Из приведенных в предыдущем пункте формул следует, что набор переменных
\[
\rho(\lambda)=-\frac{1}{2 \pi \gamma \lambda} \ln \left(1-|b(\lambda)|^{2}\right), \quad \varphi(\lambda)=-\arg b(\lambda),
\]
$2 \partial e \lambda \geqslant 0 u$
\[
\begin{array}{c}
p_{i}=-\frac{1}{\gamma} \ln x_{j}, \quad q_{j}=\ln \left|\gamma_{j}\right|, \quad j=1, \ldots, n_{1} ; \\
\xi_{k}=-\frac{2}{\gamma} \ln \left|\lambda_{k}\right|, \quad \eta_{k}=\ln \left|\gamma_{k}\right|, \\
\rho_{k}=\frac{2}{\gamma} \arg \lambda_{k}, \quad \varphi_{k}=\arg \gamma_{k}, \quad k=n_{1}+1, \ldots, n_{1}+n_{2},
\end{array}
\]

является каноническим. Неисчезающие скобки Пуассона этих переменных имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\{\rho(\lambda), \varphi(\mu)\}=\delta(\lambda-\mu), \quad \lambda, \mu \geqslant 0, \\
\quad\left\{p_{i}, q_{j}\right\}=\delta_{i j}, \quad\left\{\xi_{k}, \eta_{l}\right\}=\left\{\rho_{k}, \varphi_{l}\right\}=\delta_{k l},
\end{array}
\]

где $i, j=1, \ldots, n_{1} ; k, l=n_{1}+1, \ldots, n_{1}+n_{2}$.
Области изменения переменных $\rho(\lambda)$ и $\rho_{k}$ имеют вид $0 \leqslant \rho(\lambda)<\infty$ и $0 \leqslant \rho_{k}<\pi / \gamma$ соответственно; они играют роль переменных типа действие, сопряженных к угловым переменным $\varphi(\lambda)$ и $\varphi_{k}, 0 \leqslant \varphi(\lambda), \varphi_{k}<2 \pi$. Отметим, что переменная $\rho(\lambda)$ несингулярна в силу условия (А) и свойства $b(0)=0$. Переменные $p_{j}, q_{j}$ и $\xi_{k}, \eta_{k}$ меняются на всей вещественной оси.

Подчеркнем, что, в отличие от рассмотренных ранее примеров, переменные (6.35) – (6.38) не полностью параметризуют $n$-солитонное подмногообразие фазового пространства модели. Для его описания следует дополнительно задать величины $\varepsilon_{j}=$ $= \pm 1, j=1, \ldots, n_{1}$, – топологические заряды солитонов. Таким образом, подмногообразие фазового пространства, содержащее $n_{1}$ солитонов и $n_{2}$ двойных солитонов, состоит из $2^{n_{1}}$ компонент связности.

Итак, отображение $\mathscr{F}$, рассмотренное в § $4-5$, является каноническим преобразованием. Оно линеаризует динамику модели SG. Действительно, локальные интегралы движения $I_{2 t+1}$ зависят только от переменных типа действие:
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{sign}(2 l+1) I_{2 l+1}=-2 \gamma \int_{0}^{\infty} \rho(\lambda) \lambda^{: l-1} d \lambda+\frac{(-1)^{l-1} 2}{2 l+1} \sum_{i=1}^{n_{1}} e^{-(2 l+1) \gamma p_{i}}- \\
-\frac{4}{2 l+1} \sum_{k=n_{1}+1}^{n_{1}+n_{2}} e^{-\frac{(l+1) \gamma_{k}}{2}} \sin \frac{2 l+1}{2} \gamma \rho_{k}, \quad l=-\infty, \ldots, \infty .
\end{array}
\]

Поэтому все высшие уравнения SG
\[
\frac{\partial \pi}{\partial t}=\{I, \pi\}, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial t}=\{I, \varphi\}
\]

где
\[
I=\sum_{l} \operatorname{sign}(2 l+1) c_{2 \boldsymbol{l}+1} I_{2 l+1},
\]

являются вполне интегрируемыми гамильтоновыми системами и их временная динамика дается формулами
\[
\begin{aligned}
b(\lambda, t) & =e^{-2 i \gamma I(\lambda, t} b(\lambda, 0), \quad \lambda_{i}(t)=\lambda_{i}(0), \\
\gamma_{i}(t) & =e^{-2 i \gamma I\left(\lambda_{j} t^{t}\right.} \gamma_{j}(0), \quad j=1, \ldots, n, \\
I(\lambda) & =\sum_{l} \operatorname{sign}(2 l+1) c_{2 l+1} \lambda^{2 l+1} .
\end{aligned}
\]

где

В частности, выбирая $c_{-1}=-c_{1}=m /(4 \gamma)$ и полагая остальные $c_{2 l+1}=0$, мы получим в качестве $I$ гамильтониан модели $\mathrm{SG}$, и формулы (6.44) – (6.45) перейдут в знакомые выражения (4.73).

