Начиная с этого параграфа, мы перейдем к решению обратной задачи для случая граничных условий конечной плотности. Эта задача состоит в восстановлении функций $\psi (x),\overline{\psi }(x)$ по коэффициентам перехода $a_p(\lambda ),b_p(\lambda )$ и характеристикам дискретного спектра ${\lambda }_j,{\gamma }_j$. Мы ограничимся случаем, когда граничные значения функций $\psi (x),\overline{\psi }(x)$ при $x\to \pm \mathrm{\infty }$ принимаются в смысле Шварца.

Как и в быстроубывающем случае, существуют два подхода к решению обратной задачи, основанные на матричной задаче Римана и на формализме Гельфанда — Левитана-Марченко соответственно.

В этом параграфе мы опишем первый подход, основаниый на матричной задаче Римана. Она естественно формулируется на римановой поверхности $\mathrm{\Gamma }$ функции $k(\lambda )=\sqrt{}{\lambda }^{\underset{―}{2}-{\omega }^2}$ с заданным на ней контуром ${\mathcal{R}}_{\omega }$, состоящим из точек $(\lambda ,\epsilon )$, где $\epsilon =\pm 1$ и $\lambda$ из ${\mathbb{R}}_{\omega }$, т. е. $\lambda$ вещественно и удовлетворяет условию $|\lambda |⩾\omega$; см. §I.8. Контур ${\mathcal{R}}_{\omega }$ разбивает поверхность $\mathbf{\Gamma }$ на две части листы ${\mathrm{\Gamma }}_{\pm }$.

Қак и в быстроубывающем случае, мы начинаем с формулы связи решений Иоста
$$T_{-}(x,\lambda )=T_{+}(x,\lambda )T_o(\lambda )$$
(см. (I.8.43)), где $\lambda$ из ${\mathbb{R}}_{\bullet }$, а $T_{\rho }(\lambda )$ — приведенная матрица монодромии
$$T_{\rho }(\lambda )=\left(\begin{array}{ll}{a}_{\rho }(\lambda )& {\overline{b}}_{\rho }(\lambda )\\ b_{\rho }(\lambda )& \overline{a_{\rho }}(\lambda )\end{array}\right).$$

Инволюции (I.8.41) — (I.8.42) означают, что для $\lambda$ из ${\mathbb{R}}_{\omega }$
$$T_{\pm }(x,\lambda -i0)=\frac{i(\lambda +k)}{\omega }{\sigma }_1\overline{T_{\pm }}(x,\lambda +i0{)}_{-}{\sigma }_3$$

и
$${\overrightarrow{T}}_{\rho }(\lambda -i0)={\sigma }_3{\overline{T}}_{\rho }(\lambda +i0){\sigma }_3.$$

По аналогии с $\mathrm{\S }1$ введем матрицы
$$S_{+}(x,\lambda )=(T_{-}^{(1)}(x,\lambda ),T_{+}^{(2)}(x,\lambda ))$$

и
$$S_{-}(x,\lambda )=(T_{+}^{\prime 1)}(x,\lambda ),T_{-}^{(2)}(x,\lambda )),$$

которые аналитически продолжаются на листы ${\mathrm{\Gamma }}_{\pm }$соответственно (см. $\mathrm{\S }$ I.8) и при $\lambda$ из ${\mathcal{R}}_{\omega }$ удовлетворяют соотношению
$$S_{-}(x,\lambda )=S_{+}(x,\lambda )S_{\rho }(\lambda ),$$

где
$$S_{\rho }(\lambda )=\frac{1}{a_{\rho }(\lambda )}\left(\begin{array}{cc}1& {\overline{b}}_{\rho }(\lambda )\\ -b_{\rho }(\lambda )& 1\end{array}\right).$$

В теории рассеяния для вспомогательной линейной задачи матрица $S_0(\lambda )$ играет роль матрицы рассеяния, а функции $\frac{1}{a_0(\lambda )}$ и $\frac{b_{\rho }(\lambda )}{a_{\rho }(\lambda )}$ имеют смысл коэффициентов прохождения и отражения соответственно.

