Особенность модели SG проявляется в том, что она имеет две серии локальных интегралов движения, получающиеся в результате асимнтотического разложения приведенной матрицы монодромии $T(\lambda)$ в полюсах $\lambda=\infty$ и $\lambda=0$.

Начнем с асимптотического разложения матрицы перехода $T(x, y, \lambda)$ при $|\lambda| \rightarrow \infty$. Совершим калибровочное преобразование с матрицей $\Omega^{-1}(x)$ :
\[
T(x, y, \lambda)=\Omega(x) \widetilde{T}(x, y, \lambda)
\]

и представим матрицу $\widetilde{T}(x, y, \lambda)$ в виде
\[
\widetilde{T}(x, y, \lambda)=(I+W(x, \lambda)) \exp Z(x, y, \lambda)(I+W(y, \lambda))^{-1}
\]
$\left(\bmod O\left(|\lambda|^{-\infty}\right)\right)$, где матрица $W(x, \lambda)$ антидиагональна, а $Z(x, y, \lambda)$ — диагональна и удовлетворяет условию
\[
\left.Z(x, y, \lambda)\right|_{x=y}=0 .
\]

Из уравнения (4.25) следует, что
\[
Z(x, y, \lambda)=\frac{1}{4 i} \int_{y}^{x}\left(\beta \theta\left(x^{\prime}\right) \sigma_{3}+m\left(\lambda \sigma_{2}-\frac{1}{\lambda} \sigma_{2} e^{i \rho \omega^{\prime} x^{\prime}, \sigma_{3}}\right) W\left(x^{\prime}, \lambda\right)\right) d x^{\prime},
\]

а матрица $W(x, \lambda)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению типа Риккати
\[
\frac{d W}{d x}=\frac{\beta}{2 i} \theta \sigma_{3} W+\frac{m}{4 i} \lambda\left(\sigma_{2}-W \sigma_{2} W\right)-\frac{m}{4 i \lambda}\left(\sigma_{2} e^{i \rho \sigma_{s}}-W \sigma_{2} e^{i \beta \varphi \sigma_{3} W}\right) .
\]

Матрица $W(x, \lambda)$ допускает асимптотическое разложение вида
\[
W(x, \lambda)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{W_{n}(x)}{\lambda^{n}},
\]

где
\[
W_{0}(x)=i \sigma_{1}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
W_{n+1}(x)=\frac{2 i \sigma_{3}}{m} \frac{d W_{n}(x)}{d x}-\frac{\beta \theta(x)}{m} W_{n}(x)+ \\
+\frac{i}{2} \sum_{k=1}^{n} W_{k}(x) \sigma_{1} W_{n+1-k}(x)-\frac{i}{2} \sum_{k=0}^{n-1} W_{k}(x) \sigma_{1} e^{i \beta \Phi(x) \sigma_{3} W_{n-1-k}}(x)- \\
-\frac{i}{2} \sigma_{1} e^{\left.i \beta \sigma^{\prime} x\right) \sigma_{3}} \delta_{n, 1}, \quad n=0,1, \ldots
\end{array}
\]

Соответствующее разложение для $Z(x, y, \lambda)$ имеет вид

где
\[
Z(x, y, \lambda)=\frac{m \lambda(x-y)}{4 i} \sigma_{3}+i \sum_{n=1}^{\infty} \frac{Z_{n}(x, y)}{\lambda^{n}},
\]
\[
Z_{n}(x, y)=\frac{m}{4} \int_{y}^{x} \sigma_{2}\left(e^{i \rho \varphi^{\prime} x^{\prime}, \sigma_{3} W_{n-1}}\left(x^{\prime}\right)-W_{n+1}\left(x^{\prime}\right)\right) d x^{\prime} .
\]

Отметим, что выбор (4.80) матрицы $W_{0}(x)$ согласован со слагаемым $\frac{m \lambda(x-y)}{4 i} \sigma_{3}$ в формуле (4.82).

В силу инволюции (4.7) матрицы $W_{n}(x)$ и $Z_{n}(x, y)$ имеют вид
\[
W_{n}(x)=\left(\begin{array}{cc}
0 & -\bar{w}_{n}(x) \\
w_{n}(x) & 0
\end{array}\right)
\]
h
\[
Z_{n}(x, y)=\left(\begin{array}{cc}
z_{n}(x, y) & 0 \\
0 & -\bar{z}_{n}(x, y)
\end{array}\right),
\]

а соотношения (4.80)- (4.83) переписываются следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
w_{0}(x)=i, \\
w_{n+1}(x)=\frac{2}{i m} \frac{d w_{n}(x)}{d x}-\frac{\beta \theta(x)}{m} w_{n}(x)+\frac{i}{2} \sum_{k=1}^{n} w_{k}(x) w_{n+1-k}(x)- \\
\left.-\frac{i}{2} e^{-i \rho \varphi(x)} \sum_{k=0}^{n-1} w_{k}(x) w_{n-k-1}(x)-\frac{i}{2} e^{i j \varphi} x\right) \delta_{n, 1}, \\
z_{n}(x, y)=\frac{i m}{4} \int_{y}^{x}\left(w_{n+1}\left(x^{\prime}\right)-e^{\left.-i \odot \Phi^{\prime} x^{\prime}\right)} w_{n-1}\left(x^{\prime}\right)\right) d x^{\prime} . \\
\end{array}
\]