Перейдем теперь к интерпретации независимых мод модели SG в терминах релятивистской теории поля. Для этого удобно вместо переменных (6.35) – (6.38) ввести другой канонический набор, явно отражающий лоренц-ковариантный характер возбуждений модели. Именно, положим
\[
\begin{array}{c}
k(\lambda)=\frac{m}{2}\left(\frac{1}{\lambda}-\lambda\right), \quad-\infty<k<\infty, \\
\varphi(k)=\varphi(\lambda(k)), \quad \rho(k)=-\frac{d \lambda(k)}{d k} \rho(\lambda(k)),
\end{array}
\]

где $\lambda(k)$ – обратная функция к $k(\lambda)$ :
\[
\lambda(k)=\frac{1}{m}\left(\sqrt{k^{2}+m^{2}}-k\right)
\]

и
\[
\begin{array}{c}
P_{s j}=\frac{m}{\gamma} \operatorname{sh} \gamma p_{j}, \quad Q_{s j}=\frac{q_{j}}{m \operatorname{ch} \gamma p_{j}}, \quad j=1, \ldots, n_{1} ; \\
P_{b k}=\frac{2 m}{\gamma} \operatorname{sh} \frac{\gamma \xi_{k}}{2} \sin \frac{\gamma}{2} \rho_{k}, \quad Q_{b k}=\frac{\eta_{k}}{m \operatorname{ch} \frac{\gamma \xi_{k}}{2} \sin \frac{\gamma}{2} \rho_{k}},
\end{array}
\]

где $k=n_{1}+1, \ldots, n_{1}+n_{2}$. Ясно, что переменные $\rho(k), \varphi(k), P_{s j,}$ $Q_{s j}, P_{b k}, Q_{b k}$ и $\rho_{k}, \varphi_{k}$ также являются каноническими. Используя формулы (4.99)-(4.100), (6.41) и (6.46)-(6.50), для импульса $P$ и гамильтониана $H$ получаем выражения
\[
P=\int_{-\infty}^{\infty} k \rho(k) d k+\sum_{j=1}^{n_{1}} P_{s j}+\sum_{k=n_{1}+1}^{n_{1}+n_{2}} P_{b k}
\]

и
\[
H=\int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{k^{2}+m^{2}} \rho(k) d k+\sum_{j=1}^{n_{1}} \sqrt{P_{s j}^{2}+M_{s}^{2}}+\sum_{k=n_{1}+1}^{n_{2}+n_{s}} \sqrt{P_{b k}^{n}+M_{b k}^{2}},
\]

где
\[
M_{\mathrm{s}}=\frac{m}{\gamma}, \quad M_{b k}=\frac{2 m}{\gamma} \sin \frac{\gamma}{2} \rho_{k} .
\]

Приведенные формулы представляют собой суммы по независимым модам и допускают наглядную теоретико-полевую интерпретацию.

Первые слагаемые в формулах (6.51)-(6.52) интерпретируются в терминах волнового пакета мод непрерывного спектра

с плотностью $\rho(k)$. Отдельная мода с номером $k$ описывает частицу с импульсом и энергией
\[
p=k, \quad h=\sqrt{k^{2}+m^{2}},
\]

связанных релятивистским законом дисперсии
\[
h^{2}=p^{2}+m^{2} \text {. }
\]

Эта частица имеет нулевой топологический заряд. Другими словами, эти моды.описывают нейтральную релятивистскую частицу с массой $m$.

Вторые слагаемые представляют собой вклад от солитонов, которые соответствуют заряженной (с топологическим зарядом $Q= \pm 1$ ) релятивистской частице с массой $M_{s}$.

Третьи слагаемые в этих формулах отвечают двойным солитонам. Последние соответствуют нейтральной релятивистской частице с внутренними степенями свободы. Ее масса $M_{b}$ зависит от обобщенного импульса внутреннего движения $\rho$ по формуле (6.53) и меняется от нуля до удвоенной массы солитона. Такую частицу можно интерпретировать как релятивистское связанное состояние солитона и антисолитона.

Таким образом, спектр возбуждений модели SG является весьма богатым и описывает несколько сортов частиц. Стандартные соображения теории возмущений связывали бы с нашей моделью лишь частицы первого типа, отвечающие линеаризованному уравнению $S G$ в окрестности $\varphi=0$
\[
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{3}}-\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+m^{2} \varphi=0,
\]
т. е. уравнению Клейна – Гордона.

Появление в спектре возбуждений солитонов, антисолитонов и их связанных состояний произошло исключительно благодаря специальному (в своем роде уникальному) виду нелинейного взаимодействия. В линейном пределе $\beta \rightarrow 0$ солитоны и двойные солитоны превращаются в решения с бесконечной энергией и уходят из спектра возбуждений.

В заключение этого пункта отметим, что при сгущении нулей $\lambda_{k}$ к вещественной оси двойные солитоны переходят в моды непрерывного спектра. Именно, если предположить, что
\[
\lambda_{k}=\mu_{k}+\frac{i \gamma \mu_{k} \rho\left(\mu_{k}\right)}{n_{2}}, \quad k=n_{1}+1, \ldots, n_{1}+n_{2},
\]

где при $n_{2} \rightarrow \infty$ вещественные числа $\mu_{k}$ равномерно заполняют положительную полуось, то третьи слагаемые в выражении (6.41) для локальных интегралов движения $I_{2 l+1}$ при $n_{2 \rightarrow \infty}$ переходят в первые слагаемые, отвечающие непрерывному спектру.