В ее основе лежит формула связи решений Йоста
\[
T_{-}(x, \lambda)=T_{+}(x, \lambda) T(\lambda),
\]

которая переписывается в виде
\[
F_{-}(x, \lambda)=F_{+}(x, \lambda) G(\lambda),
\]

где матрицы $F_{ \pm}(x, \lambda)$ составлены из столбцов решений $T_{ \pm}(x, \lambda)$ по формулам
\[
\begin{array}{c}
F_{+}(x, \lambda)=\frac{1}{a(\lambda)}\left(T_{-}^{(1)}(x, \lambda), T_{+}^{(2)}(x, \lambda)\right), \\
F_{-}(x, \lambda)=\left(T_{+}^{(1)}(x, \lambda), T_{-}^{(2)}(x, \lambda)\right),
\end{array}
\]

а матрица $G(\lambda)$ выглядит следующим образом:
\[
G(\lambda)=\left(\begin{array}{cc}
1 & -\bar{b}(\lambda) \\
-b(\lambda) & 1
\end{array}\right) .
\]

Вводя матрицы
\[
G_{-}(x, \lambda)=F_{-}(x, \lambda) E^{-1}(x, \lambda)
\]

и
\[
G_{+}(x, \lambda)=E(x, \lambda) F_{+}^{-1}(x, \lambda),
\]

которые аналитически продолжаются в нижнюю и верхнюю полуплоскости переменной $\lambda$ соответственно, из (2.2) получаем соотношение, лежащее в основе задачи Римана:
\[
G_{+}(x, \lambda) G_{-}(x, \lambda)=G(x, \lambda),
\]

где
\[
G(x, \lambda)=E(x, \lambda) G(\lambda) E^{-1}(x, \lambda) \text {. }
\]

Перечислим свойства матриц $G(x, \lambda)$ и $G_{ \pm}(x, \lambda)$, которые вытекают из результатов $\S 1$.
I. Матрица $G(x, \lambda)$ эрмитова:
\[
G^{*}(x, \lambda)=G(x, \lambda)
\]

и удовлетворяет условиям
\[
\begin{aligned}
\left.G(x, \lambda)\right|_{\lambda=0} & =I, \\
\lim _{|\lambda| \rightarrow \infty} G(x, \lambda) & =I,
\end{aligned}
\]

где предельные значения принимаются в смысле Шварца.
II. Матрицы $G_{ \pm}(x, \lambda)$ при каждом х принадлежат кольцам $\Re_{ \pm}^{(2 \times 2)}$, эрмитово сопряжены друг с другом:
\[
G_{+}(x, \lambda)=G_{-}^{*}(x, \bar{\lambda})
\]

и имеют следующие пределы при $|\lambda| \rightarrow \infty$ :
\[
\lim _{|\lambda| \rightarrow \infty} G_{ \pm}(x, \lambda)=\Omega_{ \pm}(x) .
\]

Матрицы $\Omega_{ \pm}(x)$ унитарны и связаны соотношением
\[
\Omega_{+}(x)=\Omega_{-}^{*}(x)=\left(\begin{array}{cc}
\omega_{0} & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) \Omega(x),
\]

так что
\[
S(x)=\Omega_{+}^{-1}(x) \sigma_{3} \Omega_{+}(x)=\Omega_{-}(x) \sigma_{3} \Omega_{-}^{-1}(x) .
\]
III. Матрицы $G_{ \pm}(x, \lambda)$ удовлетворяют условию
\[
\left.G_{ \pm}(x, \lambda)\right|_{\lambda=0}=I
\]
IV. Матрицы $G_{+}(x, \lambda)$ и $G_{-}(x, \lambda)$ невырожденны в своих областях аналитичности, за исключением точек $\lambda=\lambda_{j}$ и $\lambda=\bar{\lambda}_{j}$ соответственно, где
\[
\operatorname{Im} G_{+}\left(x, \lambda_{j}\right)=N_{j}^{(+)}(x)
\]
$u$
\[
\operatorname{Ker} G_{-}\left(x, \bar{\lambda}_{j}\right)=N_{j}^{(-)}(x), \quad j=1, \ldots, n .
\]

