§ 132. Сужения ...

Заменяя каждую группу ее комплексной оболочкой мы можем использовать обычную схему Z-инвариантов.

Заметим, что индикаторные системы в этих задачах выписываются легко, но найти их общее решение довольно сложно. Поэтому мы рассмотрим подробно лишь представление которое является симметризованной степенью вектора. Используя вторую формулу

Вейля (§ 75), мы можем свести общий случай к этому частному случаю.

1° Сужение Запишем -мерный вектор-строку в виде где -мерная строка и -мерная строка. Преобразования группы сводятся к независимым унимодулярным преобразованиям векторов Рассматривая только преобразования корневой подгруппы мы можем привести вектор х к виду где первые координаты векторов соответствующие базисные векторы. Отсюда ясно, что в представлении старшими векторами являются только одночлены:

Здесь неотрицательные целые числа. Если диагональные преобразования из соответственно, то вектору соответствует вес

Здесь первые собственные значения матриц и соответствующие диагональные миноры первого порядка. Заменяя каждый минор соответствующим символом представления получаем следующую спектральную формулу:

Здесь симметризованная степень вектора для (сигнатура симметризованная степень вектора для (сигнатура ). Иначе говоря,

Здесь вертикальная черта в правой части разделяет сигнатуры в сигнатуре группы

2° Сужение Условимся считать, что Разобьем вектор-строку х размерности на частей размерности Подгруппа, изоморфная подвергает все эти строки одному и тому же унимодулярному преобразованию. Назовем эту группу внутренней группой и обозначим Подгруппа, изоморфная подвергает унимодулярному преобразованию символы

Назовем эту группу внешней группой и обозначим G Подгруппа является прямым произведением Расположим теперь строки в виде следующей прямоугольной матрицы:

Нам будет удобно считать, что повышающие преобразования внутренней группы задаются верхними треугольными матрицами, а повышающие преобразования внешней группы нижними треугольными матрицами. Тогда всевозможные повышающие операторы группы действуют по правилу

где произвольная матрица из произвольная матрица из и штрих означает транспонирование. Дополняя матрицу х произвольными строками до квадратной матрицы мы можем использовать разложение Гаусса, из которого очевидно, что всякий искомый Z-инвариант является линейной

комбинацией одночленов

где главный диагональный минор матрицы х, составленный из первых строк и первых столбцов, Пусть диагональные преобразования из внутренней и внешней группы соответственно. Тогда, очевидно, одночлен является весовым с весом

Для того чтобы такой вес являлся старшим весом группы необходимо, чтобы числа были целыми неотрицательными. Расширяя до и учитывая, что все рассматриваемые представления реализуются в классе контравариантных тензоров, получаем также, что является целым неотрицательным числом. В результате получаем следующую спектральную формулу:

Здесь обычные образующие -векторы) в полугруппе неприводимых представлений соответственно. Условие вытекает из вычисления степени однородности одночлена (эта степень должна равняться Иная форма записи:

Здесь вертикальная черта разделяет сигнатуры -Числа должны быть целыми.

В заключение напомним вторую формулу Вейля:

Для применения этой формулы к нашим задачам заменяем на и подставляем в правую часть вместо каждого члена его сужение на даваемое формулой или

Заметим, что если то этот детерминант (в правой части формулы Вейля) можно заменить его усечением, составленным из первых строк и первых столбцов.

Пример, для группы Полагая находим