В терминах матриц $S_{\pm }(x,\lambda )$ асимптотики при $|\lambda |\to \mathrm{\infty }-$ формулы (I.8.28) — (I.8.31) принимают вид:
$$S_{+}(x,\lambda )E^{-1}(x,k(\lambda ))=S(\theta )(I+O\left(\frac{1}{|\lambda |}\right)),$$

где $\lambda$ из ${\mathbf{\Gamma }}_{+}$и $\mathrm{Im}\lambda >0$,
$$S_{+}(x,\lambda )E^{-1}(x,k(\lambda ))=\frac{2{\lambda }_r}{\omega }{\sigma }_2{S}^{-1}(\theta )(I+O\left(\frac{1}{|\lambda |}\right)),$$

где $\lambda$ из ${\mathbf{\Gamma }}_{+}$и $\mathrm{Im}\lambda <0$, а также
$$S_{-}(x,\lambda )E^{-1}(x,k(\lambda ))=e^{-i\theta /2}S(\theta )(I+O\left(\frac{1}{|\lambda |}\right)),$$

где $\lambda$ из ${\mathrm{\Gamma }}_{-}$и $\mathrm{Im}\lambda <0$,
$$S_{-}(x,\lambda )E^{-1}(x,k(\lambda ))=\frac{2\lambda }{\omega }{\sigma }_2{e}^{i\theta /2}{S}^{-1}(\theta )(I+O\left(\frac{1}{|\lambda |}\right)),$$

где $\lambda$ из ${\mathbf{\Gamma }}_{-}$и $\mathrm{Im}\lambda >0$. Напомним, что $E(x,k)=\exp \left\{\frac{kx{\sigma }_3}{2i}\right\}$. и мы ввели обозначение
$$S(\theta )=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i\theta /2}\end{array}\right).$$

Рассмотрим теперь матрицы
$$G_{+}(x,\lambda )=a_{\rho }(\lambda )G(\theta )E(x,k(\lambda ))S_{+}^{-1}(x,\lambda )$$

и
$$G_{-}(x,\lambda )=S_{-}(x,\lambda )E^{-1}(x,k(\lambda ))G^{-1}(\theta ),$$

где $G(\theta )=e^{-i\theta /2}S(\theta )$. Они аналитически продолжаются в соответствующие листы ${\mathrm{\Gamma }}_{\pm }$, за возможным исключением точек вет-

вления $\lambda =\pm \omega$ (см. ниже), и дают решение матричной задачи Римана
$$G_{+}(x,\lambda )G_{-}(x,\lambda )=G_{\rho }(x,\lambda ),$$

где
$$G_{\rho }(x,\lambda )=G(\theta )E(x,k(\lambda ))G_{\rho }(\lambda )E^{-1}(x,k(\lambda ))G^{-1}(\theta )=$$
$$=\left(\begin{array}{cc}1& e^{-i\theta /1-ikx}{\overrightarrow{b}}_{\rho }(\lambda )\\ -e^{i\theta /2+ikx}{b}_{\rho }(\lambda )& 1\end{array}\right),$$
a
$$G_0(\lambda )=\left(\begin{array}{cc}1& {\overline{b}}_{\rho }(\lambda )\\ -b_{\rho }(\lambda )& 1\end{array}\right)$$
(сравни с $\mathrm{\S }1$ ).
Матрицы $G_{\pm }(x,\lambda )$ невырожденны на листах ${\mathbf{\Gamma }}_{\pm }$, за иск.ючением точек ${\lambda }_j^{(\pm )}=({\lambda }_j,\pm ),j=1,\dots ,n$. Более точно, имеют место формулы
$$\det G_{+}(x,\lambda )=\frac{e^{-i\theta /2}{\omega }^2}{2k(\lambda -k)}{a}_{\rho }(\lambda )$$

для $\lambda$ из ${\mathbf{\Gamma }}_{+}$и
$$\det G_{-}(x,\lambda )=\frac{2e^{i\theta /2}k(\lambda -k)}{{\omega }^2}{a}_{\rho }^{\ast }(\lambda )$$

