Главная > Компактные группы Ли и их представления
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 120. Представления со старшим вектором

В этом параграфе будут исследованы представления алгебры X, не обязательно конечномерные, которые обладают следующими свойствами:

1° В пространстве представления существует вектор который аннулируется всеми преобразованиями подалгебры и является собственным относительно подалгебры Я.

2° Вектор является циклическим в пространстве представления (т. е. все это пространство получается из преобразованиями ассоциативной алгебры

Пусть V — пространство представления и оператор представления, отвечающий элементу Тогда определение вектора выглядит следующим образом:

Вектор называется старшим вектором, и линейная форма старшим весом данного представления. Числа в этом определении могут быть произвольными комплексными.

Представление обладающее свойствами 1° и 2°, мы будем называть циклическим представлением со старшим весом Я. Иногда такое представление называют также представлением со старшим вектором.

Теорема 2. Пусть -циклическое представление алгебры X со старшим весом . Тогда старший вектор определяется однозначно (с точностью до нормировки) и преобразования диагонализуются в пространстве представления. Всякий вес

подалгебры при этом имеет вид

где значение простого корня на -торе неотрицательные целые числа. Каждый вес встречается в пространстве представления с конечной кратностью. Наконец, для каждой линейной формы над алгеброй существует единственное (с точностью до эквивалентности) неприводимое представление со старшим весом

Доказательство. Согласно свойству цикличности пространство V представления может быть записано в виде

где символ означает множество всех векторов вида Согласно разложению Картана — Вейля мы получаем также

поскольку Иначе говоря, пространство V является циклическим также относительно подалгебры

Пусть канонические образующие в подалгебре тогда элементы вида образуют базис в (вместе с элементом и соответственно элементы вида

порождают пространство Очевидно, каждый такой элемент является весовым с весом

Следовательно, операторы диагонализуются в пространстве V, и каждое собственное значение имеет конечную кратность (поскольку существует лишь конечное число одночленов от с постоянной суммой Первая часть теоремы доказана.

Далее, пусть X — произвольная линейная форма на алгебре и Определим пространство как свободную ассоциативную алгебру с единицей и с образующими Положим

В последнем соотношении мы исходим из равенства которое должно выполняться для всякого представления алгебры Это соотношение позволяет определить оператор индуктивно для всех одночленов В результате, как легко проверить, мы получаем представление алгебры X во всем пространстве

Всякий одночлен является весовым вектором относительно алгебры с весом Следовательно, среди таких весов вес X является старшим и содержится однократно в пространстве Кроме того, согласно определению оператора вектор 1 является циклическим относительно алгебры Следовательно, является циклическим представлением со старшим весом

Пусть произвольное инвариантное подпространство в и разложение произвольного вектора по весовым векторам х, с различными весами Принадлежность можно рассматривать как линейную зависимость Поскольку векторы с различными весами не могут быть линейно зависимы, то при каждом Следовательно, преобразования

диагонализуются в Пусть — максимальный из весов, содержащихся в Мы исключаем случай когда Следовательно, Пусть — геометрическая сумма всех инвариантных подпространств с максимальными весами тогда есть максимальное инвариантное подпространство в отличное от Следовательно, неприводимо. Мы доказали существование неприводимого представления со старшим весом Я.

Докажем теперь единственность такого представления. Пусть неприводимое представление со старшим весом и старшим вектором Положим

Тогда, как легко проверить, операторы действуют на векторы по тем же формулам, что и операторы в пространстве на векторы Однако между могут существовать нетривиальные линейные соотношения. Следовательно, пространство представления можно отождествить с фактор-пространством где инвариантное подпространство, определяемое этими соотношениями. Ввиду неприводимости должно быть максимальным инвариантным подпространством, отличным от Но, как мы видели выше, такое подпространство определяется однозначно. Теорема доказана.

Замечание 1. Вместо свободной ассоциативной алгебры в доказательстве этой теоремы мы могли бы рассматривать алгебру с образующими для которых выполняются соотношения

где числа а определяются из соотношении коммутации для элементов ей Алгебра изоморфна, таким образом, алгебрам

Замечание 2. Циклическое представление со старшим весом X может быть построено также при помощи левых сдвигов в алгебре У. Действительно, положим

Множество является левым идеалом в и отсюда следует, что левые сдвиги в X индуцируют некоторое представление в фактор-алгебре Нетрудно проверить, что изоморфна алгебре из предыдущего замечания и представление в задается теми же формулами, что

1
Оглавление
email@scask.ru