Для получения асимптотического разложения приведенной матрицы монодромии $T(\lambda)$ перейдем к пределам при $y \rightarrow-\infty$, $x \rightarrow+\infty$ в соответствии с определением (4.49). Учитывая, что матрицы $W_{n}(x), n \geqslant 1$, исчезают при $|x| \rightarrow \infty$, мы получаем представление
\[
T(\lambda)=e^{\mathrm{P}(\lambda)}+O\left(|\lambda|^{-\infty}\right),
\]

где
\[
P(\lambda)=i\left(\begin{array}{cc}
p(\lambda) & 0 \\
0 & -\bar{p}(\lambda)
\end{array}\right),
\]
a
\[
p(\lambda)=\lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\ y \rightarrow-\infty}}\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z_{n}(x, y)}{\lambda^{n}}-\frac{m}{4 \lambda}(x-y)\right) .
\]

Подчеркнем, что диагональность матрицы $P(\lambda)$ согласована с тем, что $b(\lambda)$ является функцией типа Шварца.

Из формул (4.86) — (4.88) получаем, что $p(\lambda)$ допускает асимптотическое разложение
\[
p(\lambda)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_{n}}{\lambda^{n}}
\]

где
\[
I_{1}=-\frac{\beta^{2}}{4 n} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\left(\pi(x)+\frac{d \varphi}{d x}(x)\right)^{2}+\frac{m^{2}}{\beta^{2}}(1-\cos \beta \varphi(x))\right) d x
\]

и для произвольного $n>1$
\[
I_{n}=\frac{i m}{4} \int_{-\infty}^{\infty}\left(w_{n+1}(x)-e^{-i(\rho \cdot x)} w_{n-1}(x)\right) d x .
\]

В силу условия $\operatorname{tr} P(\lambda)=0$, вытекающего из унимодулярности матрицы $T(\lambda)$, величины $I_{n}$ являются вещественными.

Сравнивая формулы (4.52) и (4.89) — (4.90), (4.92), получаем искомое раз.ложение при $|\lambda| \rightarrow \infty$ :
\[
\ln a(\lambda)=i \sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_{n}}{\lambda^{n}},
\]

определяющее первую серию локальных интегралов движения модели SG.

Для получения асимптотического разложения при $\lambda \rightarrow 0$ достаточно воспользоваться свойством (4.9) (сравни с п. 1). В результате получаем
\[
\ln a(\lambda)=i \sum_{n=0}^{\infty} I_{-n} \lambda^{n},
\]

где
\[
I_{0} \equiv \pi Q(\bmod 2 \pi),
\]

и
\[
I_{-n}(\pi, \varphi)=(-1)^{n} I_{n}(\pi,-\varphi), \quad n=1,2, \ldots
\]

В частности, для импульса $P$ и гамильтониана $H$ модели SG имеем выражения
\[
P=\frac{2 m}{\beta^{2}}\left(I_{-1}+I_{1}\right)
\]

и
\[
H=\frac{2 m}{\beta^{2}}\left(I_{-1}-I_{1}\right) .
\]

И, наконец, сравнивая асимптотические разложения (4.95)(4.96) с дисперсионным соотношением (4.64), получаем тождества следов модели SG:
$\operatorname{sign} l I_{l}=$
$=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \ln \left(1-|b(\lambda)|^{2}\right) \lambda^{l-1} d \lambda+\sum_{j=1}^{n} \frac{\bar{\lambda}_{j}^{l}-\lambda_{j}^{l}}{i l}, \quad l=-\infty, \ldots, \infty$.

Из условий (4.54) следует, что при четных $l$ выражения $I_{l}$ исчезают, так что соответствующие плотности в (4.94) являются полными производными от шварцевских функций. Поэтому окончательно тождества следов принимают вид
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{sign}(2 m+1) I_{: m+1}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \ln \left(1-|b(\lambda)|^{2}\right) \lambda^{2 n} d \lambda- \\
-\frac{(-1)^{m} 2}{2 m+1} \sum_{j=1}^{n_{1}} x_{j}^{2 m+1}+\frac{2}{2 m+1} \sum_{k=n_{1}+1}^{n_{1}+n_{2}} \frac{\bar{\lambda}_{k}^{m+1}-i_{k}^{2 m+1}}{i}, m=-\infty, \ldots, \infty .
\end{array}
\]

Исследование вспомогательной линейной задачи модели SG и описание отображения $\mathscr{F}$ на этом заканчивается.