для $\lambda$ из ${\mathbf{\Gamma }}_{-}$, где $a_{\rho }^{\ast }(\lambda )$ — аналитическое продолжение функции ${\overline{a}}_{\rho }(\lambda )$ на лист ${\mathrm{\Gamma }}_{-}$; функции $a_{\rho }(\lambda )$ и $a_{\rho }^{\ast }(\lambda )$ как раз и имеют нули в төчках $\lambda ={\lambda }_f^{(\pm )},j=1,\dots ,n$. При этом (см. формулы (I.8.36), $($ I.9.22) и $(6.14)-(6.15))$
$$\mathrm{Im}{G}_{+}(x,{\lambda }_i^{(+)})={\tilde{N}}_i^{(+)}(x)$$

и
$$\mathrm{Ker}{G}_{-}(x,{\lambda }_j^{(-)})={\tilde{N}}_j^{(-)}(x),$$

где ${\tilde{N}}_j^{(+)}(x)$ и ${\tilde{N}}_j^{(-)}(x)$ — одномерные подпространства в ${\mathbb{C}}^2$, натянутые соответственно на векторы
$$\left(\begin{array}{c}1\\ -e^{i\theta /2+i{k}_{j}x}{\gamma }_j\end{array}\right)\text{ и }\left(\begin{array}{c}{e}^{-i\theta /=+i{k}_{j}x}{\gamma }_j\\ 1\end{array}\right);$$
${\gamma }_j=-{\overline{\gamma }}_j$ — коэффициенты перехода дискретного спектра, а $k_j=$ $=i{\sqrt{{\omega }^2-{\lambda }_j^2}}^{2}j=1,\dots ,n$.

Таким образом, равенство (6.16) представляет собой задачу Римана с нулями на поверхности $\mathrm{\Gamma }$. Продолжим перечисление свойств матриц $G_{\rho }(x,\lambda )$ и $G_{\pm }(x,\lambda )$, участвующих в этой задаче.
Начнем с матрицы $G_{\rho }(x,\lambda )$ и чисел ${\lambda }_j,{\gamma }_j,j=1,\dots ,n$.

1) Матрица $G_{\rho }(x,\lambda )$ имеет вид (6.17), где функция $b_{\rho }(\lambda )$ допускает интегральное представление
$$b_{\rho }(\lambda )=\frac{1}{k}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\beta }_{\rho }^{(1)}(x)e^{ikx}dx+\frac{\lambda }{k}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\beta }_{\rho }^{(2)}(x)e^{ikx}dx,$$

где $\lambda$ из ${\mathcal{R}}_{\omega },\mathit{a}{\mathit{\beta }}_{\rho }^{(\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{2})}(x)$ — вещественнозначные шварцевские функции. (Это представление получается из (I.9.15) в результате интегрирования по частям.)

Отсюда, в частности, получаем, что матрица $G_{\rho }(x,\lambda )$ имеет асимптотику при $|\lambda |\to \mathrm{\infty }$
$$G_{\rho }(x,\lambda )=I+O\left(\frac{1}{|\lambda |}\right)$$

и удовлетворяет инволюции
$$G_{\rho }(x,\lambda -i0)={\sigma }_3{Q}^{-1}(\theta )\overline{G_{\rho }}(x,\lambda +i0)Q(\theta ){\sigma }_3.$$
2) Попарно несовпадающие вещественные числа ${\lambda }_{\mathrm{J}}$ лежат в лакуне $-\omega <{\lambda }_j<\omega$, а числа ${\gamma }_{j}eq0$-чисто мнимые, $j=1,\dots$ $\dots ,n$.

