Теория солитонов и связанная с ней теория интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений в двумерном пространстве-времени привлекли за последние 15 лет внимание большого количества исследователей широкого спектра: от алгебраических геометров до специалистов по прикладной гидродинамике. В современной математической физике сложилась целая большая область, посвященная этой теории, носящая название метода обратной задачи интегрирования нелинейных уравнений. (Альтернативные названия – метод обратного спектрального преобразования, метод изоспектральных деформаций и более жаргонное – метод $L-A$ пар.)

Начало методу положила пионерская работа Принстонской группы. Мы имеем в виду работу «Метод для решения уравнения Кортевега-де Фриза» Гарднера, Грина, Крускала и Миуры, опубликованную в 1967 году [21]. Они предложили замечательную нелинейную замену переменных в этом уравнении, после которой оно становится линейным и явно решается. В описании этой замены участвует формализм прямой и обратной задач рассеяния для одномерного уравнения Шредингера. Название метода связано с этим обстоятельством.

Период становления метода обратной задачи связан с двумя работами:
1) работой Лакса «Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и уединенные волны», опубликованной в 1968 году [24], в которой были формализованы результаты работы [21] и введено понятие $L-A$ пары Лакса;
2) работой Захарова и Шабата «Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах» 1971 года [2], в которой показано, что понятие $L$ – $A$ пары не является специальным свойством уравнения Кортевега – де Фриза, а применимо и к нелинейному уравнению Шредингера; тем самым были открыты перспективы для применения метода и к другим уравнениям.

После этого развитие метода обратной задачи и его приложений пошло с нарастающей скоростью и привело в настоящее время к созданию целой области математической физики. Характерно, что работы по этой теме носят в основном коллективный характер, и можно выделить несколько сложившихся групп; кроме уже упоминавшейся Принстонской группы, это:

Московская группа, представителями которой являются Захаров, Манаков, Новиков, Кричевер, Дубровин и Михайлов;

Потсдамская группа – Абловитц, Қауп, Ньюел, Сегур и их сотрудники;

Аризонская группа в составе Флашки, Лэмба и Маклафлина.

В более позднее время появилась Киотская группа – Сато, Мива, Джимбо, Кашивара и их сотрудники.

Есть и другие центры: Нью-Норк – Лакс, Кейс и Трубовитц; Рим – Калоджеро и Дегасперис; Манчестер – Буллоу и его сотрудники; Фрайбург – Полмайер и Хонеркамп. В Москве к уже указанным выше присоединяются Гельфанд, Манин, Переломов и их сотрудники. И, наконец, в Ленинграде также сформировалась своя группа, к которой относятся авторы данной книги, а также Корепнн, Кулиш, Рейман, Склянин, Семенов-Тян-Шанский, Изергин, Итс и Матвеев. Кроме упомянутых групп, есть и более «одинокие» исследователи, сделавшие важный вклад: Шабат, Мозер, Костант и Адлер.

Здесь мы перечислили лишь специалистов в области математической физики и не упомянули о большой армии исследователей, занимающихся приложениями теории солитонов к квантовой теории поля, физике твердого тела, нелинейной оптике, физике плазмы, гидродинамике, биологии и к другим разделам естествознания. Одно это впечатляющее перечисление людей и сюжетов указывает на размах интересов участников и их географию.

В настоящее время можно считать, что теория солитонов достиг.та зрелости. Естественно, что во многих группах появилось желание отразить свои взгляды на развитие предмета в монографиях. Ряд книг, отражающих интересы и взгляды упомянутых школ, уже появился. Это монографии:

Захаров, Манаков, Новиков, Питаевский «Теория солитонов: Метод обратной задачи» [3];
Лэмб «Элементы теории солитонов» [23];
Абловитц, Сегур «Солитоны и обратное греобразование рассеяния» [8];

Дегасперис, Қалоджеро «Спектральные преобразования и солитоны» [11];

Додд, Гиббон, Моррис, Эйлбек «Солитоны и нелинейные волны» [12].
Сборники статей:
«Солитоны в действии», под редакцией Лонгрена и Скотта $[25]$;
«Солитоны», под редакцией Буллоу и Кодри [9];
«Преобразования Бэклунда», под редакцией Миуры [27];
«Теория солитонов», под редакцией Захарова и Манакова
[26];

5) «Нелинейные эволюционные уравнения, решаемые с помощью спектрального преобразования», под редакцией Калоджеро [10], а также учебник Эйленбергера «Солитоны: математические методы дыя физиков» [13].

Мы в Ленинграде тоже достигли такого состояния, что после написания ряда обзоров $[5,14-16]$, посвященных квантовой теории солитонов и ее применению в квантовой теории поля, решили изложить свои взгляды на метод обратной задачи в целом.

Естественно, что на эти взгляды накладывают отпечаток наши интересы, связанные с квантовой формулировкой теории солитонов. Развитие квантового варианта метода обратной задачи, начавшееся с 1978 года и отраженное в серии обзоров $[4,6,7$, $16-20,22,28]$, заставило нас по-новому взглянуть на основные приемы и средства метода обратной задачи в классическом варианте. Особенно это относится к использованию языка гамильтоновой динамики, естественно связанного с квантовыми приложениями.

