Начиная с этого параграфа, мы перейдем к решению обратной задачи для случая граничных условий конечной плотности. Эта задача состоит в восстановлении функций $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ по коэффициентам перехода $a_{p}(\lambda), b_{p}(\lambda)$ и характеристикам дискретного спектра $\lambda_{j}, \gamma_{j}$. Мы ограничимся случаем, когда граничные значения функций $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ при $x \rightarrow \pm \infty$ принимаются в смысле Шварца.

Как и в быстроубывающем случае, существуют два подхода к решению обратной задачи, основанные на матричной задаче Римана и на формализме Гельфанда — Левитана-Марченко соответственно.

В этом параграфе мы опишем первый подход, основаниый на матричной задаче Римана. Она естественно формулируется на римановой поверхности $\Gamma$ функции $k(\lambda)=\sqrt{ } \lambda^{\underline{2}-\omega^{2}}$ с заданным на ней контуром $\mathscr{R}_{\omega}$, состоящим из точек $(\lambda, \varepsilon)$, где $\varepsilon= \pm 1$ и $\lambda$ из $\mathbb{R}_{\omega}$, т. е. $\lambda$ вещественно и удовлетворяет условию $|\lambda| \geqslant \omega$; см. §I.8. Контур $\mathscr{R}_{\omega}$ разбивает поверхность $\boldsymbol{\Gamma}$ на две части листы $\Gamma_{ \pm}$.

Қак и в быстроубывающем случае, мы начинаем с формулы связи решений Иоста
\[
T_{-}(x, \lambda)=T_{+}(x, \lambda) T_{o}(\lambda)
\]
(см. (I.8.43)), где $\lambda$ из $\mathbb{R}_{\bullet}$, а $T_{\rho}(\lambda)$ — приведенная матрица монодромии
\[
T_{\rho}(\lambda)=\left(\begin{array}{ll}
a_{\rho}(\lambda) & \bar{b}_{\rho}(\lambda) \\
b_{\rho}(\lambda) & \overline{a_{\rho}}(\lambda)
\end{array}\right) .
\]

Инволюции (I.8.41) — (I.8.42) означают, что для $\lambda$ из $\mathbb{R}_{\omega}$
\[
T_{ \pm}(x, \lambda-i 0)=\frac{i(\lambda+k)}{\omega} \sigma_{1} \overline{T_{ \pm}}(x, \lambda+i 0)_{-} \sigma_{3}
\]

и
\[
\vec{T}_{\rho}(\lambda-i 0)=\sigma_{3} \bar{T}_{\rho}(\lambda+i 0) \sigma_{3} .
\]

По аналогии с $\S 1$ введем матрицы
\[
S_{+}(x, \lambda)=\left(T_{-}^{(1)}(x, \lambda), T_{+}^{(2)}(x, \lambda)\right)
\]

и
\[
S_{-}(x, \lambda)=\left(T_{+}^{\prime 1)}(x, \lambda), T_{-}^{(2)}(x, \lambda)\right),
\]

которые аналитически продолжаются на листы $\Gamma_{ \pm}$соответственно (см. $\S$ I.8) и при $\lambda$ из $\mathscr{R}_{\omega}$ удовлетворяют соотношению
\[
S_{-}(x, \lambda)=S_{+}(x, \lambda) S_{\rho}(\lambda),
\]

где
\[
S_{\rho}(\lambda)=\frac{1}{a_{\rho}(\lambda)}\left(\begin{array}{cc}
1 & \bar{b}_{\rho}(\lambda) \\
-b_{\rho}(\lambda) & 1
\end{array}\right) .
\]

В теории рассеяния для вспомогательной линейной задачи матрица $S_{0}(\lambda)$ играет роль матрицы рассеяния, а функции $\frac{1}{a_{0}(\lambda)}$ и $\frac{b_{\rho}(\lambda)}{a_{\rho}(\lambda)}$ имеют смысл коэффициентов прохождения и отражения соответственно.

