§ 129. Сужение SO(n)/SO(n-1)

Рассмотрим вначале тот случай, когда размерностьп является нечетной, Подгруппу мы выделяем условием сохранения базисного вектора с номером Тогда в силу ортогональности координата также остается инвариантной. Здесь скалярное произведение выбирается в том же виде, что и в § 114. Все матрицы из записываются с помощью четырех квадратных блоков разделенных нулями, с единицей на пересечении строки и столбца. В частности, матрицы из имеют следующий общий вид:

где квадратные блоки под диагональю стоят нули и блоки гц связаны также условиями принадлежности группе Z. Дополнительное многообразие Z можно в этом случае составить из матриц

где единичная матрица порядка произвольный столбец и строка, линейно выражающаяся через где специальная матрица порядка введенная в § 113. Действительно, легко проверить, что матрица содержится в группе Z и произведение пробегает по одному разу все элементы из группы При этом имеет вид

где явное выражение блока гц через нам не будет нужно. Искомые -инварианты являются функциями только от чисел входящих в столбец а.

Найдем индикаторную систему в классе функций, зависящих только от а. Применяя к матрице левый сдвиг, отвечающий корневому вектору, находим, что это преобразование в классе параметров а сводится к замене на где параметр сдвига и В результате получаем инфинитезимальные главные сдвиги

Выписывая индикаторную систему в классе функций находим, что искомое пространство -инвариантов натянуто на следующий базис:

где неотрицательные целые параметры исходной сигнатуры Применяя к такому вектору преобразование находим, что этот вектор является весовым с весом

Введем обозначение тогда в силу указанных выше ограничений на параметры получаем систему ограничений на параметры В результате доказана следующая

Теорема 2. Сужение определяется при указанном выше выборе базиса следующей спектральной формулой:

заменяется на Здесь параметры принимают одновременно целые или одновременно полуцелые значения в зависимости от целости или полуцелости параметров

Следствие. Каждое неприводимое представление подгруппы содержится в указанном сужении однократно.

Рассмотрим теперь тот случай, когда размерность является четной, Подгруппа выделяется условием инвариантности двух базисных векторов: Ввиду ортогональности при этом сохраняются также координаты Многообразие Z составляется из матриц

где единичная матрица порядка , а — столбец, состоящий из независимых переменных, строка, которая линейно выражается через а. При этом переменные выражаются в разложении следующими формулами:

через параметры исходной матрицы Заменяя пару переменных их полусуммой и полуразностью легко получаем, что главные сдвиги в классе функций, зависящих только от имеют следующий вид:

В этом случае старшими векторами относительно по-прежнему являются одночлены, и несложный подсчет сигнатур показывает, что в искомое разложение входят только сигнатуры для которых Результатом является

Теорема 3. Сужение определяется при указанном выше выборе базиса следующей спектральной формулой-.

где заменяется на Здесь параметры принимают одновременно целые или одновременно полуцелые значения в зависимости от целости или полуцелости параметров

Следствие. Каждое неприводимое представление содержится в указанном сужении однократно.

Теоремы 2 и 3 в совокупности позволяют получить в пространстве естественный базис из старших векторов цепочки вложенных подгрупп: Каждый вектор базиса нумеруется системой чисел с определенной системой ограничений. При

нечетном имеем

При четном аналогичную систему можно получить, отбрасывая первую строку. Такое определение базиса было впервые предложено Гельфандом и Цейтлиным [73]. При этом, как и в случае были указаны явные формулы для инфинитезимальных операторов в этом базисе. Однако внутренняя структура в этом случае еще плохо изучена. В частности, неизвестны «понижающие» и «повышающие» операторы.

Интересную информацию дают также теоремы 2 и 3 при рассмотрении спинорных представлений. Пусть спинорное представление с сигнатурой Согласно теореме 2 сужение на подгруппу распадается в прямую сумму двух неприводимых представлений с сигнатурами

Иначе говоря, при сужении на мы получаем два зеркально сопряженных спинора первого и второго рода. С другой стороны, сужая эти представления на подгруппу получаем согласно теореме 3, что оба они остаются неприводимыми и совпадают с представлением типа Из соображений индукции отсюда, в частности, следует

Заметим также, что зеркально сопряженные представления становятся эквивалентными для

подгруппы . В свою очередь при сужении вместе с каждым неприводимым представлением встречается также зеркально сопряженное.