Дело в том, что большинство интегрируемых моделей (в том числе все интересные для приложений) обладают гамильтоновой структурой, т. е. соответствующие уравнения представляют собой бесконечномерные аналоги гамильтоновых уравнений классической механики. При этом преобразования метода обратной задачи находят естественную интерпретацию как канонические преобразования по отношению к этой структуре, а переменные, в которых нелинейное уравнения пнеарнзуются, получают смысл переменных действие — угол.

На примере уравнения Кортевега–де Фриза эта программа была сформулирована и реализована в 1971 году в период становления теории в работе Захарова и Фалдесла «уравнение Kортевега-де – Фиса – вполне интегрируемая гамильтонова система» [1]. В дальнейшем она была осуществлена и для других интересных моделей.

В упомянутых выше монографиях других авторов гамильтонов подход, как правило, упоминается, но не играет руководящей методологической роли. Упор на гамильтоновость, соответствующий выбор материала и его расположение составляют основные отличия нашей книги от других. В то же время она внутренне самосогласованна и может служить как самостоятельное введение в предмет.

Первоначально мы планировали написать книгу, посвященную главным образом квантовому варианту, в которой предполагалось поместить подходящее введение в классический метод. Однако в процессе работы этот проект, как это часто бывает, разросся, и поэтому мы решили разбить книгу на две. Первая из них посвящается только классической теории и представляет собой настоящую книгу.

Остановимся теперь подробнее на ее структуре и методических новшествах. В отличие от других авторов, в качестве основного примера мы выбираем нелинейное уравнение Шредингера (НШ)
\[
i \frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}+2 x|\psi|^{2} \psi,
\]

где $\psi(x, t)$ – комплекснозначная функция, а не уравнение Кортевега – де Фриза (КдФ)
\[
\frac{\partial u}{\partial t}=6 u \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial^{3} u}{\partial x^{3}} .
\]

Для этого есть ряд причин:
1. Во многих технических аспектах уравнение НШ проще и фундаментальнее уравнения КдФ. Так, уравнение НШ непосредственно иллюстрирует простые общие конструкции метода, в то время как переход от них к уравнению КдФ требует ряда редукций. В частности, вспомогательная линейная задача для уравнения HUI (задача на собственные значения для оператора Jaкса $L$ ) имеет вид системы дифференциальных уравнений первого порядка в общем положении. Для уравнения КдФ роль оператора $L$ играет одномерный оператор Шредингера, спектральная теория которого немного сложнее. Кроме того, этот оператор можно рассматривать как весьма специальный случай системы первого порядка.
2. Гамильтонов формализм для уравнения НШ проще и естественнее; переменные поля $\psi(x)$ и $\bar{\psi}(x)$ (где черта означает комплексное сопряжение) образуют простой набор канонических переменных:
\[
\{\psi(x), \bar{\psi}(y)\}=i \delta(x-y) .
\]

В то же время скобки Пуассона для уравнения КдФ
\[
\{u(x), u(y)\}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial y}-\frac{\partial}{\partial x}\right) \delta(x-y)
\]

не приводят сразу к очевидному выбору канонически сопряженных переменных.
3. Уравнение НII имеет естественный квантовый аналог, описывающий квантовую систему с переменным числом частиц, взаимодействующих посредством парного потенциала $v_{i j}=$ $=\delta\left(x_{i}-x_{j}\right)$. Поэтому оно особенно удобно для реализации нашего проекта, включающего квантовую теорию. В то же время уравнение КдФ в квантовой области не имеет непосредственного физического смысла.
4. Последнее, но не менее важное обстоятельство связано с духом противоречия, который не позволяет нам начинать еще одну книгу с набившего оскомину уравнения КдФ.

Описание уравнения HII занимает почти половину книги и выделено в отдельную часть. Мы решили рассказать на этом примере об основах метода в такой форме, чтобы перенос его на другие уравнения был бы более или менее автоматическим. Все рассуждения проведены подробно и настолько строго математически доказаны, насколько это не противоречит чувству разумного. Зато при разборе других моделей мы ограничиваемся ссылками на пример уравнения НШ и более подробно разбираем лишь их характерные отличия.

