ГЛАВА V. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ МЕТОД В ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

С точки зрения глобальной теоремы представляет особый интерес детальное изучение структуры неприводимых представлений. Если речь идет о связной группе Ли, то для решения этой задачи и других задач теории представлений часто используется инфинитезимальный метод. Этот метод сводит рассмотрение группы Ли к рассмотрению соответствующей алгебры Ли.

Иллюстрацию метода мы изложим на примере Напомним, что эти группы локально изоморфны, т. е. имеют одинаковую алгебру Ли. В дальнейшем мы увидим, что всякая компактная связная группа Ли содержит хотя бы одну подгруппу, изоморфную или Поэтому изучение этих групп интересно также с точки зрения общей теории.

§ 36. Дифференциал представления

Пусть группа Ли и ее представление в векторном пространстве V, вещественном или комплексном. Как правило, мы будем рассматривать только конечномерные пространства. Все отступления от этого правила будут специально оговариваться.

Рассмотрим вначале тот случай, когда группа G представляет собой аддитивную вещественную группу чисел В этом случае речь идет о произвольной однопараметрической матричной группе непрерывно зависящей от

где единичная матрица в пространстве Пусть означает норму матрицы в пространстве означает окрестность единичной матрицы, выделяемую

условием Изменяя, если нужно, нормировку параметра мы можем считать, не ограничивая общности, что при В частности, отсюда следует, что при некотором А. Покажем, что

для всех значений Действительно, это равенство должно иметь место для всех целых значений Далее, совпадает с как единственный квадратный корень в области из оператора Следовательно, наше равенство сохраняется также для всех полуцелых значений Рассуждая индуктивно, проверяем справедливость этого равенства для всех двоично-рациональных чисел Но тогда оно справедливо и на всей оси ввиду непрерывной зависимости от

Полученный результат имеет принципиальное значение во всей теории представлений групп Ли. Прежде всего, мы видим, что функция аналитична. Заметим, что оператор А может быть определен как касательный вектор к кривой Этот оператор называется производящим оператором или инфинитезимальным оператором однопараметрической группы Существенно, что значение инфинитезимального оператора полностью определяет всю группу Это замечание лежит в основе излагаемого ниже общего «инфинитезимального метода».

Пусть теперь произвольная группа Ли. Рассматривая в ней произвольную одиопараметрическую подгруппу мы положим

Здесь произвольный элемент в алгебре Ли X группы G. Семейство операторов мы называем дифференциалом представления

Теорема 1. Пусть группа Ли, ее конечномерное представление и его дифференциал. Тогда является представлением алгебры Ли X группы G. Если то Функция является аналитической функцией на всей группе G.

Дбказательство. Пусть х, у — произвольные элементы из алгебры Напомним, что вектор является касательным вектором к кривой

в единичной точке Образом этой кривой в представлении является Касательным вектором к в свою очередь служит Следовательно, Аналогично рассматривается коммутатор и проверяется, что Следовательно, отображение является представлением алгебры Далее, если по отношению к некоторому базису в алгебре X, то мы имеем

где положено Следовательно, функция аналитична в той окрестности точки где определены канонические координаты

Применяя сдвиги в группе G (левые или правые), заключаем, что функция аналитична также в окрестности каждой точки Теорема доказана.

Замечание 1. Подчеркнем, что в теореме 1 группа G рассматривается как вещественная и имеется в виду вещественная аналитичность функции Если группа G комплексна, то представление аналитично по вещественным параметрам в G. Однако если функция удовлетворяет условиям Коши — Римана по отношению к этим параметрам, то функция является комплексно-аналитической на G. В этом случае где комплексные параметры в алгебре

Замечание 2. Пусть V бесконечномерно. Вектор называется дифференцируемым, если вектор-функция дифференцируема на G. В частности, если дифференцируемая функция, равная нулю вне компактного множества на то вектор является дифференцируемым для любого (проверьте). Пусть множество всех таких векторов Если функционал равен пулю на то в частности, для любого Следовательно, Как следует из теории линейных топологических пространств, в этом случае всюду плотно в Отсюда можем заключить, что дифференциал допускает определение на всюду плотном множестве в

Мы предоставляем читателю проверить следующие свойства дифференциала:

1° Если инвариант представления то аннулируется всеми инфинитезимальными операторами

2° Если инвариантное подпространство относительно то инвариантно также относительно

3° Если два представления эквивалентны, то их дифференциалы также эквивалентны.

4° Если представление является тензорным произведением представлений то на векторах вида мы имеем

Если представление контрагредиентно представлению то мы имеем

где дифференциалы а скобка означает билинейную форму, входящую в условие контрагредиентности.

В частности, если то согласно Такое представление в дальнейшем мы будем называть представлением алгебры X, контрагредиентным Аналогично свойство 4° может быть использовано для определения тензорного произведения двух представлений алгебры

Если связная группа Ли, то согласно теореме 1 все эти утверждения допускают обращение. Действительно, в этом случае функция порождается произведениями операторов вида

Далее, пусть произвольно фиксированный базис в алгебре X со структурными константами Положим Тогда согласно теореме 1 имеем

(сумма по Заметим, что между операторами могут существовать линейные соотношения.

Пример 1. Пусть -алгебра Ли группы Согласно общим результатам § 10 алгебра Ли группы состоит из всех антиэрмитовых матриц . Матрицы

образуют базис в Несложное вычисление показывает, что элементы подчиняются следующим соотношениям коммутации:

где полностью антисимметрический тензор, для которого и в правой части имеется в виду суммирование по Следовательно, если для некоторого представления , то мы по-прежнему имеем

Пример 2. Пусть группа всех треугольных матриц с единицами на главной диагонали. Не ограничивая общности, будем говорить о верхних треугольных матрицах. Положим

Тогда и все остальные коммутаторы равняются нулю. Элементы образуют базис в алгебре Ли группы G. Если образы при некотором представлении, то мы по-прежнему имеем

Легко проверить, что в условиях примера 1 оператор перестановочен со всеми операторами Этот оператор мы в дальнейшем используем при описании представления Условимся называть его оператором Казимира представления

Упражнения

(см. скан)