Здесь $N_{j}^{(+)}(x)$ и $N_{j}^{(-)}(x)$ – одномерные подпространства в $\mathbb{C}^{2}$, натянутые соответственно на векторы
\[
\left(\begin{array}{c}
1 \\
-\gamma_{j} e^{i \lambda_{j} x}
\end{array}\right) \text { и }\left(\begin{array}{c}
\bar{\gamma}_{j} e^{-i \bar{\lambda}_{j} x} \\
1
\end{array}\right) .
\]

Обратим внимание, что свойства матриц $G_{ \pm}(x, \lambda)$ для моделей МГ и НШ отличаются лишь в условиях нормировки: они нормированы на $I$ при $\lambda=0$ и при $\lambda=\infty$ соответственно.

Перейдем теперь к решению обратной задачи. Предположим, что заданы функции $b(\lambda), \bar{b}(\lambda)$ и набор чисел $\lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}, \gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j}, j=1, \ldots$ $\ldots, n$, со следующими свойствами.

I’. Функция $b(\lambda)$ принадлежит пространству Шварца и удовлетворяет условиям
\[
b(0)=0, \quad|b(\lambda)|<1 .
\]
$\mathrm{II}^{\prime}$. Среди чисел $\lambda_{j}, \operatorname{Im} \lambda_{j}>0$, нет совпадающих $и \quad \gamma_{j}
eq 0$, $j=1, \ldots, n$.

Построим по ним матрицу $G(x, \lambda)$, набор подпространств $N_{j}^{( \pm)}(x)$ и рассмотрим задачу Римана
\[
G(x, \lambda)=G_{+}(x, \lambda) G_{-}(x, \lambda),
\]

где матрицы $G_{ \pm}(x, \lambda)$ принадлежат кольцам $\mathfrak{R}_{ \pm}^{(2 \times 2)}$, нормированы на $I$ при $\lambda=0$ и удовлетворяют условиям (2.18)-(2.19).
Тогда утверждается следующее.
I\”. Сформулированная задача Римана однозначно разрешима.

II $^{\prime \prime}$. Матрицы $F_{ \pm}(x, \lambda)$, построенные по решениям $G_{ \pm}(x, \lambda)$ с помощью формул (2.6)-(2.7), удовлетворяют вспомогательной линейной задаче
\[
\frac{d F_{ \pm \pm}(x, \lambda)}{d x}=\frac{\lambda}{2 i} S(x) F_{ \pm}(x, \lambda)
\]

где матрица $S(x)$ дается формулами (2.14), (2.16).
III\”. Матрица $S(x)$ эрмитова, бесследова, удовлетворяет условию $S^{2}(x)=I и$
\[
\lim _{|x| \rightarrow \infty} S(x)=\sigma_{3},
\]

где предельные значения принимаются в смысле IIвврца.
IV\”. Функции $^{\prime \prime}(\lambda)$ и $b(\lambda)$, где $a(\lambda)$ дается формулами (1.59)-(1.60), играют роль коэффициентов перехода вспомогательной линейной задачи (2.22); ее дискретный спектр состоит из собственных значений $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n} ; \bar{\lambda}_{1}, \ldots, \bar{\lambda}_{n}$ с коэффициентами перехода $\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{n} ; \bar{\gamma}_{1}, \ldots, \bar{\gamma}_{n}$. Решения $G_{ \pm}(x, \lambda)$ составлены из решений Иоста $T_{ \pm}(x, \lambda)$ вспомогательной линейной задачи по формулам (2.3) – (2.4) и (2.6)–(2.7).
Прокомментируем доказательство этих утверждений.
Теорема единственности для задачи Римана стандартным образом получается из теоремы Лиувилля и условия нормировки (2.17) (см. соответствующие рассуждения в § II. 2 части I). Отсюда, благодаря эрмитовости матрицы $G(x, \lambda)$, вытекает равенство $(2.13)$.