Вторая часть посвящена разбору нескольких характерных моделей, сыгравших важную роль в развитии метода обратной задачи. Мы называем их фундаментальными. Список включает модели, задаваемые следующими уравнениями:
1) уравнением Sine-Gordon
\[
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+\frac{m^{2}}{\beta} \sin \beta \varphi=0
\]

для вещественной функции $\varphi(x, t)$;
2) уравнением магнетика Гейзенберга
\[
\frac{\partial \vec{S}}{\partial t}=\vec{S} \wedge \frac{\partial^{2} \vec{S}}{\partial x^{2}}
\]

где $\vec{S}(x, t)$ лежит на единичной сфере в $\mathbb{R}^{3}$, а $\wedge$ означает внешнее произведение;
3) уравнениями цепочки Тогда
\[
\frac{d^{2} q_{n}}{d t^{2}}=e^{q_{n+1}-q_{n}}-e^{q_{n}-q_{n-1}}
\]

для координат $q_{n},-\infty<q_{n}<\infty$.
Эти модели в основном тексте разобраны наиболее подробно. Кроме них в книге фигурирует еще ряд физически интересных моделей (модель $N$-волн, киральное поле, модель Ландау Лифшица). Наконец, во второй части также содержится достаточно общая схема классификации интегрируемых моделей и метода построения Iих решений.

С технической точки зрения основные отличия нашего изложения состоят в следующем:
1. Вместо оригинального представления Лакса
\[
\frac{d L}{d t}=[L, A]
\]

и соответствующей вспомогательной линейной задачи
\[
L \Psi=\lambda \Psi
\]

мы с самого начала используем представление нулевой кривизны
\[
\frac{\partial U}{\partial t}-\frac{\partial V}{\partial x}+[U, V]=0
\]

и вспомогательную линейную задачу в форме
\[
\frac{\partial F}{\partial x}=U(x, \lambda) F .
\]
2. Наряду с обычным исследованием прямой и обратной задач для вспомогательной линейной системы на бесконечном интервале мы рассматриваем еще и конечный интервал $-L \leqslant x \leqslant L$ с квазипериодическими граничными условиями. Однако соответствующая обратная задача основана на анализе на римановых поверхностях и выходит за рамки нашего изложения.
3. При исследовании обратной задачи вместо традиционных уравнений Гельфанда – Левитана – Марченко мы ставим в основу матричную задачу Римана – задачу об аналитической факторизапии матриц-функций. Как теперь стало ясно, этот метод более универсален і технически более прозрачен. На примере уравнения HUI мы объясняем, как метод Гельфанда-Левитана – Марченко находит свое естественное место в рамках метода задачи Римана.
4. Гамильтонова структура задается в терминах так называемой $r$-матрицы. Этот метод родился в недрах квантового метода обратной задачи и лишь затем был использован в его классическом варианте. Мы считаем метод $r$-матрицы наиболее адекватным и универсальным и постараемся это объяснить.
5. Мы приводим достаточно содержательную классификацию интегрируемых моделей, основанную на понятии $r$-матрицы. Адекватным языком для непрерывных моделей оказывается формализм скобок Ли – Пуассона на (бесконечномерных) алгебрах токов. Мы обсуждаем также обобщение этой классификации на случай моделей на решетке.

Подчеркнем еще раз, что все эти характерные черты находят свое естественное место в квантовом варианте метода.

Скажем теперь несколько слов об уровне математической строгости. Изложение в книге ведется в основном элементарно и основано на технике классического анализа. Для модели НШ в быстроубывающем случае мы доказываем все результаты по прямой и обратной задачам для вспомогательной линейной системы. Мы не делаем этого при изложении других моделей, чтобы не загромождать книгу скучными деталями. Мы считаем, что модель НШ разобрана достаточно инвариантным образом и читатель сам может восстановить недостающие детали.

Однако строгое доказательство утверждений, связанных с гамильтоновой формулировкой, должно использовать анализ на

бесконечномерных многообразиях. Этот уровень строгости мы считаем для данной тематики пока излишним и поэтому смело пользуемся терминологией дифференциальной геометрии в бесконечномерном случае без полного обоснования. Мы делаем это сознательно, так как нам кажется, что строгие доказательства по этому поводу не проясняют существа дела, и мы оставляем их специалистам по глобальному анализу. Мы верим, что это соответствует состоянию дел в современной математической физике, к которой и относится данная монография.

Метод обратной задачи в настоящее время развит настолько, что его изложение можно вести с самого начала в общем виде. Однако мы думаем, что это далеко не самый лучший способ введения в предмет. Мы сознательно вводим основные понятия метода на конкретном примере, иллюстрируем их универсальность на других моделях и этим подводим читателя к естественной и достаточно общей конструкции, лежащей в основе метода. Мы считаем, что это соответствует духу современной математической физики.

На этом мы заканчиваем содержательную часть введения. Мы решили не давать здесь более формального пересказа книги и ограничились лишь основными историческими указаниями и методическими основами. Мы надеемся, что оглавление достаточно подробно и адекватно отражает содержание книги.

Наконец, остановимся на строении книги. Она состоит из двух частей, разделенных на главы и параграфы. В основном тексте мы не приводим ссылок на оригинальные работы. Для этого вводится специальный параграф в конце каждой главы, где содержатся также замечания и комментарии. Там же мы упоминаем другие аспекты метода, не вошедшие в основной текст, и даем соответствующие ссылки.

Все формулы в тексте перенумерованы и несут номер параграфа и собственно номер формулы. При ссылках на формулы из другой главы данной части используется тройная нумерация, где первое число указывает на номер главы. Ссылки на формулы из другой части оговариваются особо.