В терминах матриц $S_{ \pm}(x, \lambda)$ асимптотики при $|\lambda| \rightarrow \infty-$ формулы (I.8.28) — (I.8.31) принимают вид:
\[
S_{+}(x, \lambda) E^{-1}(x, k(\lambda))=S(\theta)\left(I+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right)\right),
\]

где $\lambda$ из $\boldsymbol{\Gamma}_{+}$и $\operatorname{Im} \lambda>0$,
\[
S_{+}(x, \lambda) E^{-1}(x, k(\lambda))=\frac{2 \lambda_{r}}{\omega} \sigma_{2} S^{-1}(\theta)\left(I+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right)\right),
\]

где $\lambda$ из $\boldsymbol{\Gamma}_{+}$и $\operatorname{Im} \lambda<0$, а также
\[
S_{-}(x, \lambda) E^{-1}(x, k(\lambda))=e^{-i \theta / 2} S(\theta)\left(I+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right)\right),
\]

где $\lambda$ из $\Gamma_{-}$и $\operatorname{Im} \lambda<0$,
\[
S_{-}(x, \lambda) E^{-1}(x, k(\lambda))=\frac{2 \lambda}{\omega} \sigma_{2} e^{i \theta / 2} S^{-1}(\theta)\left(I+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right)\right),
\]

где $\lambda$ из $\boldsymbol{\Gamma}_{-}$и $\operatorname{Im} \lambda>0$. Напомним, что $E(x, k)=\exp \left\{\frac{k x \sigma_{3}}{2 i}\right\}$. и мы ввели обозначение
\[
S(\theta)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & e^{i \theta / 2}
\end{array}\right) .
\]

Рассмотрим теперь матрицы
\[
G_{+}(x, \lambda)=a_{\rho}(\lambda) G(\theta) E(x, k(\lambda)) S_{+}^{-1}(x, \lambda)
\]

и
\[
G_{-}(x, \lambda)=S_{-}(x, \lambda) E^{-1}(x, k(\lambda)) G^{-1}(\theta),
\]

где $G(\theta)=e^{-i \theta / 2} S(\theta)$. Они аналитически продолжаются в соответствующие листы $\Gamma_{ \pm}$, за возможным исключением точек вет-

вления $\lambda= \pm \omega$ (см. ниже), и дают решение матричной задачи Римана
\[
G_{+}(x, \lambda) G_{-}(x, \lambda)=G_{\rho}(x, \lambda),
\]

где
\[
G_{\rho}(x, \lambda)=G(\theta) E(x, k(\lambda)) G_{\rho}(\lambda) E^{-1}(x, k(\lambda)) G^{-1}(\theta)=
\]
\[
=\left(\begin{array}{cc}
1 & e^{-i \theta / 1-i k x} \vec{b}_{\rho}(\lambda) \\
-e^{i \theta / 2+i k x} b_{\rho}(\lambda) & 1
\end{array}\right),
\]
a
\[
G_{0}(\lambda)=\left(\begin{array}{cc}
1 & \bar{b}_{\rho}(\lambda) \\
-b_{\rho}(\lambda) & 1
\end{array}\right)
\]
(сравни с $\S 1$ ).
Матрицы $G_{ \pm}(x, \lambda)$ невырожденны на листах $\boldsymbol{\Gamma}_{ \pm}$, за иск.ючением точек $\lambda_{j}^{( \pm)}=\left(\lambda_{j}, \pm\right), j=1, \ldots, n$. Более точно, имеют место формулы
\[
\operatorname{det} G_{+}(x, \lambda)=\frac{e^{-i \theta / 2} \omega^{2}}{2 k(\lambda-k)} a_{\rho}(\lambda)
\]

для $\lambda$ из $\boldsymbol{\Gamma}_{+}$и
\[
\operatorname{det} G_{-}(x, \lambda)=\frac{2 e^{i \theta / 2} k(\lambda-k)}{\omega^{2}} a_{\rho}^{*}(\lambda)
\]

