§ 97. Завершение классификации

Теперь мы вернемся к комплексному случаю. Как мы видели в § 95, задача классификации всех простых комплексных алгебр Ли свелась к задаче описания всех допустимых связных схем Дынкина. Такая задача решается путем несложной комбинаторики, которую за недостатком места мы не будем сейчас воспроизводить. См., например, [128], стр. 152—162 или [19], стр. 144— 152. Результатом является

Теорема 7. Всякая простая комплексная алгебра определяется одной из следующих схем Дынкина:

При этом получаем все неизоморфные простые алгебры, если условимся считать, что для серии для серии для серии для серии

Алгебра есть алгебра Ли группы Алгебры являются алгебрами Ли группы при соответственно. Алгебра есть алгебра Ли группы Все эти алгебры носят название классических.

Как видим, согласно теореме 7, кроме бесконечных серий классических простых алгебр Ли, существует еще лишь пять отдельных алгебр: Эти алгебры носят название исключительных или особых алгебр Картана.

В книге [19] можно найти эффективное построение алгебр Ли и доказательство существования

Мы приведем лишь частичную инфрмацию об этих алгебрах. Начнем с таблицы корней.

(см. скан)

Здесь ортонормированный базис -мерного евклидова пространства. В случаях

на суммы, заключенные в круглых скобках, накладываются следующие ограничения. В случаях такая скобка должна содержать одинаковое количество плюсов и минусов. В случае количество плюсов (и минусов) должно быть четно. Отсюда путем несложного вычисления получаем число корней; если к этому числу добавить ранг, то получаем, очевидно, размерность данной алгебры. Результатом является следующая таблица:

(см. скан)

В заключение рассмотрим все возможные простые алгебры ранга 2. Таких (неизоморфных) алгебр только 3 — это Вот их системы корней (см. рис. 6):

Рис. 6.

Символы указывают возможный выбор простых корней (относительно некоторой лексикографической упорядоченности). Заметим, что корни алгебры могут быть также вложены в трехмерное пространство следующим образом: где Отсюда, в частности, следует, что алгебра содержит подалгебру, изоморфную

Особый интерес представляют алгебры Алгебра является алгеброй Ли в группе всех

автоморфизмов тела кватернионов (см. § 11). Алгебра является ([19]) алгеброй Ли в группе всех автоморфизмов чисел Кэли.

Существует несколько вариантов определения компактной алгебры Ли; однако все эти определения близки друг другу. Так, в [128] рассматриваются только полупростые алгебры Ли и требуется, чтобы форма Киллинга — Картана была отрицательно определена. В книге [42] требуется, чтобы матрицы присоединенного представления образовывали компактную группу. Наше определение следует работе [38].

Классификация простых алгебр Ли над комплексным полем была начата Киллингом и завершена Картавом [94]. Ряд существенных упрощений был внесен Г. Вейлем [61]. Окончательная классификация корневых систем принадлежит Б. Л. Ван-дер-Вардену [60] и Е. Б. Дынкину [77]. В частности, Е. Б. Дынкин предложил общепринятую в настоящее время систему классификации в терминах простых корней. Теорема о вещественных формах была получена Картаном. Доказательство, изложенное в тексте, принадлежит

Теорема 7 является кульминацией картановской теории. Вместе с тем она принадлежит к числу наиболее удивительных открытий в математике. Любопытно, в частности, что наряду с четырьмя бесконечными «правильными» сериями существует всего лишь пять исключительных алгебр Картана. В заключение заметим, что в классе разрешимых (и даже в классе нильпотентных) алгебр Ли до сих пор не получена полная классификация.