В ее основе лежит формула связи решений Йоста
$$T_{-}(x,\lambda )=T_{+}(x,\lambda )T(\lambda ),$$

которая переписывается в виде
$$F_{-}(x,\lambda )=F_{+}(x,\lambda )G(\lambda ),$$

где матрицы $F_{\pm }(x,\lambda )$ составлены из столбцов решений $T_{\pm }(x,\lambda )$ по формулам
$$\begin{array}{c}{F}_{+}(x,\lambda )=\frac{1}{a(\lambda )}(T_{-}^{(1)}(x,\lambda ),T_{+}^{(2)}(x,\lambda )),\\ F_{-}(x,\lambda )=(T_{+}^{(1)}(x,\lambda ),T_{-}^{(2)}(x,\lambda )),\end{array}$$

а матрица $G(\lambda )$ выглядит следующим образом:
$$G(\lambda )=\left(\begin{array}{cc}1& -\overline{b}(\lambda )\\ -b(\lambda )& 1\end{array}\right).$$

Вводя матрицы
$$G_{-}(x,\lambda )=F_{-}(x,\lambda )E^{-1}(x,\lambda )$$

и
$$G_{+}(x,\lambda )=E(x,\lambda )F_{+}^{-1}(x,\lambda ),$$

которые аналитически продолжаются в нижнюю и верхнюю полуплоскости переменной $\lambda$ соответственно, из (2.2) получаем соотношение, лежащее в основе задачи Римана:
$$G_{+}(x,\lambda )G_{-}(x,\lambda )=G(x,\lambda ),$$

где
$$G(x,\lambda )=E(x,\lambda )G(\lambda )E^{-1}(x,\lambda )\text{. }$$

Перечислим свойства матриц $G(x,\lambda )$ и $G_{\pm }(x,\lambda )$, которые вытекают из результатов $\mathrm{\S }1$.
I. Матрица $G(x,\lambda )$ эрмитова:
$$G^{\ast }(x,\lambda )=G(x,\lambda )$$

и удовлетворяет условиям
$$\begin{array}{rl}{G(x,\lambda )|}_{\lambda =0}& =I,\\ \underset{|\lambda |\to \mathrm{\infty }}{lim}G(x,\lambda )& =I,\end{array}$$

где предельные значения принимаются в смысле Шварца.
II. Матрицы $G_{\pm }(x,\lambda )$ при каждом х принадлежат кольцам ${\mathrm{\Re }}_{\pm }^{(2\times 2)}$, эрмитово сопряжены друг с другом:
$$G_{+}(x,\lambda )=G_{-}^{\ast }(x,\overline{\lambda })$$

и имеют следующие пределы при $|\lambda |\to \mathrm{\infty }$ :
$$\underset{|\lambda |\to \mathrm{\infty }}{lim}{G}_{\pm }(x,\lambda )={\mathrm{\Omega }}_{\pm }(x).$$

Матрицы ${\mathrm{\Omega }}_{\pm }(x)$ унитарны и связаны соотношением
$${\mathrm{\Omega }}_{+}(x)={\mathrm{\Omega }}_{-}^{\ast }(x)=\left(\begin{array}{cc}{\omega }_0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\mathrm{\Omega }(x),$$

так что
$$S(x)={\mathrm{\Omega }}_{+}^{-1}(x){\sigma }_3{\mathrm{\Omega }}_{+}(x)={\mathrm{\Omega }}_{-}(x){\sigma }_3{\mathrm{\Omega }}_{-}^{-1}(x).$$
III. Матрицы $G_{\pm }(x,\lambda )$ удовлетворяют условию
$${G_{\pm }(x,\lambda )|}_{\lambda =0}=I$$
IV. Матрицы $G_{+}(x,\lambda )$ и $G_{-}(x,\lambda )$ невырожденны в своих областях аналитичности, за исключением точек $\lambda ={\lambda }_j$ и $\lambda ={\overline{\lambda }}_j$ соответственно, где
$$\mathrm{Im}{G}_{+}(x,{\lambda }_j)=N_j^{(+)}(x)$$
$u$
$$\mathrm{Ker}{G}_{-}(x,{\overline{\lambda }}_j)=N_j^{(-)}(x),j=1,\dots ,n.$$