для $\lambda$ из $\boldsymbol{\Gamma}_{-}$, где $a_{\rho}^{*}(\lambda)$ — аналитическое продолжение функции $\bar{a}_{\rho}(\lambda)$ на лист $\Gamma_{-}$; функции $a_{\rho}(\lambda)$ и $a_{\rho}^{*}(\lambda)$ как раз и имеют нули в төчках $\lambda=\lambda_{f}^{( \pm)}, j=1, \ldots, n$. При этом (см. формулы (I.8.36), $($ I.9.22) и $(6.14)-(6.15))$
\[
\operatorname{Im} G_{+}\left(x, \lambda_{i}^{(+)}\right)=\tilde{N}_{i}^{(+)}(x)
\]

и
\[
\operatorname{Ker} G_{-}\left(x, \lambda_{j}^{(-)}\right)=\widetilde{N}_{j}^{(-)}(x),
\]

где $\widetilde{N}_{j}^{(+)}(x)$ и $\widetilde{N}_{j}^{(-)}(x)$ — одномерные подпространства в $\mathbb{C}^{2}$, натянутые соответственно на векторы
\[
\left(\begin{array}{c}
1 \\
-e^{i \theta / 2+i k_{j} x} \gamma_{j}
\end{array}\right) \text { и }\left(\begin{array}{c}
e^{-i \theta /=+i k_{j} x} \gamma_{j} \\
1
\end{array}\right) ;
\]
$\gamma_{j}=-\bar{\gamma}_{j}$ — коэффициенты перехода дискретного спектра, а $k_{j}=$ $=i{\sqrt{\omega^{2}-\lambda_{j}^{2}}}^{2} j=1, \ldots, n$.

Таким образом, равенство (6.16) представляет собой задачу Римана с нулями на поверхности $\Gamma$. Продолжим перечисление свойств матриц $G_{\rho}(x, \lambda)$ и $G_{ \pm}(x, \lambda)$, участвующих в этой задаче.
Начнем с матрицы $G_{\rho}(x, \lambda)$ и чисел $\lambda_{j}, \gamma_{j}, j=1, \ldots, n$.

1) Матрица $G_{\rho}(x, \lambda)$ имеет вид (6.17), где функция $b_{\rho}(\lambda)$ допускает интегральное представление
\[
b_{\rho}(\lambda)=\frac{1}{k} \int_{-\infty}^{\infty} \beta_{\rho}^{(1)}(x) e^{i k x} d x+\frac{\lambda}{k} \int_{-\infty}^{\infty} \beta_{\rho}^{(2)}(x) e^{i k x} d x,
\]

где $\lambda$ из $\mathscr{R}_{\omega}, \boldsymbol{a} \boldsymbol{\beta}_{\rho}^{(\mathbf{1 , 2})}(x)$ — вещественнозначные шварцевские функции. (Это представление получается из (I.9.15) в результате интегрирования по частям.)

Отсюда, в частности, получаем, что матрица $G_{\rho}(x, \lambda)$ имеет асимптотику при $|\lambda| \rightarrow \infty$
\[
G_{\rho}(x, \lambda)=I+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right)
\]

и удовлетворяет инволюции
\[
G_{\rho}(x, \lambda-i 0)=\sigma_{3} Q^{-1}(\theta) \overline{G_{\rho}}(x, \lambda+i 0) Q(\theta) \sigma_{3} .
\]
2) Попарно несовпадающие вещественные числа $\lambda_{\mathrm{J}}$ лежат в лакуне $-\omega<\lambda_{j}<\omega$, а числа $\gamma_{j}
eq 0$-чисто мнимые, $j=1, \ldots$ $\ldots, n$.

Следующие три свойства характеризуют связь функции $b_{\rho}(\lambda)$ и параметров $\lambda_{j}, \gamma_{j}$ (см. §I.9). Именно, имеют место:
3) условие ( $\theta$ );
4) условие выбора знаков;
5) соотнотиение связи
\[
\operatorname{sign} i \gamma_{j}=\operatorname{sign} \frac{d a_{\rho}}{d \lambda}\left(\lambda_{j}\right),
\]