Следующие три свойства характеризуют связь функции $b_{\rho }(\lambda )$ и параметров ${\lambda }_j,{\gamma }_j$ (см. §I.9). Именно, имеют место:
3) условие ( $\theta$ );
4) условие выбора знаков;
5) соотнотиение связи
$$\mathrm{sign}i{\gamma }_j=\mathrm{sign}\frac{d{a}_{\rho }}{d\lambda }\left({\lambda }_j\right),$$

где функция $a_{\rho }(\lambda )$ строится по $b_{\rho }(\lambda ),\theta$ и числам ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ по формуле
$$\begin{array}{rl}{a}_{\rho }(\lambda )=e^{\frac{i\theta }{2}}& \prod _{j=1}^n\frac{\lambda +k-{\lambda }_j-k_j}{\lambda +k-{\lambda }_j+k_j}\times \\ & \times \exp \left\{\frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\mathbb{R}}_{\mathit{\omega }}}\frac{\ln (1+{|b_{\rho }(\mu )|}^2)}{k(\mu )}(1+\frac{k}{\mu -\lambda })d\mu \right\}.\end{array}$$

Матрицы $G_{\pm }(x,\lambda )$, помимо сформулированного выше свойства вырождения, обладают следующими свойствами.
1) Асимптотики при $|\lambda |\to \mathrm{\infty }$
$$G_{\pm }(x,\lambda )=I+O\left(\frac{1}{|\lambda |}\right),$$

где, соответственно, $\lambda$ из ${\mathrm{\Gamma }}_{\pm }$и $\pm \mathrm{Im}\lambda >0$; в случае $\pm \mathrm{Im}\lambda <0$ имеем
$$G_{+}(x,\lambda )=\frac{\omega }{2\lambda }{G}^2(\theta ){\sigma }_2(I+O\left(\frac{1}{|\lambda |}\right))$$

и
$$G_{-}(x,\lambda )=\frac{2\lambda }{\omega }{\sigma }_2{G}^{-2}(\theta )(I+O\left(\frac{1}{|\lambda |}\right)).$$
2) Свойства инволюции при $\lambda из{\mathbb{R}}_{\omega }$
$$\begin{array}{l}{G}_{+}(x,\lambda -i0)=\frac{\omega }{i(\lambda +k)}{\sigma }_3{G}^2(\theta )\overline{G_{+}}(x,\lambda +i0){\sigma }_1,\\ G_{-}(x,\lambda -i0)=\frac{i(\lambda +k)}{\omega }{\sigma }_1{\overrightarrow{G}}_{-}(x,\lambda +i0)G^{-2}(\theta ){\sigma }_3,\end{array}$$

согласованные с асимптотиками (6.28) — (6.30).
3) Асилптотики при $|x|\to \mathrm{\infty }$ и $\lambda$ из ${\mathbb{R}}_{\omega }$
$$\begin{array}{l}{G}_{+}^{-1}(x,\lambda )=Q^{-1}(\theta )E_{\rho }(\lambda )\left(\frac{b_{\rho }(\lambda )}{a_{\rho }(\lambda )}{e}^{i\theta /2+ikx}\frac{1}{a_{\rho }(\lambda )}\right)+o(1),\\ G_{-}(x,\lambda )=Q^{-1}(\theta )E_{\rho }(\lambda )\left(\begin{array}{cc}{e}^{i\theta /2}& {\overline{b}}_{\rho }(\lambda )e^{-ikx}\\ 0& {\overline{a}}_{\rho }(\lambda )\end{array}\right)+o(1)\end{array}$$

при $x\to +\mathrm{\infty }$ и
$$\begin{array}{l}{G}_{+}^{-1}(x,\lambda )=E_{\rho }(\lambda )\left(\begin{array}{cc}\frac{e^{i\theta /g}}{a_{\rho }(\lambda )}& -\frac{{\overline{b}}_{\rho }(\lambda )}{a_{\rho }(\lambda )}{e}^{-ikx}\\ 0& 1\end{array}\right)+o(1),\\ G_{-}(x,\lambda )=E_{\rho }(\lambda )\left(\begin{array}{cc}{\overline{a}}_{\rho }(\lambda )e^{i\theta /2}& 0\\ -b_{\rho }(\lambda )e^{i\theta /u+ikx}& 1\end{array}\right)+o(1)\end{array}$$

