§ 21. Теорема Бернсайда

Результаты, связанные с коммутаторной алгеброй, станут значительно более симметричными, если вместо представления рассматривать множество всех линейных комбинаций операторов Это множество замкнуто относительно линейных операций и операции умножения, т. е. является матричной алгеброй. Мы приходим к вопросу об изучении матричных алгебр и их коммутаторных алгебр в связи с вопросами приводимости и полной приводимости.

Множество матриц в пространстве V называется приводимым, если существует нетривиальное подпространство инвариантное относительно всех этих матриц (т. е. относительно линейных операторов, определяемых этими матрицами). Соответственно вводятся понятия неприводимости и полной приводимости. Нашей основной целью будет изучение неприводимых матричных алгебр. Остановимся вначале на двух основных критериях неприводимости. Условимся рассматривать только алгебры с единицей.

1° Правило цикличности. Матричная алгебра А неприводима тогда и только тогда, когда каждый вектор является циклическим в пространстве V относительно А, т. е. если V совпадает с совокупностью векторов вида

Действительно, пусть циклическая оболочка вектора относительно А, т. е. множество всех векторов вида Очевидно, всегда инвариантно относительно А. Следовательно, если А неприводима, то для каждого другой стороны, если последнее условие выполняется, то ни один из векторов не может содержаться в нетривиальном инвариантном подпространстве; следовательно, А неприводима.

2° Правило двойственности. Матричная алгебра неприводима тогда и только тогда, когда неприводима алгебра составленная из всех транспонированных (относительно некоторого базиса) матриц

Действительно, операция транспонирования где вектор рассматривается как вектор-столбец,

отождествляет V с пространством всех линейных форм: Если инвариантное подпространство относительно А, то его ортогональное дополнение инвариантно относительно определяется как совокупность всех линейных форм, равных нулю на Для доказательства нашего утверждения достаточно теперь заметить, что нетривиальность равносильна нетривиальности

Докажем теперь одну из основных теорем в теории матричных алгебр:

Теорема Бернсайда. Всякая неприводимая матричная алгебра в комплексном векторном пространстве представляет собой полную матричную алгебру, алгебру всех линейных операторов) в данном пространстве.

Доказательство. Пусть столбец матрицы а. Если а пробегает А, то вектор пробегает циклическую оболочку где базисный вектор в пространстве Следовательно, если А неприводима, то каждый столбец пробегает все -мерное пространство

Пусть уже доказано, что прямоугольная матрица составленная из первых столбцов матрицы а, пробегает -мерное пространство которое определяется как прямая сумма экземпляров пространства Рассмотрим отдельно следующие две возможности:

а) Из равенства следует для всякого элемента

б) Существует хотя бы одна матрица для которой но

Если выполняется условие а), то является однозначной функцией от вектора Поскольку эта функция является линейной, то мы имеем

где линейные операторы в пространстве Заменим а на где произвольная матрица из тогда каждый столбец а, заменяется на

и мы имеем

Поскольку мы предполагаем, что матрица принимает произвольные значения из то, очевидно, имеем отсюда

(Действительно, все векторы, кроме мы можем положить равными 0; при этом а пробегает пространство Следовательно, каждый оператор перестановочен со всеми матрицами из А. Согласно лемме Шура заключаем отсюда, что где единичная матрица в пространстве В результате получаем

Полученное равенство означает, что ни одна из строк матрицы а не пробегает -мерного пространства (поскольку между координатами строки существует линейная зависимость). Согласно правилу двойственности это невозможно, ибо алгебра А неприводима. Полученное противоречие показывает, что случай а) не может иметь места.

Итак, мы показали, что выполняется условие б). Пусть множество всех элементов из А, для которых выполняется условие Тогда мы имеем т. е. инвариантно относительно левых умножений на элементы Отсюда следует, что для каждого циклическая оболочка инвариантна относительно А. Положим, в частности, Согласно б) Следовательно, Поэтому, если а пробегает то вектор-столбец пробегает пространство Но это означает, что пробегает

В результате мы имеем возможность индукции по индексу и это доказывает теорему.

Следствие 1. Если неприводимое представление группы G в комплексном пространстве V, то линейная оболочка операторов совпадает с алгеброй всех линейных операторов пространства

Следствие 2. Матричные элементы неприводимого представления образуют систему линейно независимых функций на группе G.

Действительно, условие линейной независимости может быть записано в виде где С — постоянная матрица коэффициентов. Заменяя множество его линейной оболочкой, заключаем, что для всякой матрицы Отсюда

Следствие 3 (принцип взаимности). Если А — вполне приводимая алгебра с единицей, то А — также вполне приводимая алгебра с единицей, и при этом

т. е. коммутаторная алгебра коммутаторной алгебры А совпадает с самой алгеброй А.

Несложное доказательство этого утверждения предоставляется читателю. Следствие 3 дает чрезвычайно ценную информацию о структуре вполне приводимой алгебры А. Действительно, пусть (прямая сумма), где — неприводимая алгебра порядка входящая с кратностью Тогда всякий элемент может быть записан следующим образом:

где а — произвольная матрица порядка единичная матрица порядка Согласно принципу взаимности всякая матрица имеет следующий вид:

где единичная матрица порядка — произвольная матрица порядка В частности, мы видим, что алгебра А имеет размерность и алгебра А имеет размерность Если алгебра А неприводима,

то она имеет размерность (n - размерность пространства V) и коммутаторная алгебра А имеет размерность 1 (что уже известно нам из леммы Шура). Очевидно также, что лемма Шура в свою очередь может быть получена как следствие теоремы Бернсайда.

Упражнения

(см. скан)