где функция $a_{\rho}(\lambda)$ строится по $b_{\rho}(\lambda), \theta$ и числам $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ по формуле
\[
\begin{aligned}
a_{\rho}(\lambda)=e^{\frac{i \theta}{2}} & \prod_{j=1}^{n} \frac{\lambda+k-\lambda_{j}-k_{j}}{\lambda+k-\lambda_{j}+k_{j}} \times \\
& \times \exp \left\{\frac{1}{2 \pi i} \int_{\mathbb{R}_{\boldsymbol{\omega}}} \frac{\ln \left(1+\left|b_{\rho}(\mu)\right|^{2}\right)}{k(\mu)}\left(1+\frac{k}{\mu-\lambda}\right) d \mu\right\} .
\end{aligned}
\]

Матрицы $G_{ \pm}(x, \lambda)$, помимо сформулированного выше свойства вырождения, обладают следующими свойствами.
1) Асимптотики при $|\lambda| \rightarrow \infty$
\[
G_{ \pm}(x, \lambda)=I+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right),
\]

где, соответственно, $\lambda$ из $\Gamma_{ \pm}$и $\pm \operatorname{Im} \lambda>0$; в случае $\pm \operatorname{Im} \lambda<0$ имеем
\[
G_{+}(x, \lambda)=\frac{\omega}{2 \lambda} G^{2}(\theta) \sigma_{2}\left(I+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right)\right)
\]

и
\[
G_{-}(x, \lambda)=\frac{2 \lambda}{\omega} \sigma_{2} G^{-2}(\theta)\left(I+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right)\right) .
\]
2) Свойства инволюции при $\lambda и з \mathbb{R}_{\omega}$
\[
\begin{array}{l}
G_{+}(x, \lambda-i 0)=\frac{\omega}{i(\lambda+k)} \sigma_{3} G^{2}(\theta) \overline{G_{+}}(x, \lambda+i 0) \sigma_{1}, \\
G_{-}(x, \lambda-i 0)=\frac{i(\lambda+k)}{\omega} \sigma_{1} \vec{G}_{-}(x, \lambda+i 0) G^{-2}(\theta) \sigma_{3},
\end{array}
\]

согласованные с асимптотиками (6.28) — (6.30).
3) Асилптотики при $|x| \rightarrow \infty$ и $\lambda$ из $\mathbb{R}_{\omega}$
\[
\begin{array}{l}
G_{+}^{-1}(x, \lambda)=Q^{-1}(\theta) E_{\rho}(\lambda)\left(\frac{b_{\rho}(\lambda)}{a_{\rho}(\lambda)} e^{i \theta / 2+i k x} \frac{1}{a_{\rho}(\lambda)}\right)+o(1), \\
G_{-}(x, \lambda)=Q^{-1}(\theta) E_{\rho}(\lambda)\left(\begin{array}{cc}
e^{i \theta / 2} & \bar{b}_{\rho}(\lambda) e^{-i k x} \\
0 & \bar{a}_{\rho}(\lambda)
\end{array}\right)+o(1) \\
\end{array}
\]

при $x \rightarrow+\infty$ и
\[
\begin{array}{l}
G_{+}^{-1}(x, \lambda)=E_{\rho}(\lambda)\left(\begin{array}{cc}
\frac{e^{i \theta / g}}{a_{\rho}(\lambda)} & -\frac{\bar{b}_{\rho}(\lambda)}{a_{\rho}(\lambda)} e^{-i k x} \\
0 & 1
\end{array}\right)+o(1), \\
G_{-}(x, \lambda)=E_{\rho}(\lambda)\left(\begin{array}{cc}
\bar{a}_{\rho}(\lambda) e^{i \theta / 2} & 0 \\
-b_{\rho}(\lambda) e^{i \theta / u+i k x} & 1
\end{array}\right)+o(1)
\end{array}
\]

при $x \rightarrow-\infty$. Здесь $E_{\rho}(\lambda)=\left.E_{\rho}(x, \lambda)\right|_{x=0}$ и $Q(\theta)=\exp \frac{i \theta \sigma_{3}}{2}$.
4) Поведение в точках ветвления $\lambda= \pm \omega$.
Формулировка этого свойства зависит от поведения функции $b_{p}(\lambda)$ при $\lambda= \pm \omega$. Рассмотрим сначала случай $\lambda=\omega$. Мы имеем две возможности.
а) Виртуальный уровень
\[
\left|b_{\rho}(\omega)\right|<\infty \text {. }
\]