при $x\to -\mathrm{\infty }$. Здесь $E_{\rho }(\lambda )={E_{\rho }(x,\lambda )|}_{x=0}$ и $Q(\theta )=\exp \frac{i\theta {\sigma }_3}{2}$.
4) Поведение в точках ветвления $\lambda =\pm \omega$.
Формулировка этого свойства зависит от поведения функции $b_p(\lambda )$ при $\lambda =\pm \omega$. Рассмотрим сначала случай $\lambda =\omega$. Мы имеем две возможности.
а) Виртуальный уровень
$$|b_{\rho }(\omega )|<\mathrm{\infty }\text{. }$$

В этом случае матрицы $G_{-}(x,\omega )$ и $G_{+}^{-1}(x,\omega )$ вырождаются и прн этом
$$\mathrm{Ker}{G}_{+}^{-1}(x,\omega )=N_{\omega }^{(+)},\mathrm{Ker}{G}_{-}(x,\omega )=N_{\omega }^{(-)},$$

где $N_{\omega }^{(+)}$и $N_{\omega }^{(-)}$- одномерные подпространства в ${\mathbb{C}}^2$, натянутые соответственно на векторы $(-c_{+}{e}^{\frac{i_{\theta }}{2}})$ и $\left(c_{+}{e}^{-\frac{i_{\theta }}{2}}\right)$, а
$$c_{+}=b_{\rho }(\omega )+i{a}_{\rho }(\omega )$$
(см. формулу (1.9.9)). При этом в силу (I.9.13) $c_{+}=-{\overline{c}}_{+}$.

б) Случай общего положения
$$b_{\rho }(\lambda )=\frac{b_{+}}{k}+O(1),b_{+}eq0,$$

в окрестности $\lambda =\omega$. Здесь матрица $G_{-}(x,\omega )$ невырожденна, а матрица $G_{+}(x,\lambda )$ в окрестности $\lambda =\omega$ представляется в виде
$$G_{+}(x,\lambda )=\frac{G_{+}(x)}{k}+O$$

с некоторой невырожденной матрицей $G_{+}(x)$ (см. формулы (I.9.11) и (6.19) — (6.20)).

Случай $\lambda =-\omega$ описывается аналогично. Если $\lambda =-\omega -$ виртуальный уровень, то константа $c_{+}$вида (6.39) заменяется на
$$c_{-}=b_{\rho }(-\omega )-i{a}_{\rho }(-\omega ).$$

Приведенная формулировка задачи Римана и свойства матриц $G_{\rho }(x,\lambda )$ и $G_{\pm }(x,\lambda )$ выглядят сложнее, чем аналогичные свойства для задачи Римана в быстроубывающем случае. Это связано в первую очередь с характером непрерывного спектра вспомогательной линейной задачи и, в особенности, с тем, что этот спектр имеет лакуну — интервал $-\omega <\lambda <\omega$.

Перечисленные свойства матриц $G_{\rho }(x,\lambda )$ и $G_{\pm }(x,\lambda )$ были фактически получены в § I.8-I.9 при исследовании вспомогательной линейной задачи. Перейдем теперь к решению обратной задачи. Оно основано на матричной задаче Римана с нулями:
$$G_p(x,\lambda )=G_{+}(x,\lambda )G_{-}(x,\lambda ),$$

причем матрица $G_{\rho }(x,\lambda )$, нули ${\lambda }_j$, константы ${\gamma }_j$ и параметр $\theta$, $0⩽\theta <2\pi$, играют роль данных задачи Римана, а матрицы $G_{\pm }(x,\lambda )$ дают ее решение. Переменная $x$ является параметром в этой задаче.

Нменно, будем считать, что данные $G_{\rho }(x,\lambda ),{\lambda }_j,{\gamma }_{j}u\theta$ удовлетворяют условиям 1)-5). Решения $G_{\pm }(x,\lambda )$ ищутся в классах матриц, аналитических на листах ${\mathbf{\Gamma }}_{\pm }^{\pm }$(за возможным исключением точек ветвления), удовлетворяющих условиям вырождения (6.21)-(6.22) и обладающих свойствами 1)-2) и 4).
Тогда утверждается следующее.
I. Задача Римана однозначно разрешима.
II. Матрицы $S_{\pm }(x,\lambda )$, построенные по решениям $G_{\pm }(x,\lambda )$ по формулам (6.14)-(6.15), удовлетворяют дифференцильному уравнению вспомогательной линейной задачи
$$\frac{d{S}_{\pm }(x,\lambda )}{.dx}=(\frac{\lambda {\sigma }_3}{2i}+U_0(x)){\mathcal{S}}_{\pm }(x,\lambda ),$$