Здесь $N_j^{(+)}(x)$ и $N_j^{(-)}(x)$ — одномерные подпространства в ${\mathbb{C}}^2$, натянутые соответственно на векторы
$$\left(\begin{array}{c}1\\ -{\gamma }_j{e}^{i{\lambda }_{j}x}\end{array}\right)\text{ и }\left(\begin{array}{c}{\overline{\gamma }}_j{e}^{-i{\overline{\lambda }}_{j}x}\\ 1\end{array}\right).$$

Обратим внимание, что свойства матриц $G_{\pm }(x,\lambda )$ для моделей МГ и НШ отличаются лишь в условиях нормировки: они нормированы на $I$ при $\lambda =0$ и при $\lambda =\mathrm{\infty }$ соответственно.

Перейдем теперь к решению обратной задачи. Предположим, что заданы функции $b(\lambda ),\overline{b}(\lambda )$ и набор чисел ${\lambda }_j,{\overline{\lambda }}_j,{\gamma }_j,{\overline{\gamma }}_j,j=1,\dots$ $\dots ,n$, со следующими свойствами.

I’. Функция $b(\lambda )$ принадлежит пространству Шварца и удовлетворяет условиям
$$b(0)=0,|b(\lambda )|<1.$$
${\mathrm{II}}^{\prime }$. Среди чисел ${\lambda }_j,\mathrm{Im}{\lambda }_j>0$, нет совпадающих $и{\gamma }_{j}eq0$, $j=1,\dots ,n$.

Построим по ним матрицу $G(x,\lambda )$, набор подпространств $N_j^{(\pm )}(x)$ и рассмотрим задачу Римана
$$G(x,\lambda )=G_{+}(x,\lambda )G_{-}(x,\lambda ),$$

где матрицы $G_{\pm }(x,\lambda )$ принадлежат кольцам ${\mathfrak{R}}_{\pm }^{(2\times 2)}$, нормированы на $I$ при $\lambda =0$ и удовлетворяют условиям (2.18)-(2.19).
Тогда утверждается следующее.
I\». Сформулированная задача Римана однозначно разрешима.

II ${}^{\prime \prime }$. Матрицы $F_{\pm }(x,\lambda )$, построенные по решениям $G_{\pm }(x,\lambda )$ с помощью формул (2.6)-(2.7), удовлетворяют вспомогательной линейной задаче
$$\frac{d{F}_{\pm \pm }(x,\lambda )}{dx}=\frac{\lambda }{2i}S(x)F_{\pm }(x,\lambda )$$

где матрица $S(x)$ дается формулами (2.14), (2.16).
III\». Матрица $S(x)$ эрмитова, бесследова, удовлетворяет условию $S^2(x)=Iи$
$$\underset{|x|\to \mathrm{\infty }}{lim}S(x)={\sigma }_3,$$

где предельные значения принимаются в смысле IIвврца.
IV\». Функции ${}^{\prime \prime }(\lambda )$ и $b(\lambda )$, где $a(\lambda )$ дается формулами (1.59)-(1.60), играют роль коэффициентов перехода вспомогательной линейной задачи (2.22); ее дискретный спектр состоит из собственных значений ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n;{\overline{\lambda }}_1,\dots ,{\overline{\lambda }}_n$ с коэффициентами перехода ${\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_n;{\overline{\gamma }}_1,\dots ,{\overline{\gamma }}_n$. Решения $G_{\pm }(x,\lambda )$ составлены из решений Иоста $T_{\pm }(x,\lambda )$ вспомогательной линейной задачи по формулам (2.3) — (2.4) и (2.6)—(2.7).
Прокомментируем доказательство этих утверждений.
Теорема единственности для задачи Римана стандартным образом получается из теоремы Лиувилля и условия нормировки (2.17) (см. соответствующие рассуждения в § II. 2 части I). Отсюда, благодаря эрмитовости матрицы $G(x,\lambda )$, вытекает равенство $(2.13)$.

