ln \left|\frac{1-z_{j} z_{k}}{z_{j}-z_{k}}\right|-\right. \\
\left.-\sum_{v_{k}>v_{j}} \ln \left|\frac{1-z_{j} z_{k}}{z_{j}-z_{k}}\right|\right), \quad n_{j j}=\frac{1}{c_{j}} \ln \left|\gamma_{j}\right|, \quad j=1, \ldots, N .
\end{array}
\]

Доказательство этих формул основано на вычислениях, по существу аналогичных приведенным в § II. 8 части I.

Как и для модели НШ в случае конечной плотности, $N$-солитонное решение $q_{n}(t)$ с параметром $c$ распадается на солитоны $q_{n}^{( \pm j)}(t)$ с различными параметрами $c_{j}$. Таким образом, взаимодействуют лишь солитоны с разными значениями $c_{j}$. На соотношение
\[
c=\sum_{j=1}^{N} c_{j}
\]

можно смотреть как на закон сохранения. Интерпретация формул (3.67) – (3.72) в терминах теории рассеяния аналогична приведенной для рассмотренных ранее примеров.

Изложение динамики солитонов и результатов по обратной задаче для модели Тода на этом заканчивается.