где
$$U_0(x)=\sqrt{x}(\overline{\psi }(x){\sigma }_{+}+\psi (x){\sigma }_{-}).$$

III. Решения $G_{\pm }(x,\lambda )$ илеют асимптотики при $x\to \pm \mathrm{\infty }$, предписанные свойством 3$)$.
IV. Функции $\psi (x),\overline{\psi }(x)$ удовлетворяют граничным условиям конечной плотности
$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\psi (x)=\rho ,\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\psi (x)=\rho {\epsilon }^{i\theta },$$

где $\rho =\frac{\omega }{2\sqrt{x}}$ ираничные значения принимаются в смысле Шварца.
V. Функции $a_{\rho }(\lambda )$ и $b_{\rho }(\lambda )$, где $a_{\rho }(\lambda )$ дается формулой (6.27), являются коэффициентами перехода непрерывного спектра вспомогательной линейной задачи (6.44), а матриць $S_{\pm }(x,\lambda )$ составлены из соответствующих решений Иоста по формулам (6.5) — (6.6). Дискретный спектр вспомогательной линейной задачи состоит из набора чисел ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$, а величины ${\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_n$ иерают роль соответствующих коэффицентов перехода.

Доказательство сформулированных утверждений может быть проведено по схеме $\mathrm{\$}2$. При этом, поскольку риманова поверхность $\mathrm{\Gamma }$ имеет род 0 , удобно перейти к униформизующей переменной $z$ из $\mathrm{\S }$ I. 9
$$\lambda (z)=\frac{1}{2}(z+\frac{{\omega }^2}{z}),k(z)=\frac{1}{2}(z-\frac{{\omega }^2}{z}),$$

так что контур ${\mathcal{R}}_0$ переходит в вещественную ось на комплексной $z$-плоскости. Листы ${\mathbf{\Gamma }}_{\pm }$переходят в верхню и нижнюю полуплоскости соответственно; окрестность точки $\lambda =\mathrm{\infty }$ на ${\mathbf{\Gamma }}_{\text{土 }}$ с условием $\pm \mathrm{Im}\lambda >0$ переходит в окрестность точки $z=\mathrm{\infty }$, а окрестность точки $\lambda =\mathrm{\infty }$ на ${\mathrm{\Gamma }}_{\pm }$с условием $\pm \mathrm{Im}\lambda <0$ — ворестность точки $z=0$. Инволюции $\lambda -i0\mapsto \lambda +i0$ на ${\mathcal{R}}_{\omega }$ при таком отображении отвечает инволюция $z\mapsto {\omega }^2/z$ вещественной прямой.

Из формул (I.8.13) (I.8.14) и (I.9.14) для функций $G_{\pm }(x,z)=G_{\pm }(x,\lambda (z))$. имеем интегральные представления
$$\begin{array}{rl}{G}_{+}(x,z)=& \frac{z^2}{z^2-{\omega }^2}(I-\frac{\omega }{z}{G}^2(\theta ){\sigma }_2+\\ & +{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Phi }}_{+}^{(1)}(x,s)e(s,z)ds+\frac{1}{z}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Phi }}_{+}^{(z)}(x,s)e(s,z)ds)\end{array}$$

и
$$\begin{array}{rl}{G}_{-}(x,z)=I& +\frac{\omega }{z}{\sigma }_2{G}^{-2}(\theta )+\\ & +{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Phi }}_{-}^{(1)}(x,s)e(s,z)ds+\frac{1}{z}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Phi }}_{-}^{(2)}(x,s)e(s,z)ds,\end{array}$$

где
$$e(s,z)=e^{2iskz)}=e^{is(z-\frac{{\omega }^2}{z})}.$$

Эти интегральные представления обобщают соответствующие формулы (1.36) для быстроубывающего случая. В них явно учтены как асимптотики (6.28)-(6.30), так и особенности матрицы $G_{+}(x,z)$ при $z=\pm \omega$ (см. условие 4$)$ ).