В этом случае матрицы $G_{-}(x, \omega)$ и $G_{+}^{-1}(x, \omega)$ вырождаются и прн этом
\[
\operatorname{Ker} G_{+}^{-1}(x, \omega)=N_{\omega}^{(+)}, \quad \operatorname{Ker} G_{-}(x, \omega)=N_{\omega}^{(-)},
\]

где $N_{\omega}^{(+)}$и $N_{\omega}^{(-)}$- одномерные подпространства в $\mathbb{C}^{2}$, натянутые соответственно на векторы $\left(-c_{+} e^{\frac{i_{\theta}}{2}}\right)$ и $\left(c_{+} e^{-\frac{i_{\theta}}{2}}\right)$, а
\[
c_{+}=b_{\rho}(\omega)+i a_{\rho}(\omega)
\]
(см. формулу (1.9.9)). При этом в силу (I.9.13) $c_{+}=-\bar{c}_{+}$.

б) Случай общего положения
\[
b_{\rho}(\lambda)=\frac{b_{+}}{k}+O(1), \quad b_{+}
eq 0,
\]

в окрестности $\lambda=\omega$. Здесь матрица $G_{-}(x, \omega)$ невырожденна, а матрица $G_{+}(x, \lambda)$ в окрестности $\lambda=\omega$ представляется в виде
\[
G_{+}(x, \lambda)=\frac{G_{+}(x)}{k}+O
\]

с некоторой невырожденной матрицей $G_{+}(x)$ (см. формулы (I.9.11) и (6.19) — (6.20)).

Случай $\lambda=-\omega$ описывается аналогично. Если $\lambda=-\omega-$ виртуальный уровень, то константа $c_{+}$вида (6.39) заменяется на
\[
c_{-}=b_{\rho}(-\omega)-i a_{\rho}(-\omega) .
\]

Приведенная формулировка задачи Римана и свойства матриц $G_{\rho}(x, \lambda)$ и $G_{ \pm}(x, \lambda)$ выглядят сложнее, чем аналогичные свойства для задачи Римана в быстроубывающем случае. Это связано в первую очередь с характером непрерывного спектра вспомогательной линейной задачи и, в особенности, с тем, что этот спектр имеет лакуну — интервал $-\omega<\lambda<\omega$.

Перечисленные свойства матриц $G_{\rho}(x, \lambda)$ и $G_{ \pm}(x, \lambda)$ были фактически получены в § I.8-I.9 при исследовании вспомогательной линейной задачи. Перейдем теперь к решению обратной задачи. Оно основано на матричной задаче Римана с нулями:
\[
G_{p}(x, \lambda)=G_{+}(x, \lambda) G_{-}(x, \lambda),
\]

причем матрица $G_{\rho}(x, \lambda)$, нули $\lambda_{j}$, константы $\gamma_{j}$ и параметр $\theta$, $0 \leqslant \theta<2 \pi$, играют роль данных задачи Римана, а матрицы $G_{ \pm}(x, \lambda)$ дают ее решение. Переменная $x$ является параметром в этой задаче.

Нменно, будем считать, что данные $G_{\rho}(x, \lambda), \lambda_{j}, \gamma_{j} u \theta$ удовлетворяют условиям 1)-5). Решения $G_{ \pm}(x, \lambda)$ ищутся в классах матриц, аналитических на листах $\boldsymbol{\Gamma}_{ \pm}^{ \pm}$(за возможным исключением точек ветвления), удовлетворяющих условиям вырождения (6.21)-(6.22) и обладающих свойствами 1)-2) и 4).
Тогда утверждается следующее.
I. Задача Римана однозначно разрешима.
II. Матрицы $S_{ \pm}(x, \lambda)$, построенные по решениям $G_{ \pm}(x, \lambda)$ по формулам (6.14)-(6.15), удовлетворяют дифференцильному уравнению вспомогательной линейной задачи
\[
\frac{d S_{ \pm}(x, \lambda)}{. d x}=\left(\frac{\lambda \sigma_{3}}{2 i}+U_{0}(x)\right) \mathcal{S}_{ \pm}(x, \lambda),
\]