Для доказательства теоремы существования достаточно воспользоваться преобразованием
\[
\begin{array}{l}
\widetilde{G}_{+}(x, \lambda)=G_{+}(x, \lambda) \Omega_{+}^{-1}(x), \\
\widetilde{G}_{-}(x, \lambda)=\Omega_{-}^{-1}(x) G_{-}(x, \lambda),
\end{array}
\]

где $\Omega_{ \pm}(x)$ – предельные значения матриц $G_{ \pm}(x, \lambda)$ при $|\lambda| \rightarrow \infty$. Матрицы $\Omega_{ \pm}(x)$ в силу (2.13) удовлетворяет условию
\[
\Omega_{+}(x)=\Omega_{-}^{*}(x)
\]

и унитарны; поэтому матрицы $\widetilde{G}_{ \pm}(x, \lambda)$ по-прежнему удовлетворяют уравнению (2.21) и условиям (2.18)-(2.19). Таким образом, это преобразование сводит задачу Римана с единичной нормировкой при $\lambda=0$ к задаче Римана с единичной нормировкой при $\lambda=\infty$. Разрешимость последней задачи была доказана в § II. 2 части I. Обратное преобразование дается формулами
\[
\begin{array}{l}
G_{+}(x, \lambda)=\widetilde{G}_{+}(x, \lambda) \widetilde{G}_{+}^{-1}(x, 0), \\
G_{-}(x, \lambda)=\widetilde{G}_{-}^{-1}(x, 0) \widetilde{G}_{-}(x, \lambda) .
\end{array}
\]

Для вывода дифференциального уравнения в пункте II $^{\prime \prime}$ перепишем задачу Римана (2.21)
\[
F_{-}(x, \lambda)=F_{+}(x, \lambda) G(\lambda)
\]

и продифференцируем это равенство по $x$, записав результат в виде
\[
U(x, \lambda)=\frac{\partial F_{+}(x, \lambda)}{\partial x} F_{+}^{-1}(x, \lambda)=\frac{\partial F_{-}(x, \lambda)}{\partial x} F_{-}^{-1}(x, \lambda) .
\]

Как и в § II. 2 части I, убеждаемся, что $U(x, \lambda)$ является целой функцией $\lambda$. Используя принадлежность функций $E(x, \lambda) F_{+}^{-1}(x, \lambda)$ и $F_{-}(x, \lambda) E^{-1}(x, \lambda)$ кольцам $\mathfrak{R}_{ \pm}^{(2 \times 2)}$, асимптотики (2.14) и теорему Лиувилля, получаем, что
\[
U(x, \lambda)=\frac{\lambda}{2 i} S(x)+C(x),
\]

где матрица $S(x)$ дается формулами (2.16). Из условия следует, что
\[
C(x)=0,
\]

и мы получаем уравнение (2.22). Эрмитовость матрицы $S(x)$ вытекает из унитарности матриц $\Omega_{ \pm}(x)$.

Для доказательства оставшихся утверждений в пунктах III\”-IV\” достаточно воспользоваться формулами связи для задач Римана моделй МГ и НШ:
\[
G^{\mathrm{HW}}(\lambda)=\left(\begin{array}{cc}
\bar{\omega}_{0} & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) G^{\mathrm{Mr}}(\lambda)\left(\begin{array}{cc}
\omega_{0} & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right),
\]

и
\[
\begin{array}{l}
G_{+}^{\mathrm{HW}}(x, \lambda)=\left(\begin{array}{cc}
\bar{\omega}_{0} & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) G_{+}^{\mathrm{Mr}}(x, \lambda) \Omega_{+}^{-1}(x)\left(\begin{array}{cc}
\omega_{0} & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right), \\
G_{-}^{\mathrm{HW}}(x, \lambda)=\left(\begin{array}{cc}
\bar{\omega}_{0} & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) \Omega_{-}^{-1}(x) G_{-}^{\mathrm{Mr}}(x, \lambda)\left(\begin{array}{cc}
\omega_{0} & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right),
\end{array}
\]

где
\[
\omega_{0}=\bar{a}^{\mathrm{HШ}}(0), \quad\left|\omega_{0}\right|=1 .
\]

В заключение рассмотрения общих свойств задачи Римана укажем, что, как и в случае модели НШ, временна́я динамика коэффициентов перехода приводит к представлению нулевой кривизны модели МГ. Это дает доказательство того, что если коэффициенты перехода зависят от времени согласно формулам (1.64) – (1.65), то построенная по ним матрица $S(x, t)$ удовлетворяет уравнению $М Г$.