Для доказательства теоремы существования достаточно воспользоваться преобразованием
$$\begin{array}{l}{\tilde{G}}_{+}(x,\lambda )=G_{+}(x,\lambda ){\mathrm{\Omega }}_{+}^{-1}(x),\\ {\tilde{G}}_{-}(x,\lambda )={\mathrm{\Omega }}_{-}^{-1}(x)G_{-}(x,\lambda ),\end{array}$$

где ${\mathrm{\Omega }}_{\pm }(x)$ — предельные значения матриц $G_{\pm }(x,\lambda )$ при $|\lambda |\to \mathrm{\infty }$. Матрицы ${\mathrm{\Omega }}_{\pm }(x)$ в силу (2.13) удовлетворяет условию
$${\mathrm{\Omega }}_{+}(x)={\mathrm{\Omega }}_{-}^{\ast }(x)$$

и унитарны; поэтому матрицы ${\tilde{G}}_{\pm }(x,\lambda )$ по-прежнему удовлетворяют уравнению (2.21) и условиям (2.18)-(2.19). Таким образом, это преобразование сводит задачу Римана с единичной нормировкой при $\lambda =0$ к задаче Римана с единичной нормировкой при $\lambda =\mathrm{\infty }$. Разрешимость последней задачи была доказана в § II. 2 части I. Обратное преобразование дается формулами
$$\begin{array}{l}{G}_{+}(x,\lambda )={\tilde{G}}_{+}(x,\lambda ){\tilde{G}}_{+}^{-1}(x,0),\\ G_{-}(x,\lambda )={\tilde{G}}_{-}^{-1}(x,0){\tilde{G}}_{-}(x,\lambda ).\end{array}$$

Для вывода дифференциального уравнения в пункте II ${}^{\prime \prime }$ перепишем задачу Римана (2.21)
$$F_{-}(x,\lambda )=F_{+}(x,\lambda )G(\lambda )$$

и продифференцируем это равенство по $x$, записав результат в виде
$$U(x,\lambda )=\frac{\partial F_{+}(x,\lambda )}{\partial x}{F}_{+}^{-1}(x,\lambda )=\frac{\partial F_{-}(x,\lambda )}{\partial x}{F}_{-}^{-1}(x,\lambda ).$$

Как и в § II. 2 части I, убеждаемся, что $U(x,\lambda )$ является целой функцией $\lambda$. Используя принадлежность функций $E(x,\lambda )F_{+}^{-1}(x,\lambda )$ и $F_{-}(x,\lambda )E^{-1}(x,\lambda )$ кольцам ${\mathfrak{R}}_{\pm }^{(2\times 2)}$, асимптотики (2.14) и теорему Лиувилля, получаем, что
$$U(x,\lambda )=\frac{\lambda }{2i}S(x)+C(x),$$

где матрица $S(x)$ дается формулами (2.16). Из условия следует, что
$$C(x)=0,$$

и мы получаем уравнение (2.22). Эрмитовость матрицы $S(x)$ вытекает из унитарности матриц ${\mathrm{\Omega }}_{\pm }(x)$.

Для доказательства оставшихся утверждений в пунктах III\»-IV\» достаточно воспользоваться формулами связи для задач Римана моделй МГ и НШ:
$$G^{\mathrm{HW}}(\lambda )=\left(\begin{array}{cc}{\overline{\omega }}_0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)G^{\mathrm{Mr}}(\lambda )\left(\begin{array}{cc}{\omega }_0& 0\\ 0& 1\end{array}\right),$$

и
$$\begin{array}{l}{G}_{+}^{\mathrm{HW}}(x,\lambda )=\left(\begin{array}{cc}{\overline{\omega }}_0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)G_{+}^{\mathrm{Mr}}(x,\lambda ){\mathrm{\Omega }}_{+}^{-1}(x)\left(\begin{array}{cc}{\omega }_0& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\\ G_{-}^{\mathrm{HW}}(x,\lambda )=\left(\begin{array}{cc}{\overline{\omega }}_0& 0\\ 0& 1\end{array}\right){\mathrm{\Omega }}_{-}^{-1}(x)G_{-}^{\mathrm{Mr}}(x,\lambda )\left(\begin{array}{cc}{\omega }_0& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\end{array}$$

где
$${\omega }_0={\overline{a}}^{\mathrm{H}\mathrm{Ш}}(0),\left|{\omega }_0\right|=1.$$

В заключение рассмотрения общих свойств задачи Римана укажем, что, как и в случае модели НШ, временна́я динамика коэффициентов перехода приводит к представлению нулевой кривизны модели МГ. Это дает доказательство того, что если коэффициенты перехода зависят от времени согласно формулам (1.64) — (1.65), то построенная по ним матрица $S(x,t)$ удовлетворяет уравнению $МГ$.