где
\[
U_{0}(x)=\sqrt{x}\left(\bar{\psi}(x) \sigma_{+}+\psi(x) \sigma_{-}\right) .
\]

III. Решения $G_{ \pm}(x, \lambda)$ илеют асимптотики при $x \rightarrow \pm \infty$, предписанные свойством 3$)$.
IV. Функции $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ удовлетворяют граничным условиям конечной плотности
\[
\lim _{x \rightarrow-\infty} \psi(x)=\rho, \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} \psi(x)=\rho \varepsilon^{i \theta},
\]

где $\rho=\frac{\omega}{2 \sqrt{x}}$ ираничные значения принимаются в смысле Шварца.
V. Функции $a_{\rho}(\lambda)$ и $b_{\rho}(\lambda)$, где $a_{\rho}(\lambda)$ дается формулой (6.27), являются коэффициентами перехода непрерывного спектра вспомогательной линейной задачи (6.44), а матриць $S_{ \pm}(x, \lambda)$ составлены из соответствующих решений Иоста по формулам (6.5) — (6.6). Дискретный спектр вспомогательной линейной задачи состоит из набора чисел $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$, а величины $\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{n}$ иерают роль соответствующих коэффицентов перехода.

Доказательство сформулированных утверждений может быть проведено по схеме $\$ 2$. При этом, поскольку риманова поверхность $\Gamma$ имеет род 0 , удобно перейти к униформизующей переменной $z$ из $\S$ I. 9
\[
\lambda(z)=\frac{1}{2}\left(z+\frac{\omega^{2}}{z}\right), \quad k(z)=\frac{1}{2}\left(z-\frac{\omega^{2}}{z}\right),
\]

так что контур $\mathscr{R}_{0}$ переходит в вещественную ось на комплексной $z$-плоскости. Листы $\boldsymbol{\Gamma}_{ \pm}$переходят в верхню и нижнюю полуплоскости соответственно; окрестность точки $\lambda=\infty$ на $\boldsymbol{\Gamma}_{\text {土 }}$ с условием $\pm \operatorname{Im} \lambda>0$ переходит в окрестность точки $z=\infty$, а окрестность точки $\lambda=\infty$ на $\Gamma_{ \pm}$с условием $\pm \operatorname{Im} \lambda<0$ — ворестность точки $z=0$. Инволюции $\lambda-i 0 \mapsto \lambda+i 0$ на $\mathscr{R}_{\omega}$ при таком отображении отвечает инволюция $z \mapsto \omega^{2} / z$ вещественной прямой.

Из формул (I.8.13) (I.8.14) и (I.9.14) для функций $G_{ \pm}(x, z)=G_{ \pm}(x, \lambda(z))$. имеем интегральные представления
\[
\begin{aligned}
G_{+}(x, z)= & \frac{z^{2}}{z^{2}-\omega^{2}}\left(I-\frac{\omega}{z} G^{2}(\theta) \sigma_{2}+\right. \\
& \left.+\int_{0}^{\infty} \Phi_{+}^{(1)}(x, s) e(s, z) d s+\frac{1}{z} \int_{0}^{\infty} \Phi_{+}^{(z)}(x, s) e(s, z) d s\right)
\end{aligned}
\]

и
\[
\begin{aligned}
G_{-}(x, z)=I & +\frac{\omega}{z} \sigma_{2} G^{-2}(\theta)+ \\
& +\int_{0}^{\infty} \Phi_{-}^{(1)}(x, s) e(s, z) d s+\frac{1}{z} \int_{0}^{\infty} \Phi_{-}^{(2)}(x, s) e(s, z) d s,
\end{aligned}
\]

где
\[
e(s, z)=e^{2 i s k z)}=e^{i s\left(z-\frac{\omega^{2}}{z}\right)} .
\]

Эти интегральные представления обобщают соответствующие формулы (1.36) для быстроубывающего случая. В них явно учтены как асимптотики (6.28)-(6.30), так и особенности матрицы $G_{+}(x, z)$ при $z= \pm \omega$ (см. условие 4$)$ ).