Интегральные представления (6.48) — (6.49) и являются основой для доказательства утверждений I — V. Используя их, можно получить систему интегральных уравнений, заменяющую нсходную задачу Римана и являющуюся аналогом уравнения Винера — Хопфа в быстроубывающем случае (см. §2). В нашем случае, однако, возникают дополнительные технические осложнения. Во-первых, следует отдельно рассматривать случаи различного поведения $b_{\rho }(\lambda )$ в точках ветвления $\lambda =\pm \omega$; всего имеется четыре возможности. Во-вторых, в силу свойств 3 ) -5) данные дискретного спектра ${\lambda }_j,{\gamma }_j$ не независимы от данных непрерывного спектра $b_{\rho }(\lambda )$; в частности, в случае виртуального уровня они участвуют в характеристике поведения матрицы $G_{+}^{-1}(x,\lambda )$ при $\lambda =\pm 0$ (см. условие 4)). Тем самым решение задачи Pимана с нулями нельзя представить в виде произведения множителей Бляшке — Потапова и решения регулярной задачи Римана с теми же данными непрерывного спектра (сравни с $\mathrm{\S }2$ ).

Поэтому подробное исследование задачи Римапа (6.43) по схеме из $\mathrm{\S }2$ выглядит весьма громоздко и не является столь поучительным, чтобы его приводить здесь со всеми деталями. Вместо этого в следующем параграфе мы более подробно рассмотрим другой подход к решению обратной задачи, основанный на формализме Гельфанда — Левитана — Марченко и также приводящий к доказательству утверждений I-V.

В заключение этого параграфа укажем, что, аналогично \& 3 , метод задачи Римана позволяет доказать, что еслиданные b (i), ${\lambda }_j,{\gamma }_j$ зависят от согласно формулам (1.10.7)
$$\begin{array}{c}{b}_{\rho }(\lambda ,t)=e^{-i{\lambda }_{k}t}{k}_{\rho }(\lambda ,0),{\gamma }_j(t)=e^{-i{\lambda }_j{k}_{j}t}{\gamma }_j(0),\\ {\lambda }_{ij}(t)={\lambda }_j(0),j=1,\dots ,n,\end{array}$$

то построеная по ним функця $\mathrm{\Psi }(x,t)$ удовлетворяет уразнению ННІ для граничных условий конечной плотности.

Для этого следует включить в задачу Римана (6.43) зависпмость от $t$ :
$$G_{\rho }(x,t,\lambda )=G_{+}(x,t,\lambda )G_{-}(x,t,\lambda ),$$

где
$$G_{\rho }(x,t,\lambda )=E^{-1}(t,\lambda k(\lambda ))G_{\rho }(x,\lambda )E(t,\lambda k(\lambda )).$$

Рассматривая вытекающее из (6.52) — (6.53) равенство
$$\frac{\partial F_{+}}{\partial t}(x,t,\lambda )F_{+}^{-1}(x,t,\lambda )=\frac{\partial F_{-}}{\partial t}(x,t,\lambda )F_{-}^{-1}(x,t,\lambda )$$

где
$$F_{\pm }(x,t,\lambda )=S_{\pm }(x,t,\lambda )E^{-1}(t,\lambda k(\lambda )),$$

и действуя по аналогии с $\mathrm{\$}3$, получаем, что эти матрицы, наряду с уравнением по $x$
$$\frac{\partial F_{\pm }}{\partial x}=U(x,t,\lambda )F_{\pm },$$

удовлетворяют также и уравнению по $t$
$$\frac{\partial F_{\pm }}{\partial t}=V_0(x,t,\lambda )F_{\pm },$$

где матрица $V_{\rho }(x,t,\lambda )$ совпадает с введенной в $\mathrm{\S }$ I.2.
Таким образом, и в случае конечной плотности метод задачи Римана приводит к условию нулевой кривизны, так что построенная в результате решения обратной задачи функция $\psi (x,t)$ удовлетворлет уравнению НІІІ.