Интегральные представления (6.48) — (6.49) и являются основой для доказательства утверждений I — V. Используя их, можно получить систему интегральных уравнений, заменяющую нсходную задачу Римана и являющуюся аналогом уравнения Винера — Хопфа в быстроубывающем случае (см. §2). В нашем случае, однако, возникают дополнительные технические осложнения. Во-первых, следует отдельно рассматривать случаи различного поведения $b_{\mathrm{\rho}}(\lambda)$ в точках ветвления $\lambda= \pm \omega$; всего имеется четыре возможности. Во-вторых, в силу свойств 3 ) -5) данные дискретного спектра $\lambda_{j}, \gamma_{j}$ не независимы от данных непрерывного спектра $b_{\rho}(\lambda)$; в частности, в случае виртуального уровня они участвуют в характеристике поведения матрицы $G_{+}^{-1}(x, \lambda)$ при $\lambda= \pm 0$ (см. условие 4)). Тем самым решение задачи Pимана с нулями нельзя представить в виде произведения множителей Бляшке — Потапова и решения регулярной задачи Римана с теми же данными непрерывного спектра (сравни с $\S 2$ ).

Поэтому подробное исследование задачи Римапа (6.43) по схеме из $\S 2$ выглядит весьма громоздко и не является столь поучительным, чтобы его приводить здесь со всеми деталями. Вместо этого в следующем параграфе мы более подробно рассмотрим другой подход к решению обратной задачи, основанный на формализме Гельфанда — Левитана — Марченко и также приводящий к доказательству утверждений I-V.

В заключение этого параграфа укажем, что, аналогично \& 3 , метод задачи Римана позволяет доказать, что еслиданные b (i), $\lambda_{j}, \gamma_{j}$ зависят от согласно формулам (1.10.7)
\[
\begin{array}{c}
b_{\rho}(\lambda, t)=e^{-i \lambda_{k} t} k_{\rho}(\lambda, 0), \quad \gamma_{j}(t)=e^{-i \lambda_{j} k_{j} t} \gamma_{j}(0), \\
\lambda_{i j}(t)=\lambda_{j}(0), \quad j=1, \ldots, n,
\end{array}
\]

то построеная по ним функця $\Psi(x, t)$ удовлетворяет уразнению ННІ для граничных условий конечной плотности.

Для этого следует включить в задачу Римана (6.43) зависпмость от $t$ :
\[
G_{\mathrm{\rho}}(x, t, \lambda)=G_{+}(x, t, \lambda) G_{-}(x, t, \lambda),
\]

где
\[
G_{\rho}(x, t, \lambda)=E^{-1}(t, \lambda k(\lambda)) G_{\rho}(x, \lambda) E(t, \lambda k(\lambda)) .
\]

Рассматривая вытекающее из (6.52) — (6.53) равенство
\[
\frac{\partial F_{+}}{\partial t}(x, t, \lambda) F_{+}^{-1}(x, t, \lambda)=\frac{\partial F_{-}}{\partial t}(x, t, \lambda) F_{-}^{-1}(x, t, \lambda)
\]

где
\[
F_{ \pm}(x, t, \lambda)=S_{ \pm}(x, t, \lambda) E^{-1}(t, \lambda k(\lambda)),
\]

и действуя по аналогии с $\$ 3$, получаем, что эти матрицы, наряду с уравнением по $x$
\[
\frac{\partial F_{ \pm}}{\partial x}=U(x, t, \lambda) F_{ \pm},
\]

удовлетворяют также и уравнению по $t$
\[
\frac{\partial F_{ \pm}}{\partial t}=V_{0}(x, t, \lambda) F_{ \pm},
\]

где матрица $V_{\rho}(x, t, \lambda)$ совпадает с введенной в $\S$ I.2.
Таким образом, и в случае конечной плотности метод задачи Римана приводит к условию нулевой кривизны, так что построенная в результате решения обратной задачи функция $\psi(x, t)$ удовлетворлет уравнению НІІІ.